77-2024年山东省济南市中考数学试卷

这是一份77-2024年山东省济南市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）9的相反数是（ ）
A．﹣9B．C．D．9
2．（4分）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
3．（4分）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3465×109B．3.465×109
C．3.465×108D．34.65×108
4．（4分）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形
5．（4分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+3y＝6xyB．（xy2）3＝xy6
C．3（x+8）＝3x+8D．x2•x3＝x5
7．（4分）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．m＜﹣4D．m＞﹣4
8．（4分）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②C．③④D．①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．（4分）若分式的值为0，则实数x的值为 ．
12．（4分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
13．（4分）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝ °．
14．（4分）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kw•h．
15．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝ ．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（7分）计算：．
17．（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（7分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
19．（8分）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cs15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cs83°≈0.122，tan83°≈8.144）
20．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
21．（9分）2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 度；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
22．（10分）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
23．（10分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
25．（12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下：
请完成填空：① ；② ；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长．
2024年山东省济南市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（4分）9的相反数是（ ）
A．﹣9B．C．D．9
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：9的相反数是﹣9．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（4分）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3．（4分）截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.3465×109B．3.465×109
C．3.465×108D．34.65×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：3465000000＝3.465×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法﹣表示较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形
【分析】根据多边形的外角和列式计算即可．
【解答】解：由题意得360°÷45°＝8，
即这个正多边形是正八边形，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的外角和，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
5．（4分）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【分析】利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3x+3y＝6xyB．（xy2）3＝xy6
C．3（x+8）＝3x+8D．x2•x3＝x5
【分析】（1）根据同类项的定义判断即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可；
（3）利用乘法分配律计算即可；
（4）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【解答】解：x与y不是同类项，无法合并，
∴A不正确，不符合题意；
（xy2）3＝x3y6，
∴B不正确，不符合题意；
3（x+8）＝3x+24，
∴C不正确，不符合题意；
x2•x3＝x5，
∴D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、去括号与添括号、同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键．
7．（4分）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．m＜﹣4D．m＞﹣4
【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根．构建不等式求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴（﹣1）2+4m＞0，
∴m＞﹣．
故选：B．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（4分）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图，连接AG，过点G作GH⊥AD于点H，在DC上取一点J，使得JD＝JK，连接JK．证明∠CDK＝15°，设CK＝x，根据CD＝CB，构建方程求解．
【解答】解：如图，连接AG，过点G作GH⊥AD于点H，在DC上取一点J，使得JD＝JK，连接JK．
由作图可知EF垂直平分线段AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，AB∥CD，
∴EF垂直平分线段CD，
∴DJ＝CJ，
∵AG＝AD＝CD，
∴AG＝2DJ，
∵四边形DJGH是矩形，
∴HG＝DJ，
∴AG＝2GH，
∴∠DAG＝30°，
∵AD＝AG，
∴∠ADG＝∠AGD＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDK＝15°，
∵JD＝JK，
∴∠JDK＝∠JKD＝15°，
∴∠CJK＝∠JDK+∠JKD＝30°，
设CK＝x，则JK＝2x，CJ＝x，
∴CD＝2x+x，BC＝x+2，
∵CD＝BC，
∴2x+x＝x+2，
∴x＝﹣1，
∴正方形的边长BC＝﹣1+2＝+1．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
10．（4分）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②C．③④D．①②④
【分析】依据题意，当P到C时，DP2＝y＝7，可得DC2＝7，再作DH⊥BC于H，进而求出BH＝BD＝1，CH＝2，故可判断①；找出t＝5时，P的位置，进而可以判断②；再由当4≤t≤6时，此时P从如图的位置运动到A，紧扣特殊位置进行分析可得，≤y≤3，故可判断③；又由t1+t2＝6，t1＜t2，可得t2＝6﹣t1，t1＜3，t2＞3，再结合当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2+，从而作差y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）2﹣＝3﹣t1＞0，故可判断④．
【解答】解：由题意，当P到C时，DP2＝y＝7，
∴DC2＝7．
作DH⊥BC于H，如图1所示，
∵∠B＝60°，BD＝2，
∴BH＝BD＝1，DH＝＝．
∴CH＝＝＝2．
∴BC＝BH+CH＝1+2＝3．
∴AB＝BC＝3，故①正确．
∴此时t＝AB÷1＝3（秒）．
∴当t＝5时，P在AC上，且PC＝2．
如图2，AD＝AP＝1，
又∠A＝60°，
∴△ADP是等边三角形．
∴DP＝AD＝AP＝1．
∴y＝DP2＝1，故②正确．
当4≤t≤6时，如图3，
∴PC＝1，此时P从如图的位置运动到A．
∴AH＝AD＝．
∴DH＝，此时P运动到H时y＝DH2取最小值为．
又HP＝AC﹣AH﹣PC＝3﹣﹣1＝，
∴DP＝＝．
∴此时y＝DP2取最大值为3．
∴当4≤t≤6时，≤y≤3，故③错误．
∵t1+t2＝6，t1＜t2，
