安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份安徽省六安第一中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】验证集合中的元素，是否是集合中元素，即可求.
【详解】因为，所以，，所以，，所以，
所以.
故选：C
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域为，可得，再求解的解集，即可得函数的定义域.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，则函数的定义域满足，则，所以函数的定义域为.
故选：C.
3. 已知函数，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件的定义判断充分条件，举反例说明不必要性即可.
【详解】若，则,
则“”是“”的充分条件;
若则,
则“”是“”的不必要条件;
故选:A.
4. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数函数单调性可得，再结合分段函数判断计算得解.
【详解】由，得，函数，
所以
故选：D
5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有（ ）种方案．

A. 3B. 6C. 30D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】先考虑天和核心舱，然后再考虑剩下的两个舱即可.
【详解】先除甲、乙外的3名航天员中挑1人到天和核心舱有种情况，
然后剩下的2名航天员一组，甲乙一组分配到剩下的两个舱有种情况，
所以共有.
故选：B.
6. 古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下列联表．
参考公式：．
临界值参照表：
则下列说法正确的是（ ）
A. 如果有朝霞，当天下雨的概率超过
B. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D. 连续三天中必有一天出现朝霞
【答案】B
【解析】
【分析】对A，由题中列联表判断即可；对BC，计算卡方判断即可；对D，根据概率的性质判断即可.
【详解】对A，由题中列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为，故A选项错误；
对BC，由题得，但小于7.879，故B选项正确，C选项错误；
对D，有朝霞的天数占总天数的，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D选项错误.
故选：B．
7. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又，令，则，
又由，得，
即的图象关于点成中心对称，则；
，即，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，
故
，
故选：D
【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导.
8. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值是B. 的最小值是4
C. 最小值是D. 的最大值是，
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式和平方关系即可判断选项AC，根据可利用基本不等式中“1”的妙用即可判断B，将平方可求得其取值范围，即可判断D.
【详解】对于A，利用基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故A错误；
对于B，，当且仅当时等号成立，即B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，所以C正确；
对于D，由可得，
当且仅当时等号成立，即的最大值是，故D正确.
故应选：BCD.
10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ）
A. 是奇函数B.
C. 的图象关于对称D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以
,即函数关于对称，C正确;
由函数关于对称可知,
又因为为偶函数，所以
，即函数关于对称，
则,
所以,即,
所以,所以是周期为4的周期函数，
所以,又,
所以,所以,所以,B正确;
是偶函数，A错误;
对任意的,且,都有,不妨设,
则,由单调性的定义可得函数在上单调递增，
又由函数关于对称，所以在上单调递增
又,,
所以,得，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可．
11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出，再根据和化简得到D正确.
【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，
所以输入信号，则输出的信号只有两个的概率为，故A错误；
B：因为，故B正确；
C：，故C正确；
D：因为，
而
，
所以
，
故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式和全概率公式.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量满足，若，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据，利用二项分布的概率公式列方程计算即可.
【详解】由已知得，
解得
故答案为：.
13. 已知，，，则最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知的等式得出代入等式中，运用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，所以，代入中，得，
由（当且仅当时取等号），
于是有（当且仅当时取等号），
因为，，所以，
因此有（当且仅当时取等号），
，（当时取等号，即时，取等号），
所以有（当且仅当时取等号），
即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式进行消元变形；二是通过重要不等式，得到，进而应用基本不等式进行解题.
14. 知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算：_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据微积分基本定理得到，再结合二项式定理及微积分基本定理计算可得.
【详解】因为，
且，
所以
；
，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给微积分基本定理的理解及应用，对于新定义型问题，理解定义是关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由得，分，两种情况讨论可求得a的取值范围．
【小问1详解】
由集合，所以，
又，，
所以，解得；
所以实数a的取值范围是．
【小问2详解】
若，则，
当时，，解得；
当时，有，要使，则，解得，
综上，实数a的取值范围是．
16. 已知函数在点处的切线平行于轴．
（1）求实数；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）1 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数；
（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.
【小问1详解】
由可得：，
由题意，，解得；
【小问2详解】
由（1）得，，则，
当时，f'x<0，则在上是减函数；
当时，f'x>0，在上是增函数.
故时，函数有极小值为，无极大值.
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.
17. 已知函数．
（1）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围；
（2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）题目可转化为 ：对任意的都成立，再利用变换主元的方法，把看作自变量，看作参数，即可求解；
（2）由函数解析式, 令，再分离参数k，即可求解.
【小问1详解】
，当时，
又∵存在，对任意的都成立，
∴对任意的都成立
即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数，
即，解得：
【小问2详解】
令则
,因为不等式在区间上有解
，又
而
,即实数的取值范围是
18. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后的下一代颠覆性的核心技术．区块链作为“信任的机器”，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式．2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：
（1）根据表中数据判断，与（其中为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果，求关于的回归方程．（结果精确到小数点后第三位）
（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
附：线性回归方程中，．
参考数据：
【答案】（1）回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量
（2）
（3）甲公司获得“优胜公司”概率最大．
【解析】
【分析】（1）根据数据的增长速度逐渐加快得到答案.
（2）变换得到，得到，根据公式计算得到答案.
（3）考虑：甲与乙；：甲与丙；：丙与乙三种比赛情况，分别计算概率，再比较大小得到答案.
【小问1详解】
根据题表中数据可知区块链企业数量增加的速度逐渐变快，
所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量．
【小问2详解】
对两边取自然对数，得，令，得，
，
所以，
，
所以关于的回归直线方程为，
则关于的回归方程为．
【小问3详解】
对于首场比赛的选择有以下三种情况：：甲与乙；：甲与丙；：丙与乙．
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，
则甲公司获胜的概率分别是：
，
，
．
因为，
所以甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．
19. 记，．
（1）若，求和；
（2）已知定义在上的函数是偶函数，求证：对于任意正实数，均有．
（3）若fx=x3-3x2，求证：对于任意，都有，且存在，使得．
【答案】（1）；；
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）根据新定义的含义，结合奇偶函数的定义、最值的定义证明即可；
（3）由题意知，，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可.
【小问1详解】
由题意得：；
；
【小问2详解】
对于任意正实数，任取，
则存在实数满足使得，
因为y=fx是偶函数，所以，而，
由此可得，于是有，
同理，所以．
【小问3详解】
证明：由题意知，
记，有或2
现对分类讨论：
①当，有，为严格增函数，
因为，所以此时符合条件；
②当时，，先减后增，
因为（取等号），
所以，
则此时也符合条件；
③当时，，，在严格单调递增，
在0,2严格单调递减，在严格单调递增，
，
因为，当时，，
则，则此时成立；
综上可知，对于任意，都有，
且存在，使得．
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于把握新定义的含义，结合奇偶函数的定义、最值的定义证明即可.
有朝霞
无朝霞
合计
当天有雨
8
8
16
当天无雨
2
12
14
合计
10
20
30
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2018
2019
2020
2021
2022
编号
1
2
3
4
5
企业总数量（单位：千个）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
0
0,2
2
正
0
负
0
正
极大值
极小值