广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题原卷版docx、广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

命题学校：雷州火炬学校
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，2B用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按上述要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数运算性质得到答案.
【详解】.
故选：C.
2. 设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ）
A. 0B. 22C. 26D. 31
【答案】B
【解析】
【分析】因为，不妨设，由题意求出的最小值，的最小值，，令时，有最小值.
【详解】因为，所以互为相反数，不妨设，
为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.
由题意知：满足，取的最小值；
满足，因为，故取的最小值；
满足，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
满足，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
所以，
因为数列an的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22.
故选：B
【点睛】关键点点睛：有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得的最小值.
3. 南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．
【详解】令数列：为数列，于是，
依题意，数列为：，于是
数列为：是等差数列，，
则，因此，
所以该数列的第项为.
故选：B
4. 如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
详解】
.
故选：B.
5. 已知函数在处取得最值，且在上恰有两个极值点，则（ ）
A. 4B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出与的关系式，根据的范围求出的范围，当时同理即可求解.
【详解】由题意可知，，，
解得，，当时，
由x∈0,π，得，
由题意，得，解得，所以不存在，
当时，由x∈0,π，
得，由题意，
得，解得，
所以.
故选：C.
6. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求得复数z，根据复数模的计算即可得答案.
【详解】由得，
故z=22+(-1)2=5，
故选：B
7. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于0，可求的取值范围.
【详解】由，
两边同时加，得：.
设，则，所以在上单调递增.
所以
设，，则，
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
由.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于通过指对同构思想将问题为函数单调性问题，结合参变量分离法转化为函数最值问题来求解.
8. 已知实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作差法，可判断A、B，利用指数函数和幂函数的单调性判断C，根据对数函数的单调性判断D.
【详解】由知 ，故，所以，故A错误；
由得，，
所以，即，故B错误；
因指数函数为单调减函数，故，
由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C错误；
根据对数函数、为单调减函数，
故，故D正确，
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数的定义域为，且，，若，则（ ）
A. 是周期为4的周期函数
B. 的图像关于直线对称
C. 是偶函数
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可.
【详解】对A，因为，所以，
所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确.
对B，因为，所以，所以的图象关于直线对称，则B正确.
对C，因为，所以.令，得，则.
因为的图象关于直线对称，所以，则，从而不是偶函数，则C错误.
对D，由的对称性与周期性可得，
则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可.
10. 已知函数，则下列结论中，正确的有（ ）
A. 是的最小正周期
B. 在上单调递增
C. 的图象的对称轴为直线
D. 的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】由，知函数为偶函数，又，知是周期，
当时，化简并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.
【详解】由，知函数为偶函数，又，知是的周期，
当时，，画出的图象如图所示：
由图知，的最小正周期是，A错误；
在上单调递增，B正确；
的图象的对称轴为，C错误；
的值域为，D正确.
故选：BD.
【点睛】本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.
11. 现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（ ）
A. 两个图形的面积之和的最小值为
B. 两个图形的面积之积的最大值为
C. 若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是
D. 若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y，分别表示出正方形和三角形的面积，即可依次判断每个选项的正误.
【详解】设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y．将长度为x的细绳围成正方形，其面积为．将长度为y的细绳围成三边长的比例为3:4:5的直角三角形，即三边长分别为，，，其对应的面积为．两个图形的面积之和．
又，所以，当时，S取到最小值，最小值为，故选项A正确；
两个图形的面积之积．由基本不等式得，则，即Z的最大值为，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
令，解得，故选项C错误；
正方形与三角形周长之比为，显然不存在最大值，故选项D错误.
故选：AB．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角函数恒等变换将函数化为的形式，再由可得的两个零点为，再结合可求出函数的最小正周期，从而可求出，进而可求得结果.
【详解】
，
由，得，得，
因为是函数的两个零点，且，
所以的最小正周期为，所以，得，
所以，
由，得，则，
所以，得，
所以，
所以最小值与最大值之和为，
故答案为：.
13. 已知的展开式中，的系数为1，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开通项公式即可得解.
【详解】因为，
又的展开通项公式为，
所以原式展开式中，的系数为，所以，
故答案为：.
14. 已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数f(x)的最大值为M，若a，b，c均为正数，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）先对函数去绝对值，然后分段进行解不等式即可求解；
（2）结合（1）的结论得到，然后利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
函数，
当时，化为，解得；
当时，化为，解得
当时，化为，无解；
综上所述，的解集为..
【小问2详解】
由（1）知，，
因为（当且仅当时，等号成立），
2，（当且仅当，即，c=2时，等号成立），
所以最小值为12.
16. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

