新疆巴音郭楞蒙古自治州博湖县高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份新疆巴音郭楞蒙古自治州博湖县高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.
【详解】因为，所以虚部为1.
故选：D．
2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据，得，由余弦定理可求.
【详解】因为向量，，
因为，
所以，即，
由余弦定理可得.
因为，所以，
故选：B.
3. 某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 直方图中x的值为0.035
B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C. 估计全校学生的平均成绩为83分
D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率分布直方图的性质求解.
【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得
10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；
对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为100.015400=60人，
故B错误；
对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；
故C错误.
对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为分.
故D正确.
故选：D.
4. 已知直线平面，直线平面，则（ ）
A. 若与垂直，则与一定垂直
B. 若与所成的角为30°，则与所成的角也为30°
C. 是的充分不必要条件
D. 若与相交，则为一定是异面直线
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面垂直判定定理可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用线面平行的判定定理和性质可判断C选项；根据已知条件直接判断与的位置关系，可判断D选项.
【详解】对于A，当与垂直时，由线面垂直判定定理可得与不一定垂直，A错误；
对于B选项，由线面角的定义可知，与所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
若与所成的角为，则与所成的角满足，B错；
对于C选项，若，，，则，即，
若，因为，则与平行或异面，即.
所以，是的充分不必要条件，C对；
对于D选项， 若与相交，则与相交或异面，D错.
故选：C.
5. 集合A=，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据古典概型公式解之即可.
【详解】从A，B中各取一个数，则这两数之和可能为
，，
共有6个可能的结果，其中两数之和等于5的有2个，
则从A，B中各取一个数，这两数之和等于5的概率是
故选：B
6. 如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出四棱锥的外接球球心位置并计算出球的半径，从而求得外接球的体积.
【详解】设是的中点，设，
依题意，四边形是正方形，所以，
是的中点，所以.
，
由于分别是的中点，所以，
根据正方体的性质可知平面，所以平面，
由于平面，所以，
所以，
所以是四棱锥的外接球球心，且外接球的半径为，
所以外接球的体积为.
故选：A
7. 如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，，，化简计算即可得出结果.
【详解】.
故选：C.
8. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据余弦定理和面积公式得到，结合同角的三角函数基本关系时可得，故可求的取值范围，结合对勾函数的单调性可求的取值范围.
【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（ ）
A. 中位数为3，众数为5B. 中位数为3，极差为3
C. 中位数为1，平均数为2D. 平均数为3，方差为2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可
【详解】对于A，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是3，则第4和5个为5，所以这5个数中一定没有出现6，所以A正确，
对于B，由于中位数为3，极差为3，所以这5个数可以是3，3，3，4，6，所以B错误，
对于C，由于中位数为1，平均数为2，所以这5个数可以是1，1，1，1，6，所以C错误，
对于D，由平均数为3，方差为2，可得，，若有一个数为6，取，则，，所以，所以这4个数可以是4，3，3，3或2，3，3，3，与 矛盾，所以，所以这5个数一定没有出现6点，所以D正确，
故选：AD
10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 设为非零向量，若，则
B. 设为非零向量，若，则的夹角为锐角
C. 设为非零向量，则
D. 若点为的重心，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据，平方后可得，可判断A；根据数量积的意义结合向量的夹角含义判断B；根据数量积的意义判断C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D.
【详解】对于A，为非零向量，若，则，
即，A正确；
对于B，当时，，
故，则的夹角为锐角或零角，B错误；
对于C，为非零向量，则表示与共线的向量，
表示与共线的向量，而不一定共线，故不成立，C错误；
对于D，如图设D为的中点，点为的重心，

