新疆博湖县高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单选题（每题5分，共45分）
1. 设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（ ）
A. 2B. C. -2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据三点共线可得向量共线，利用向量共线定理可列出向量等式，即可求得答案.
【详解】由题意，
且，
因为三点共线，
所以存在实数，使得,
所以，
即，解得.
故选：A.
2. 已知，，，且与垂直，则实数的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的数量积表示、向量数量积的运算律可构造方程求得结果.
【详解】，，
与垂直，，
解得：.
故选：C.
3. 已知实数，且复数的实部与虚部互为相反数，则复数对应的点在复平面内位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数加减乘除四则运算化简复数，求得实部与虚部，依题求出的值，代入即得复数对应的点，判断即可.
【详解】，其实部为，虚部为，
依题有，解得，所以，其对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
4. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先利用向量平行求出，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为，，且，所以，
，.
故选：B.
5. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）.

A. 12B. 12
C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案.
【详解】因，由斜二测画法可知，
则，故为等腰直角三角形，故，
故矩形的面积为，
所以原图形的面积是，
故选：D
6. 如图，在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，分别求出圆柱与圆锥的体积，相减可得几何体的体积．
【详解】旋转后所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，如图所示：
其中圆柱与圆锥的底面半径都等于
圆柱的高等于，圆锥的高等于，
底面圆的面积为，
圆锥的体积为，圆柱的体积为，
所以所得几何体的体积为．
故选：C
7. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ）
A. 1B. 2C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解.
【详解】因为直观图是等腰直角，，，所以，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，所以的边上的高.
故选：D.
8. 在边长为2的正方形中，为的中点，则（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量数量积的运算律求解即可.
【详解】因为四边形是边长为2的正方形，所以，，
.
故选：D.

9. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ）
A. 8B. 12C. 22D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积的运算可得结果.
【详解】易知：，，且，.
由
故选：C
二、多选题（每题错选得0分，少选得2分，全对得5分，共15分）
10. 下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用平面向量的共线定理及基底的概念一一判定选项即可.
【详解】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，
因为，，，
则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.
故选：ACD
11. 设复数，则下列命题结论正确的是（ ）
A. 的实部为1B. 复数的虚部是2
C. 复数的模为D. 在复平面内，复数对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的实部和虚部的定义即可判断AB；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.
【详解】，
所以的实部为，虚部为，故A正确，B错误；
，故C正确；
在复平面内，复数对应的点为，在第四象限，故D正确.
故选：ACD.
12. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（ ）
A. 正三棱锥高为3B. 正三棱锥的斜高为
C. 正三棱锥的体积为D. 正三棱锥的侧面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.
【详解】
设为等边三角形的中心，为的中点，连接，
则为正三棱锥的高，为斜高，
又，，故,
故AB正确.
而正三棱锥的体积为，侧面积为，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 若复数是纯虚数，则实数__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的运算以及纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为是纯虚数，
所以，且即.
故答案为：
14. 已知一个球的半径为2，若用一个与球心距离为1的平面截球体，则所得的截面面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】球的截面的性质由勾股定理求解截面圆半径即可.
【详解】由球的性质可得截面为圆面，则截面圆的半径为，
故面积为，
故答案为：
15. 已知向量，，则，则实数________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据向量坐标运算求，结合向量平行坐标表示求.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以，
解得，
故答案为：.
16. 已知复数满足，则的最大值是__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果.
【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而表示复数对应的点到点的距离，
最大的距离为，
即的最大值是.
故答案为：.
四、解答题
17. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由及正弦定理得
因为，故．
又∵ 为锐角三角形，所以．
【小问2详解】
由余弦定理，
∵，得
解得：或
∴ 的周长为．
18. 已知内角的对边分别为，设.
（1）求；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.
【小问1详解】
原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的内角；
【小问2详解】
，
，
，
.
19. 已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积.
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解.
【详解】如图所示，画出正三棱台，
其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点，
则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形，
,,
所以,
所以此三棱台表面积,

20. 正四棱台两底面边长分别为2和4．
（1）若侧棱长为，求棱台的表面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设分别为上，下底面的中心，分别取的中点，利用梯形求出斜高，从而求出表面积；
（2）根据已知条件求出斜高, 再由直角梯形求出四棱台的高.
【小问1详解】
如图，设分别为上，下底面的中心，
分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高，
，
则棱台的表面积.
【小问2详解】
两底面面积之和为，
正四棱台的侧面积为，解得，
正四棱台的高.
21. 在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求：
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）几何体的体积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）判断出4个三角形的形状，再由表面积的求法求解即可；
（2）先求出截去三棱锥后剩下几何体的体积，再减去三棱锥的体积即可.
【小问1详解】
易知三棱锥中，，是边长为的等边三角形，都是直角边为2的等腰直角三角形，
故三棱锥的表面积为；
【小问2详解】
如图，设截去三棱锥后剩下几何体的体积为，则，
又三棱锥均和三棱锥体积相同，
则.
22. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图l，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F﹐，分别为所在棱的中点，求图1中水面的高度.
【答案】
【解析】
【分析】设出三棱柱底面积，利用相似知识得到，进而求出表达出四边形BCFE的面积及水的体积，求出图1中水面高度.
【详解】设正三棱柱的底面积为S，
因为E，F，，分别为所在棱的中点．所以，即．
所以四边形BCFE的面积，
所以，
则图1中水面的高度为．