（1）在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
（2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
（3）若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设中点为，再证明即可知这个多边形为；
（2）设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；
（3）取的中点，的中点，连接、、、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小，令，连接，则球心在上，设球心为，连接、、，利用勾股定理求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得.
【小问1详解】
设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且，
故四边形为平行四边形，则.
又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形.
【小问2详解】
在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积．
【小问3详解】
取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，所以平面，
所以球心在上，设球心为，连接、、，
设外接球的半径为，，则，
又，，
所以，，解得，则，
所以外接球的表面积.

17. 不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测，本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标．其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如下：
（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）
（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率：
（2）从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据，求两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌个数恰为2个的概率；
（3）顾客甲从品牌中随机选取1个品牌，用“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级，“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是Ⅰ级（k=1，4，7，10）．写出方差的大小关系（结论不要求证明）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算事件发生概率；
（2）根据分步分类计数原理，结合排列组合即可求解，
（3）分别计算出概率，计算期望值，再比较大小．
【小问1详解】
“不粘性”性能都是Ⅰ级的品牌有5个，
记事件为两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级，
则．
【小问2详解】
前六个品牌中性能都是Ⅰ级的品牌有3个，后六个品牌性能都是Ⅰ级的品有2个，
记事件B为两个指标“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级的品牌个数恰为2个，
则；
【小问3详解】
品牌123中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有2个，品牌456中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有1个，品牌789中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有2个，品牌123中“不沾性、耐磨性”都是Ⅰ级品牌有0个，
所以分布列为
分布列为
分布列为
分布列为
所以
18. 记等比数列的前项和为，已知，，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解，
（2）由错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
设的公比为，由，，，成等差数列，得，．
当时，，符合题意，所以；
当时，所以，，则．
综上，或．
【小问2详解】
当时，，
所以；
当时，，
所以，
则，
所以，
所以．
综上，或
19. 已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且，，，.
（1）求；
（2）已知，求数列的前项和；
（3）求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列an的公差为，等比数列bn的公比为，由已知条件求出an和bn的通项，利用等比数列前项和公式求；
（2）为奇数和是偶数时，分别求的通项，利用分组求和求数列的前项和；
（3）利用放缩和等比数列前项和公式证明不等式.
【小问1详解】
设等差数列an的公差为，等比数列bn的公比为，
由，，得，解得，
则，
由，，得，，
解得，则，
所以．
【小问2详解】
当是奇数时，，
当是偶数时，，
则，
于是，
两式相减，得
，
所以，

，
所以.
【小问3详解】
证明：由（1）知，，当且仅当时取等号，
则，
所以.
【点睛】方法点睛：
1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
2.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.
检测结果
检测结果
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
序号
品牌名称
不粘性
耐磨性
1
品牌1
Ⅰ级
Ⅰ级
7
品牌7
Ⅰ级
Ⅰ级
2
品牌2
Ⅱ级
Ⅰ级
8
品牌8
Ⅰ级
Ⅰ级
3
品牌3
Ⅰ级
Ⅰ级
9
品牌9
Ⅱ级
Ⅱ级
4
品牌4
Ⅱ级
Ⅱ级
10
品牌10
Ⅱ级
Ⅱ级
5
品牌5
Ⅰ级
Ⅰ级
11
品牌11
Ⅱ级
Ⅱ级
6
品牌6
Ⅱ级
Ⅰ级
12
品牌12
Ⅱ级
Ⅱ级
0
1
0
1
0
1
0
1
0