则，即即，D正确，
故选：AD
11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折到△AB1M的位置，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是（ ）
A 始终有AM⊥B1C
B. 线段CN的长为定值
C. 直线AB1和CN所成的角始终为
D. 当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，其外接球的表面积是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线面垂直、平行四边形、线线角、外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于四边形是菱形，，所以三角形是等边三角形，
是的中点，所以，
则在折叠的过程中，，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，A选项正确.
设是的中点，由于是的中点，
所以，
由于，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，
在直角三角形中，为定值，
，所以三角形是等边三角形，
所以，也即直线AB1和CN所成的角始终为，C选项错误.
三角形的面积不变，所以当平面平面时，到平面的距离最大，
由于平面平面且交线为，平面，，
所以平面，由于平面，所以.
同理可证得平面，
由于平面，所以，
所以三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，其外接球的球心为，
，
所以外接球的半径为，表面积为，D项正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数z满足，则的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】设，由条件可得，根据复数几何意义可求得最小值.
【详解】设，由可得，轨迹是以原点为圆心以2为半径的圆，
根据复数几何意义知，表示复平面内到的距离，
则最小值为，
故答案为：1
13. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围.
【详解】 随机事件互斥, 发生的概率均不等于0, 且 ,
，即，
解得: .
故答案为：.
14. 如图，三棱台的上、下底边长之比为，记三棱锥体积为，三棱台的体积为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解.
【详解】由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设棱台的高为，则点到的距离也为，上底面面积为，则下底面面积为，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设向量，，．
（1）求向量；
（2）若，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由向量的线性运算求解即可；
（2）由向量垂直的条件即可求解.
【小问1详解】
因为，，
则；
【小问2详解】
因为，
若，
则，
解得．
16. 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）：
甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85
（1）试分别计算两组数据的极差和方差；
（2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？
【答案】（1）甲组数据的极差为30（分），方差为104；乙组数据的极差为30（分），方差为75.25
（2）乙组的成绩较稳定．
【解析】
【分析】（1）根据公式直接求极差、平均数、方差即可；
（2）根据（1）的结果可得答案．
【小问1详解】
甲组最高分为95分，最低分为65分，极差为，
平均数为，
方差为
，
乙组最高分为95分，最低分为65分，极差为，
平均数为，
方差为
；
【小问2详解】
由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定．
17. 如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：

（1）平面；
（2）平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明；
（2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行.
【小问1详解】
如图，连接，．

因为四边形是正方形，且是的中点，
所以是的中点，又是的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
小问2详解】
方法一 取的中点，连接，，如图所示，
则有且．
又且，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
方法二 取的中点，连接，，如图所示，
因为点是，的中点，所以，
平面，平面，
所以平面，
因为点，分别是和的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
且，，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
18. 某快餐店统计了近100天内每日接待的顾客人数，将前50天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图．

（1）求a，b，c的值，并估计该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的平均数；
（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为104，在后50天内每日接待的顾客人数的平均数为51，方差为100，估计这家快餐店这100天内每日接待的顾客人数的平均数和方差．
【答案】（1）a＝6，，，47．
（2）平均数49，方差为106
【解析】
【分析】（1）根据频率与频数的关系即可求解，由平均数的计算个数即可求解，
（2）由整体平均数和方差的计算公式即可求解.
小问1详解】
由表可知第4组的频数为，所以，，
第2组的频率为，
，
前50天内每日接待的顾客人数的平均数为．
【小问2详解】
设前50天接待的顾客人数分别为，，…，，
后50天接待的顾客人数分别为，，…，，
则由（1）知，前50天内每日接待的顾客人数的平均数，
方差，
后50天内每日接待的顾客人数的平均数，方差，
故这100天内每日接待的顾客人数的平均数为，
方差为
19. 在中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；
（2）由三角形的面积公式可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由余弦定理得，
因为B∈0,π，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
因为的面积为，即，所以，
则，即，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
20. 甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求两人在两轮比赛中都答对的概率；
（2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案；
（3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可.
小问1详解】
依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”，
所以.
因为事件相互独立，
所以两人在两轮比赛中都答对的概率为
【小问2详解】
设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”，
“甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”，
“两人在两轮比赛中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，
可得
故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为.
【小问3详解】
设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目，
分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，
，
设事件“两人在三轮比赛中，
甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且分别相互独立，
所以
.
所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为.
组别
分组
频数
频率
第1组
[20，30）
4
0.08
第2组
[30，40）
a
第3组
[40，50）
20
b
第4组
[50，60）
0.32
第5组
[60，70）
4
0.08
合计
50
1.00