江西省新余市实验中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份江西省新余市实验中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，共20分，每小题2分）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【详解】的绝对值是2024．
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用整式的除法运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【详解】A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，无法合并，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
3. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的（ ）
A. 左视图会发生改变B. 俯视图会发生改变
C. 主视图会发生改变D. 三种视图都会发生改变
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】如果将小正方体放到小正方体正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：C．
4. 计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用积的乘方的运算法则进行运算即可．
【详解】．
故选：B．
5. 的相反数是（ ）
A 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】，2024的相反数是.
故选：B
6. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【详解】若二次根式在实数范围内有意义，则，解得：．
故选：A．
7. 当时，一次函数的图象一定经过（ ）
A 第一、三象限B. 第一、四象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据的取值范围确定图象在坐标平面内的位置，从而求解．
【详解】，异号．
①当时，，此时一次函数的图象经过第一、三、四象限；
②当时，，此时一次函数的图象经过第一、二、四象限；
综上所述，当时，一次函数的图象一定经过第一、四象限．
故选：B．
8. 以下是按一定规律排列的单项式：，依此规律，第个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据系数与次数两个方面总结可得第个单项式．
【详解】按一定规律排列的单项式：，
依此规律，第个单项式是，
故选：C．
9. 如图，为直径，，则的度数为（ ）
A. B. C. 55°D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用直径所对的圆周角为直角得到是直角三角形，再根据的度数求得的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【详解】是直径，
，
，
，
，
故选：C．
10. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
【详解】选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，共10分，每小题2分）
11. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】．
故答案为：．
12. 设是方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根与系数关系求解．
【详解】是方程的两个根，
，
故答案为：．
13. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平角的定义得，得，根据平行线的性质可得答案．
【详解】如图，
依题意，，解得，
而直尺的上下两边平行，所以.
故答案为：
14. 江西省推行“智慧作业”落实“双减”，“减负”“增效”效果明显．截止年10月，“智慧作业”使用学校达所、使用的师生数达万人，有效加强了优质作业资源共建共享，提高了作业完成质量．数据万用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义求解即可．
【详解】．
故答案为：．
15. 如图，在中，，是边上的中线，分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点，直线与交于点，若，则外接圆的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形外接圆的作法得出点即为外接圆的圆心，进而求出其面积．
【详解】，AD是边中线，
垂直平分，
分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点分别为点，
垂直平分，点即为外接圆圆心，
为外接圆半径，又，
外接圆的面积为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. （1）计算：．
（2）如图，是的中点，，．求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据乘方和零指数幂的意义、特殊角的三角函数值计算，然后进行有理数的加减运算；
（2）先利用线段中点定义得到，然后根据“”可判断．
详解】（1）原式；
（2）是的中点，，在和中，，
．
17. 在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级班进行抽奖活动，活动规则如下：将张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是______；
（2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及丽丽抽到“龙”和“马”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是．
【小问2详解】
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有种，
丽丽获得奖品的概率为．
18. 如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图①中，以线段：为腰画一个等腰直角三角形．
（2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的定义画出图形；
（2）取格点，连接，根据相似三角形的性质和正切的定义即可得到符合题意的图形．
【小问1详解】
如图①所示，连接，
则，，
，
所以，，
所以是以AB为腰的等腰直角三角形，
故为所求.