∴t1+t2＜2t2，2t1＜t1+t2，t2＝6﹣t1．
∴t1＜3，t2＞3．
又由题意，可得，当0≤t≤3时，y＝（t﹣1）2+3；当3≤t≤6时，y＝（t﹣5.5）2+，
∴y1＝（t1﹣1）2+3，y2＝（t2﹣5.5）2+＝（t1﹣0.5）2+．
∴y1﹣y2＝（t1﹣1）2+3﹣（t1﹣0.5）2﹣
＝3﹣t1＞0．
∴y1＞y2，故④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．（4分）若分式的值为0，则实数x的值为 1 ．
【分析】根据分式的值为0得出x﹣1＝0且2x≠0，再求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且2x≠0，
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，注意：当分子A＝0且分母B≠0时，分式的值为0．
12．（4分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．
【解答】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份，
∴落在红色区域的概率＝．
故答案为：．
【点评】此题考查几何概率问题，关键是根据概率＝相应的面积与总面积之比解答．
13．（4分）如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝ 65 °．
【分析】利用平行线的性质求出∠3＝70°，可得结论．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣70°＝65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．
14．（4分）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 12 kw•h．
【分析】根据“电动汽车每千米的耗电量＝剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象l1，l2的函数关系式，将x＝300分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可．
【解答】解：A款新能源电动汽车每千米的耗电量为（80﹣48）÷200＝0.16（kw•h），B款新能源电动汽车每千米的耗电量为（80﹣40）÷200＝0.2（kw•h），
∴l1图象的函数关系式为y1＝80﹣0.16x，l2图象的函数关系式为y2＝80﹣0.2x，
当x＝300时，y1＝80﹣0.16×300＝32，y2＝80﹣0.2×300＝20，
32﹣20＝12（kw•h），
∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kw•h．
故答案为：12．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每千米的耗电量＝剩余电量的减少量÷行驶路程”分别计算A、B两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象l1，l2的函数关系式，并计算当x＝300时对应函数值是解题的关键．
15．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝ ．
【分析】连接BE，延长EF交BA的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明Rt△HAE≌Rt△EDF（ASA），进而得到△BED′为直角三角形，设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α，证明△BHE为等腰三角形，求出AH，即可解答．
【解答】解：如图，连接BE，延长EF交BA的延长线于H，
∵矩形ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，
∴AE＝DE＝1，∠BAE＝∠D＝90°，
∵将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，
∴ED＝ED′＝1，∠ED′F＝∠D＝90°，∠DEF＝∠D′EF，
则Rt△HAE≌Rt△EDF（ASA），DF＝AH，
∴BE＝＝，
∵BD′＝2，
∴，
∴△BED′为直角三角形，
设∠DEF＝α，则∠AEH＝∠DEF＝α，∠DED′＝2α，
∴∠AEB＝90°﹣2α，∠AHE＝90°﹣α，
∴∠HEB＝∠AHE＝90°﹣α，
∴△BHE为等腰三角形，
∴BH＝BE＝，
∴AH＝BH﹣AB＝，
∴DF＝AH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（7分）计算：．
【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可
【解答】解：原式＝3﹣1+4+
＝3﹣1
＝6．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键．
17．（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，再写出该不等式组的所有整数解即可．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜4，
原不等式组的解集是﹣1＜x＜4，
∴整数解为0，1，2，3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．（7分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
【分析】根据菱形的性质得到AD＝CD，根据垂直的定义得到∠AED＝∠CFD＝90°，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
19．（8分）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cs15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cs83°≈0.122，tan83°≈8.144）
【分析】（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，由∠CDE＝97°，得到∠CDN＝83°，根据三角函数的定义得到结论；
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，根据平行线的性质得到∠FCD＝∠CDN＝83°，求得∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，根据平行线间的距离处处相等，得到EF＝CN＝6.65，求得BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】解：（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，
∵∠CDE＝97°，
∴∠CDN＝83°，
在Rt△CDN中，，CD＝6.7m，
∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.63（m），
答：点C到地面DE的距离为6.65m；
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，
∵CF∥DE，
∴∠FCD＝∠CDN＝83°，
∵∠BCD＝98°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，
∵平行线间的距离处处相等，
∴EF＝CN＝6.65m，
∵AE＝8.5m，
∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，
在Rt△BCP中，
∴（m），
答：顶部线段BC的长为7.14m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠EDB＝∠EAB，求得∠BAD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝45°，求得∠B＝∠G＝45°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）如图，连接CE，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠DCE，∠DEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．
21．（9分）2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 90 度；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 77 分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
【分析】（1）根据A组的频数和A组所占的百分数即可得到结论；
（2）用360°×B组所占的百分数即可得到结论；
（3）根据题意补全频数分布直方图即可；
（4）根据中位数的定义即可得到结论；
（5）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）3÷5%＝60（人）
答：随机抽取的八年级学生人数为60人；
（2）360°×＝90°，
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为90°，
故答案为：90；
（3）D组的频数为：60﹣3﹣15﹣16﹣6＝20，
补全频数分布直方图如图所示；
（4）∵抽取的八年级学生人数为60，
∴中位数是排在第30个数和第31个数的平均数，
∴排在第30个数和第31个数在C组，
∴中位数＝＝77（分），
答：抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是77分，
故答案为：77；
（5） （人）
