山东省齐河县马集乡中学2023-2024学年八年级下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则为（ ）
A. B. 30°C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和以及平行线的性质可知．
【详解】解：∵，
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，平行线的性质等知识点，熟练运用定理和性质是解题的关键．
2. 如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据角平分线的性质定理判断作答即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三条公路距离相等的点在角平分线的交点上，
如图，

三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处，
故选：D．
3. 如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：作于，于，

是的平分线，
，
．
故选：D．
4. 在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出各角的度数，再根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半求解即可．此题考查三角形内角和性质，含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
【详解】解：∵，
设为，为，为，
可得：，
解得：，
∴，，，
，
∴则等于
故选：B．
5. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
6. 要使的结果不含的一次项，则的值等于（ ）
A. 2B. 3C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则化简，不含x一次项则让x一次项系数为0即可求出m的值．
【详解】解：=
∵结果不含的一次项
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
7. 如果a﹣b=4，ab=6，那么ab2﹣a2b的值是（ ）
A. ﹣24B. ﹣10C. 24D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】把ab2﹣a2b分解为ab(a-b)，然后把a﹣b=4，ab=6代入计算即可.
【详解】∵a﹣b=4，ab=6，
∴ab2﹣a2b=ab(b-a)=6×(-4)=-24，
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
8. 下列各式：，，，中，是分式的共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的概念，对式子逐个判断即可，
【详解】解：，分式，不是分式，是分式，是分式，
分式的个数为3个，
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式的定义：形如，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意π是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．
9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A. a＞1B. a≥1C. a≥1且a≠9D. a≤1
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式方程的解法用参数表示x，再根据分式方程解的情况和分式方程有意义的条件列出不等式组并求解即可．
【详解】解：∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴解该方式方程得．
∴
∴a≥1，且a≠9．
故选：C．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，熟练掌握该知识点是解题关键．
10. 下列二次根式化简后可以合并的一组是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫作同类二次根式．
【详解】解：A、化简得：和不是同类二次根式；
B、和不能化简，不是同类二次根式；
C、化简得：和，不是同类二次根式；
D、化简得：和，是同类二次根式．
故选：D．
11. 观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
按照上述规律，计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意，可得，，，⋯⋯，再相加即可得解．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
……
第n个等式：，
∴
=，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．
12. 已知的三边长分别为6，8，10，则的面积为（ ）
A. 12B. 24C. 30D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在一个三角形中，若两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据可得到是直角三角形，据此利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别为6，8，10，且，
∴是直角三角形，且两直角边长为6和8，
∴的面积为，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
13. 已知、、是三角形的三边长，化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算．此题主要考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，关键是根据三角形的三边关系判断出，的正负性．
详解】解：根据三角形的三边关系，得
，．
．
故答案为：
14. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示（见详解），过A和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
【详解】解：如图所示，过A和分别作于，于，即，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°，
∴，
∴，
在，中，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点A的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴则B点的坐标是．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与直角三角形的综合运用，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．构造全等三角形是解题的关键．
15. 如图，在△ABC中， AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB于点D， CE=4，△BCD的周长等于18，则△ABC的周长为____________．
【答案】26
【解析】
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，即BD+CD+BC=18，再根据CE=4得到AC=8即可进行解答．
【详解】解答：∵ED是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵△BCD的周长等于18，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=AB+BC=18，
∵CE=4，
∴AC=8．
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=18+8=26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
16. 如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为________．
【答案】±4
【解析】
【详解】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，
∴(2a+2b)2-1=63,
∴(2a+2b)2=64,
∴2a+2b=±8,
∴a+b=±4.
故答案为±4.
17. 若关于x的方程无解，则m的值为__．
【答案】-1或5或
【解析】
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.
【详解】去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或.
故答案为：或或.
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.
18. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是___.
【答案】3
【解析】
【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.
【详解】因为,
所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2, y=,
所以(2x＋)y=,
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.
三、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 如图，在中，，，，是边上的高，求：
（1）的面积；
（2）的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股逆定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，，，得出，证明是直角三角形，根据三角形面积公式列式计算，即可作答．
（2）结合是边上的高，根据等面积法列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，，
∴
∴
即是直角三角形
∴的面积
【小问2详解】
解：∵是边上的高，
∴的面积
解得
20. 如图，在中，平分，点E在的延长线上，且于点F．求证：F是的中点．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件证明，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中点．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据已知求证是解本题的关键．
21. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）12天
【解析】
【分析】（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，根据题意列出分式方程，故可求解；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意列出不等式，故可求解．
【详解】解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意，得
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
（间），
所以，甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室．
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意，得
解这个不等式，得．
所以，最多安排甲公司工作12天．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解．
22. 阅读下列材料：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解，还能结合非负数的意义来解决一些问题．
如：
解：原式
．
（1）请你仿照以上方法，完成因式分解：．
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）-2
【解析】
【分析】（1）先加上再减去即可求解；
（2）先对等式左边进行分组配方，再求出m，n的值，最后代入即可．
【小问1详解】
原式
．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴，．
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了配方法，解题关键是掌握配方的步骤，对于四项及以上的情况可以考虑先分组再配方．
23. 【问题情景】 请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：．
（1）解：由解得 ， ， ．
（2）【拓展创新】已知，求的值．
【答案】（1）3，1，
（2）29
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的非负性，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式即可；
（2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，通过对完全平方公式变形求值，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
解：由，
解得：，
∵
．
；
故答案为：3，1，
【小问2详解】
解：∵
由：，
解得：，
∵
∴
，
．