广东省广州市海珠区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份广东省广州市海珠区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共27页。
试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共5页，满分120分，考试时间120分钟，不可使用计算器.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．第19届亚运会在杭州顺利举行，下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．4D．
5．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得，，那么的距离可能是（ ）
A．B．C．D．
6．计算的值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A．AB = CDB．∠B = ∠DC．AD = CBD．∠BAC = ∠DCA
8．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正五边形和正方形的边重合，连接，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）
A．15B．10C．9D．6
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，，，则∠B= °
12．将分解因式的结果是 ．
13．若分式的值为0，则 ．
14．分式与的最简公分母是 ．
15．如图，在中，点E在的垂直平分线上，且，平分．若，，则 .
16．如图，平分，且，点P为上任意点，于M，交于D，若，则的长为 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．计算：
(1)
(2)
18．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：．
19．已知．
(1)化简A；
(2)当x满足时，A的值是多少？
20．如图，已知和直线m（直线m上各点的横坐标都为2）．

(1)画出关于直线m的对称图形；
(2)的坐标是_______，若点在内部，P，关于直线m对称，则的坐标是________；
(3)请通过画图直接在直线m上找一点Q，使得最小．
21．恒等式的探究及应用.

(1)已知图1、图2的阴影部分面积相等，由此可以得到恒等式____________．（用式子表达）
(2)运用（1）中的结论，计算下列各题：
①； ②．
22．春节即将到来，家家户户贴春联，挂中国结，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和中国结这两种商品．已知每个中国结的进价比每副春联的进价多25元，超市用350元购进的中国结数量和用100元购进的春联数量相同．求每个中国结的进价和每副春联的进价各是多少元？
23．如图，已知，，且m，n满足．点D是线段中点，动点E，F分别在线段，上运动，且始终有．
(1)请直接写出点A和点B的坐标；
(2)请判断的形状并说明理由；
(3)下列结论：①四边形周长为定值；②四边形面积为定值；③为定值．请选择一个正确的结论并说明理由．
24．阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；
条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；
我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
是的下确界．
又例如：
，
由于，所以，（不满足条件②）
故4不是的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的下确界．
(2)若代数式的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式的下确界．
25．如图，是等边三角形，，，，延长至E，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的面积；
(3)点M，N分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可．
【详解】解： B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于0，据此即可解答．
【详解】解：由题意得，
解得．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，幂的乘方，运用同底数幂相乘运算法则计算并判定A；运用合并同类项运算法则计算并判定B；运用同底数幂相除运算法则计算并判定D；运用幂的乘方运算法则计算并判定C．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、、不是同类项不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了负整数指数幂的意义，“一般的，当n为正整数时，” ，据此进行计算即可求解．
【详解】解：．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此得到，即可求解．
【详解】解：在中，∵，，
∴．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算,依据“乘方的积等于积的乘方”进行化简计算即可．
【详解】解：
，
故选：C．
7．C
【分析】由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可．
【详解】∵AD∥BC，
∴．
∵AC为公共边，
∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
则，
∵，
∴，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查的是正多边形的内角和，等腰三角形的性质，先分别求解正五边形与正方形的每一个内角的大小，再证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得，问题随之得解．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∵正方形，
∴，
∵正五边形和正方形的边重合，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了二项和的乘方的展开，根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，从而得出答案．
【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，
∴的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，
∴的展开式中，含项的系数是．
故选：D．
11．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和这一性质即可求解．
【详解】 ，，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，熟悉性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了利用提取公因式进行因式分解，提取公因式进行因式分解即可解答．
【详解】解：；
故答案为：．
13．4
【分析】根据分式值为零的条件是分子为零分母不为零进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，熟知分式值为零的条件是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了确定分式的最简公分母，先将分解因式为，即可得到最简公分母为．
【详解】解：∵，
∴分式与的最简公分母是．
故答案为：
15．5
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形“三线合一”得到，根据线段垂直平分线性质得到，即可求出．
【详解】解：∵,平分，
∴，，
∵点E在的垂直平分线上，
∴，
∴．
故答案为：5
16．2
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，
过点作于点，根据角平分线的定义可得到，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到的长度，进而利用勾股定理，含角的直角三角形的性质即可得到的长度．
【详解】解：过点作于点，
∵平分，且，，
∴，，
∵于，，
∴在中，，，
∴，解得：（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴在中，，，
∴，解得：（负值舍去），
故答案为：2．
17．(1)
(2)
【分析】对于（1），单项式乘以多项式法则计算；
对于（2），根据多项式除以单项式法则计算．
【详解】（1）原式；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法和除法运算，掌握运算法则时解题的关键．
18．见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；由，利用线段和求得，再根据“”证得便可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，
（1）先把分子和分母是多项式的进行因式分解，然后再进行计算即可；
（2）先解分式方程，然后再把x的值代入（1）的结论进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
经检验，是原方程的根，
∴当时，，
∴A的值为．
20．(1)见详解
(2)，
(3)见详解
【分析】本题考查轴对称的性质，利用轴对称关系作图，确定直角坐标系中点的坐标，
（1）根据轴对称关系确定点、、的坐标，顺次连线即可；
（2）根据轴对称的性质解答即可；
（3）连接，与x轴交点即为点P．
【详解】（1）解：如下图所示；

