内蒙古包头市昆都仑区包钢实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古包头市昆都仑区包钢实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数是无理数的是( )
A. -2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】A、-2是整数，是有理数，故A错误；
B、是分数，是有理数，故B错误；
C、=2是整数，是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、二次根式和完全平方公式的计算求解即可．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法、积的乘方、二次根式和完全平方公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
3. 在一次信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：8，8，10，8，7，9，则这6名学生成绩的中位数是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
根据中位数的定义，把把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，9，10，
最中间两个数的平均数是，
则中位数是8．
故选；B．
4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．
【详解】解：二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为，
故选：A．
5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A. B. 2C. 5D. 10
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，
故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
6. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得．
【详解】解不等式，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7. 如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．
【详解】如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC，
∴
∴
故选C.
【点睛】考查位似图形性质，掌握位似图形的性质是解题关键.
8. 某市2020年底森林覆盖率为70%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，计划到2022年底森林覆盖率达到78%，如果这两年的森林覆盖率年平均增长率为x，那么符合题意的方程是（ ）
A. 0.7（1+x）＝0.78B. 0.7（1+2x）＝0.78
C. 0.7（1﹣x）2＝0.78D. 0.7（1+x）2＝0.78
【答案】D
【解析】
【分析】利用2022年底森林覆盖率＝2020年底森林覆盖率×（1+这两年的森林覆盖率年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：70%（1+x）2＝78%，
即0.7（1+x）2＝0.78．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
9. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为( )
A B.
C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆周角定理，得＝90°，由勾股定理得BC长度．
【详解】∵，
∴
∵OB=OC=2
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟练使用以上知识点是解题的关键．
10. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
二．填空题
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法，并根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．
12. 若关于x的分式方程 =2的解为非正数，则k的取值范围为_______．
【答案】k≤3且k≠1
【解析】
【分析】先解出这个分式方程的解，然后再考虑分式方程的解为非正数，还要注意分母0得到不等式进行求解即可．
【详解】解：去分母，得k-1=2x+2，
解得x=．
由分式方程的解为非正数，
得≤0，且x+1≠0，即≠-1，
解得k≤3且k≠1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，分母0是本题的易错点，解这类题的步骤是：（1）解出分式方程的解；（2）考虑题目给的条件，注意分母0；（3）解不等式．
13. 从红，黄，蓝三顶不同颜色的帽子和黑，白两条不同颜色的围巾中，任取一顶帽子和一条围巾搭配，恰好取到红帽子和黑围巾的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，正确选择方法并规范解答是解答的关键．画树状图求其概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
一共有6种等可能性，其中恰好取到红帽子和黑围巾的有一种等可能性，
∴恰好取到红帽子和黑围巾的概率是，
故答案为．
14. 如图，面积为的的斜边在x轴上，，反比例函数的图象恰好经过点A，则k的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得的面积是是解答此题的关键．作于，根据30°角的直角三角形的性质得出，然后通过证得，求得的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得的值．
【详解】解：作于，

∵中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数图象在二、四象限，
∴，
故答案为∶ ．
15. 某商品现在的售价为每件60元时当，每星期可卖出300件，为占有市场份额，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，则售价为每件57元时，获得的利润是_______元
【答案】6120
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．当售价为每件57元时，每件商品的利润为元，此时可销售件，然后根据利润=单件利润×销售量求解即可．
【详解】解：当售价为每件57元时，获得的利润是
（元），
故答案为：6120．
16. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD=__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可．
【详解】∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6-x）2=（6+x）2，
解得x=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，拓展一元一次方程，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键．
三．解答题
17. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程等，解题的关键是：
（1）利用特殊角的三角函数，绝对值、负整数指数幂的意义化简计算即可；
（2）解分式方程先去分母，等式两边都乘以，变为整式方程求解，注意结果要检验．
【详解】解：（1）
；
（2），
去分母，得，
解得，
检验：当时，，
∴原方程无解．
18. 如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.
(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率;
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用A,B,C,D表示).
【答案】（1）.（2）公平
【解析】
【分析】（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；
（2）首先根据（1）求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若摸出两张牌面图形都是中心对称图形的有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．
【详解】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；
（2）列表得：
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P（两张都是轴对称图形）=，因此这个游戏公平．
19. 为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在A点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．

（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）行进路线和所在直线的夹角为
（2）检查点和之间的距离为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，再由各角之间关系求解即可；
（2）过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【小问1详解】
解：如图，根据题意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行进路线和所在直线的夹角为．
【小问2详解】
过点A作，垂足为．

，
，
．
,
中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：检查点和之间的距离为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
20. 鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，；（2）当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，根据待定系数法即可得出答案；
（2）设宾馆每天的利润为W元，利用房间数乘每一间房间的利润即可得到W关于x的函数解析式，配方法再结合增减性即可求得最大值．
【详解】（1）根据题意，设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
图象过（280，40），（290，39），
∴，解得：
∴y与x之间的函数解析式为y=-0.1x+68，
∵每间房价不低于200元且不超过320元
∴
（2）设宾馆每天的利润为W元，
，
∴
当x＜350时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当x=320时，W最大=10800
∴当房价定为320元时，宾馆利润最大，最大利润是10800元
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及待定系数法求一次函数的解析式，注意利用配方法和函数的增减性求函数的最值，难度不大．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，
（1）求m和k的值．
（2）求B点的坐标．
【答案】（1）3，6 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）把A的坐标代入一次函数求出m，然后把A的坐标代入反比例函数求出k即可；
（2）把一次函数、反比例函数解析式联立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
解得；
【小问2详解】
解：由（1）得，
联立方程组，
解得，或，
∴B的坐标为．
22. 如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：△CBF≌△CDF；
（2）如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE，ON＝1，直接写出CG的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②．
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质结合三角形全等的判定条件“SAS”即可证明；
（2）①由和可推出，再根据可推出，即可证明，根据等角对等边即得出FB＝FG；②由题意易证，得出，即，，从而可求出，，进而可求，．过点F作于点H，易证为等腰直角三角形，即得出，从而可求．最后由等腰三角形“三线合一”即得，即可求出．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，．
又∵，
∴．
【小问2详解】
①∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴FB＝FG；
②∵，，
∴，即，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，OD=OC=OB,
∴，，
∴，
解得：，．
∴，．
如图，过点F作于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵BF=FG，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及解直角三角形．熟练掌握正方形的性质是解题关键．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式；
（3）若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）能；或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴于N，作轴于M，连接、，当点P在第一象限时，则)，又因为，，由求解即可；
（3）当P在第一象限时，当P在第二象限，分别求解即可；
【小问1详解】
解：把、代入二次函数，得
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过点P作轴于N，作轴于M，连接、，
，
当点P在第一象限时，
∵点的横坐标为，
∴，
对于二次函数，令，则，
∴，
∵，
∴
；
【小问3详解】
解：当P在第一象限时，若，
则，
解得：，
∴P点坐标为，
当P在第二象限，即时，过O作直线交抛物线于点，
设直线的解析式为，把，代入，得
，解得：，
∴直线的表达式为，
所以直线l的表达式为，
联立方程组方程组，
解得：（舍去），，
∴点P坐标为
综上，P的坐标为或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，三角形面积，等定系数法求一次函数的式，一次函数图象平称等知识，（3）问要注意分类讨论．A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）