答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到8（0分）及以上的学生人数为390人．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，中位数，正确地画出图形是解题的关键．
22．（10分）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【分析】（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，
根据题意得：m≥2（20﹣m），
解得：m≥．
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m），
即w＝m+40，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥，且m为正整数，
∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23．（10分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；
（3）过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，可得△EHB≌△BFA（AAS），则设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，得到点E（6﹣2n，4n﹣2），根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．
【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，
过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
【分析】（1）根据抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2）列方程组即可得到结论；
（2）如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，设点E的横坐标为t．设直线AD的表达式为y＝kx+b，解方程组得到直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），求得EG＝t2﹣t，求得，于是得到S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE＝，解方程得到E（4，10），根据平移的性质得到F（5，9）；将F（5，9代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），解方程得到m1＝2，m2＝9；
（3）如图2，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，设 M（h，h2﹣2h+2），h＜1且h≠0，N（n，0），求得抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），得到DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，推出MP＝NP，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2），
得 ，
解得 ，
∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x+2；
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点D（1，1）；
（2）如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，
设点E的横坐标为t．
设直线AD的表达式为y＝kx+b，
由题意知 ，
解得 ，
∴直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，
则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），
∴EG＝t2﹣t，
∵▱ADFE的面积为12，
∴S△ADE＝S△四边形ADFE＝＝6，
∴S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE＝，
∵HD＝1，
∴EG＝12，
∴t2﹣t＝12，
解得t1＝4，t2＝﹣3 （舍），
∴E（4，10），
∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F，
∴F（5，9），
将F（5，9代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），
得m2﹣11m+18＝0，
解得m1＝2，m2＝9；
（3）如图2，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，
设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），
∵y＝x2﹣2mx+m2+2﹣m＝（x﹣m）2+2﹣m，
∴抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），
∴DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，
∴DK＝KQ，∠DQK＝45°，
∵MN∥DQ KQ∥NP，
∴∠MNP＝∠DQK＝45°，
∴∠NMP＝45°，
∴MP＝NP，
∴n﹣h＝h2﹣2h+2，
∴n＝h2﹣h+2＝（h﹣）2+，
∴当时，，
∴点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，
最近距离即边BD上的高，高为：，
∴△BDN面积的最小值为S△BDN＝××＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
25．（12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下：
请完成填空：① ∠ACD ；② ；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC，得到△ACF∽△AEC，根据相似三角形的性质得到，求得AC2＝AF•AE，由（1）得 AC2＝AD•AB，于是得到＝，根据相似三角形的性质得到∠ADF＝∠AEB＝90°，于是得到△AEB是直角三角形；
（3）由∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，得到△CEB∽△CBD，根据相似三角形的性质得到CD•CE＝CB2＝24．如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°，得到，根据相似三角形的性质得到∠CDD0＝∠CE0E＝90°，推出点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE'⊥E0E，垂足为E′，BE′即为最短的BE，连接CE′，根据解得判定定理得到四边形CE0E'B是矩形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①∠ACD，
②，
故答案为：∠ACD，；
（2）△AEB是直角三角形，
∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AF•AE，
由（1）得 AC2＝AD•AB，
∴AF•AE＝AD•AB，
∴＝，
∵∠FAD＝∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF＝∠AEB＝90°，
∴△AEB是直角三角形；
（3）∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
∴．
∴CD•CE＝CB2＝24．
如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°，
∴CD0•CE0＝24＝CD•CE，则，
∵∠ECE0＝∠D0CD，
∴△ECE0～ΔD0CD，
∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°，
∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，
过点B作BE'⊥E0E，垂足为E′，BE′即为最短的BE，连接CE′，
∵∠BCE0＝∠CE0E′＝∠BE′E0＝90°，
∴四边形CE0E'B是矩形，
在RtΔCE0E'中可求得CE′＝＝2，
∴CE＝2．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/10 12:12:24；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433综合实践活动记录表
活动内容
测量轻轨高架站的相关距离
测量工具
测倾器，红外测距仪等
过程资料
轻轨高架站示意图
相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理
…
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°
∴∠B＝①_____
∵∠A＝∠A
∴△ABC∽△ACD
∴＝②_____
∴AC2＝AD•AB
综合实践活动记录表
活动内容
测量轻轨高架站的相关距离
测量工具
测倾器，红外测距仪等
过程资料
轻轨高架站示意图
相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理
…
∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB
∴∠ADC＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°
∴∠B＝①_____
∵∠A＝∠A
∴△ABC∽△ACD
∴＝②_____
∴AC2＝AD•AB