（2）根据上述图形可知：，
直线m上各点的横坐标都为2，
，
由轴对称的性质可知，点关于直线m对称的点的横坐标为，纵坐标为b，
即点关于直线m对称的点的坐标为，
故答案为：，；
（3）解：如图，连接，与直线m轴交点即为点Q．

点Q即为所求．
理由如下：
点B和点关于直线m对称，
，
，
即当点Q在上时，最小．
21．(1)
(2)①91；②
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式等知识．
（1）分别表示图1、图2的阴影部分面积，根据面积相等即可求解；
（2）①将转化为，运用（1）结论即可求解；
②将转化为，再利用（1）结论进行计算即可求解．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积表示为，图2阴影部分的面积表示为，
∵图1、图2的阴影部分面积相等，
∴．
故答案为：；
（2）解：①；
②
．
22．每个中国结的进价是元，每幅春联的进价是元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设每幅春联的进价是元，则每个中国结的进价是元，根据题意，列出方程求解即可．
【详解】解：设每幅春联的进价是元，则每个中国结的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：每个中国结的进价是元，每幅春联的进价是元．
23．(1)，
(2)等腰直角三角形，理由见详解
(3)②正确，理由见详解
【分析】（1）根据绝对值的非负性即可的，，即可得，问题得解；
（2）连接，，先证明是等腰直角三角形，再证明，即可作答；
（3）根据，可得，即有，问题得解．
【详解】（1）∵，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，；
（2）连接，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∵点D是线段中点，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴等腰直角三角形；
（3）②正确，理由见详解．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形面积为定值．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型、运算，
（1）根据题干示例的方法计算即可作答；
（2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解；
（3）将x看作常数进行配方，可将变型为，问题随之得解．
【详解】（1），
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
是的下确界．
（2）∵代数式的下确界是1，
∴设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即：；
（3）
，
，，
（满足条件①）
当，，即，时，（满足条件②）
是的下确界．
25．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”可得，，根据，可得，即有，问题得证；
（2）过D点作于点G，利用含角的直角三角形的性质可得，问题随之解得；
（3）将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，根据对称性有：，，，先证明、是等边三角形，即有，结合图形有：，当M点在上时，，此时有最小值，即可得，问题得解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过D点作于点G，如图，
∵，，，
∴在中，，
∵在（1）中已求出，
∴；
（3）将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，如图所示，
根据翻折可知：、关于轴对称，
∴N点关于的对称点H在上，
根据对称性有：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∵N点关于的对称点是点H，
∴垂直平分线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
结合图形有：，
当M点在上时，，此时有最小值，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，灵活利用轴对称构造辅助线，是解答本题的关键．