【小问2详解】
如图②所示，连接，
由（1），，，
所以，
因为，故，
所以，
即为所求图形．
19. 如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线交于点，函数的图象经过点和点．
（1）求的值和点的坐标；
（2）求的周长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出，再推出，即可得到答案；
（2）求出点的坐标，求出的长即可解决问题．
【小问1详解】
点在上，，
四边形是平行四边形，，点的纵坐标为3，
点在的图象上，．
【小问2详解】
，，，，
，，
平行四边形的周长为．
20. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校体育社团准备从商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，已知羽毛球拍的单价比乒乓球拍的单价高50元，用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等．
（1）求购买一副羽毛球拍、一副乒乓球拍各需要多少元？
（2）如果该校需要乒乓球拍的数量是羽毛球拍数量的2倍还多3副，且购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2890元，那么学校最多可购买多少副羽毛球拍？
【答案】（1）购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元
（2）20
【解析】
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需要元，则购买一副羽毛球拍需要元，根据用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等建立方程求解即可；
（2）设该校购买羽毛球拍副，则需要购买乒乓球拍是副，根据乒乓球拍的费用加上羽毛球拍的费用不超过2890元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
设购买一副乒乓球拍需要元，则购买一副羽毛球拍需要元，
根据题意得，解得，
经检验，是原方程的解，所以，
答：购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元；
【小问2详解】
设该校购买羽毛球拍副，则需要购买乒乓球拍是副，
由题意得：，解得，
答：学校最多可购买20副羽毛球拍．
21. 某中学开展安全知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如下面的图表所示：（单位：分）
（1）将表填写完整；
（2）试问哪班的5名选手的复赛成绩更整齐？通过计算说明；
（3）复赛后如果要在两班中选出一个优胜班，你认为选哪个班更合适些？并至少列举两条理由说明．（方差计算公式：）
【答案】（1）表格见解析
（2）八（2）班，说明见解析
（3）八（2）班，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数以及众数的定义求解即可；
（2）根据统计图中的数据可以计算两个班的方差，然后比较大小，即可解答本题；
（3）在平均数相同的情况下，中位数高或方差小的成绩较好．
【小问1详解】
八（1）班的平均成绩是：（分），众数是80，八（2）班的众数是85；
填写表格如图所示：
【小问2详解】
八（2）班的成绩比较稳定，理由：
八（1）班的方差是：，
八（2）班的方差是：，
八（2）班的方差小于八（1）班的方差，
八（2）班的成绩比较稳定；
【小问3详解】
八（2）班为优胜班，
因为两个班的平均数一样，八（2）班的中位数高，所以八（2）班为优胜班．
因为两个班的平均数一样，八（2）班的方差小，所以八（2）班为优胜班．
22. 如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，且平分．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，．
①的直径；
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明，根据切线的判定方法证明结论；
（2）①根据特殊角三角函数值以及直角三角形的边角关系求出，再根据直角三角形的边角关系即可求出直径；
②根据进行计算即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
，，
平分，，
，．
，．
是半径，是的切线；
【小问2详解】
①在中，，
，，，
在中，，，
；
②，，
，是等边三角形，
．
23. 如图，直线与轴、轴分别相交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为，且对称轴为直线．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）连接，在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在两点，两点为，
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及点的坐标，即可求出的坐标，利用抛物线过、三点，可用待定系数法来求函数的解析式
（2）首先利用各点坐标得是直角三角形，进而得出答案；
（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点的坐标，然后求出的长，进而分情况进行讨论：
①当，时，根据的坐标可求出的长，根据的坐标可求出的长，已经求出了的长度，那么可根据比例关系式得出的长，即可得出的坐标．
②当，时，可参照D的方法求出的坐标．
③当在点右侧，即可得出，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的的坐标．
【详解】（1）直线与轴相交于点，
当时，，点的坐标为，
过点，易知，．
又抛物线过轴上的两点，且对称轴为，
根据抛物线的对称性，点的坐标为1,0．
又抛物线过点，，解得：，
该抛物线的解析式为：；
（2）如图1，，则，
又，，，
，又，，
，是直角三角形，，
；
（3）如图2，由，得，
设抛物线的对称轴交轴于点，
在中，，
，．
由点，易得，在等腰直角三角形中，，
由勾股定理，得．假设在轴上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似．
①当，时，．即，
解得：，又，点与点重合，的坐标是．
②当，时，．即，解得：．
，，的坐标是．
③当在点右侧，则，，
故．则点不可能在点右侧的轴上，
综上所述，在轴上存在两点，，能使得以点为顶点的三角形与相似．
龙
蛇
马
羊
龙
（龙，蛇）
（龙，马）
（龙，羊）
蛇
（蛇，龙）
（蛇，马）
（蛇，羊）
马
（马，龙）
（马，蛇）
（马，羊）
羊
（羊，龙）
（羊，蛇）
（羊，马）
班别
平均数
中位数
众数
八（1）班
______
80
______
八（2）班
85
85
______
班别
平均数
中位数
众数
八（1）班
85
80
80
八（2）班
85
85
85