中职高教版（2021·十四五）3.4 函数的应用获奖教案设计

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3.4 函数的应用
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
2 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课将通过解决实际生活中的简单函数问题（一次函数、分段函数、
二次函数），提高学生对于这三种函数的应用的意识．
教学目标
能根据具体的情境，选择恰当的函数模型表达问题中的函数关系， 通过运算、推理得出的结论解释情境中的问题；能进一步明确数学建模
的一般步骤，逐步提高数学抽象和数学建模等核心素养．
教学
重点
简单函数模型的应用
教学
难点
根据实际问题建立函数模型；二次函数模型的最值问题
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
许多实际问题都可以通过建立函数模型来解决，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定为函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得以解决．下面我们将通过几个例子一起来学习一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型在实际生产
生活中的应用．
说明
思考
体会
点明数学建模的意义
探索新知
1.一次函数模型
要给一个水箱匀速注水，注满为止．已知水箱的容积为 160 L，注水前水箱里有水 20 L，当
注水 30 min后，水箱有 80 L水，若水量?（L）
是注水时间?（min）的一次函数，试写出这个函数的解析式．
由题意可利用一次函数模型，通过待定系
数法确定水量?与注水时间?之间的函数．
解 根据题意，水量?是注水时间?的一次函
说明
指导
思考
讨论交流
通过实际问题带领学生进入一次函数、分段函数和二次函数的应
用问题
数，设解析式为? = ?? + ?．
因为? = 0时，? = 20；? = 30时，? = 80， 代入解析式得
{? = 20,
30? + ? = 80.
解之得{ ? = 2, 所以? = 2? + 20．
? = 20.
又因为?≤160，即2? + 20≤160，得?≤70．所以水量? 与进水时间? 的函数为? = 2? +
20，? ∈ [0,70]．
2.分段函数模型
我国是世界上高速铁路系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最高、在建规模最大的国家．近年来，我国高铁飞速发展．条条高铁悄然改变着人们的生活，已成为人们出行的快捷方式之一．开通某条高铁线路前， 需要进行安全、平稳测试．
如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中?（km/h）是
车速，?（min）是行车时间．试写出车速?与行车时间?的函数解析式．
这是一个涉及分段函数的实际应用问题．不同的时间段，列车行驶的速度不同，需要根据时间进行分段讨论．
归纳
的研究，
总结
求解
初步建
立数学
建模的
一般步
说明
体会
骤和方
法，培养
学生数
学抽象、
逻辑分
析、数学
提问
思考
与建模
等核心
素养
指导
讨论
交流
求解
归纳
解 由题意知：?的取值范围为 0≤?≤120．在0≤?≤5，5＜?＜110，110≤?≤120 三个区间有不同的运动状态．
当 0≤?≤5 时，图像是过原点的一条线段， 令? = ??，因点（5，300）在线段上，所以有300 = 5?， 得? = 60，因此? = 60?．
当 5＜x＜110 时，图像是一条平行于?轴的线段，因此? = 300．
当 110≤?≤120 时，图像是过点（110，300） 和点（120，0）的一条线段，设? = ?? + ?，得
{300 = 110? + ?,
0 = 120? + ?.
解得 ? = —30, ? = 3600 ．因此 ? = —30? + 3600．
故该列车车速?与行车时间?之间的的函数
解析式为
60?,0≤x≤5,
? = { 300,5＜?＜110,
—30? + 3600, 110≤?≤120.
3.二次函数模型
现有 12 m长的钢材，要制作一个矩形窗框
（如图所示）．
（ 1 ）求窗框所围成的面积
?（m2） 与窗框宽?(m)之间的函数解析式；
（2）当窗框宽为何值时，窗框
所围成的面积最大？最大值为多少？
这是一个有关二次函数的实际应用问题．通过矩形面积公式可得所求函数关系式．利用二次函数模型可求得窗框所围成的最大面
总结
说明
提问
思考
指导
讨论
交流
积．
解（1）设窗框的宽为?(? Σ 0)，由题意知，钢
材总长为 12 m，则窗框的长为12 — ? = 6 — ?, 且
2
0 € ? € 6．
窗框所围成的面积? 与窗框的宽?的解析式为
? = ?(6 — ?) = —?2 + 6?,0 € ? € 6.
（2）在二次函数? = —?2 + 6?（0 € ? € 6）中，? = —1, ? = 6, ? = 0，所以
— b = —6= 3, 4ac–b2 = 4×(–1)×0–62 = 9．
2a2×(–1)4a4×(–1)
故当窗框宽为 3 m时，窗框所围成的面积?最大， 最大值为 9m2．
探究与发现
试画出一次函数模型和二次函数模型例题中的函数图像吗．这两个图像有什么特点？
温馨提示
当应用函数模型求解问题时，应根据实际情况考虑函数的定义域，特别是求函数的最大
（小）值时，要考虑自变量是否有取整的需要．
归纳
总结
求解
提问
思考
归纳
总结
体会
说明
领悟
练习 3.4
海拔高度每上升1??，气温就会下降
6℃．已知某地地面气温为20℃，设高出地面
? (km)处的气温为?℃，请写出气温?与相对于地面的高度? 处之间的函数关系式．(假设 y 与x 是一次函数关系)．
某市出租车车费标准如下：3 km以内（含
提问
思考
通过练
习及时
掌握学
巩固
练习
生的知
识掌握
情况，查
动手
漏补缺
3 km）收费 8 元；超过3 km的部分每千米收费
元.
写出应收费?（元）出租车行驶路程
?(km)之间的关系式．
小亮乘车行驶 4 km，应付多少元？
小波下车时付车费 16 元，那么小波乘出租车行驶了多远？
巡视
指导
求解
交流
培养学
引导
反思
生总结
归纳
总结
交流
学习过
总结
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
巩固提
布置
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回
高，查漏
作业
顾；
说明
记录
补缺
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．