天津市第四十七中学2024届高三下学期高考模拟数学试题

这是一份天津市第四十七中学2024届高三下学期高考模拟数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷 选择题（共45分）
一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设为直线，为平面，则的一个充要条件是（ ）
A．内存在一条直线与平行B．平行内无数条直线
C．垂直于的直线都垂直于D．存在一个与平行的平面经过
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
5．的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
6．下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
D．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
9．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷 非选择题（共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）
10．复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为___________.
11．在的二项式展开式中，的系数为__________.
12．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为___________.
13．红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色，现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为____________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为___________.
14．已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则___________，的最小值为____________.
15．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为___________.
三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（本小题满分14分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，，.
（1）求的值；
（2）若，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值.
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
18．（本小题满分15分）
已知数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数，使得，，成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分15分）
已知椭圆的长轴长为，；离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.
（1）求的方程；
（2）若直线的方程为，点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点，和点三点共线，求的值.
20．（本小题满分16分）
已知函数，，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，试比较，，的大小关系，并说明理由；
（3）设，求证：.
天津市第四十七中学2023-2024第二学期高三年级
高考模拟 数学参考答案
一、选择题：每小题5分，满分45分.
8．【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则，由双曲线定义可得，又、关于原点对称，故，，，
则，由，故，故有，
化简可得，即有，，由，则有，即，即.故选：B.
9．【详解】，则知是等边三角形，以为直角坐标系原点，在轴，则，，当，，表示的区域是下图中的①；当，，表示的区域是下图中的②；当，，表示的区域是下图中的③；当，，表示的区域是下图中的④；则表示的区域就是图中的平行四边形，其面积为.
二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）
10．111．12．
13．；14．1，15．
14．【详解】当时，，即，又，所以.
由①，得：当时，②，①-②得，故，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，则，解得；
故数列的公比为2，，则，，则.
令，则，，由对勾函数的性质可得在区间上单调递增，所以当，即时，取得最小值.
15．【详解】的解集为，恒成立，且在时的解集为.
（1）当时，，为满足题意，其图像听该如图：；
（2）当时，
①时，恒成立，满足题意；
②时，恒成立恒成立，
令，则，
由得，，即时，单调递增，
由得，，即时，单调递减，
时，取得极大值，，
，，时，，，
，综上所述，.故答案为：.
三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分14分）
（1）因为，且，，所以，所以，由正弦定理有，所以.
（2）（ⅰ）因为，所以，由余弦定理得
解得或（舍），所以的值为8.
（ⅱ）因为，，又因为，所以，
法（一），因为，，，
所以，所以，.
17．（本小题满分15分）
（1）在中，因为，，，
由余弦定理知，得到，所以，故，
又平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面.
（2）如图所示，以，，为，，轴建立直角坐标系，
因为，，，
则，，，，，，又点是棱的中点，所以，设平面的法向量为，，，
由，得到，取，，，得到，
设平面的法向量为，，，
由，得到，取，，，得到，
平面与平面夹角的平面角为锐角，
故平面与平面夹角的余弦值为，
所以平面与平面夹角的正弦值为
（3）因为平面的法向量为，，
所以距离为.
18．（本小题满分15分）
（1）由①，当时，，
当时，②，
①-②得，即，
所以，所以，
当时，，上式也成立，
所以数列为常数列，，所以.
（2）由，，
则，
所以的前项和为
.
（3）由（1）知，要使，，成等差数列，则，
即，整理得，
因为，为正整数，所以只能取2，3，5，
当时，；当时，；当时，.
故存在正整数，使得，，成等差数列.
19．（本小题满分15分）
（1）设椭圆的焦距为，
因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以，，所以，所以.故椭圆的方程为.
（2）设点关于直线的对称点为，
则，解得，则，由在椭圆上，可得，
整理得，解得或.当时，点与点重合，舍去，
当时，点，满足要求.
（3）设，，，，则，.
又，设的斜率为，则，直线的方程为，
由消去并整理得，
则，所以.
又，所以，
所以，则，
同理可求得.又，
则，
.
由点，和点三点共线，所以，则，
可得，则.
20．（本小题满分16分）
（1）由得，，所以在处的切线的斜率，切点，所以所求切线方程为：，即；
（2）结论：，理由如下：
要证，即证，只需证，
令，则，
当时，，，故，所以在时单调递减，
所以，即，所以，故；
要证，即证，只需证，
令，则，；令，
则，当时，，从而，
故，所以在时单调递减，所以，
从而在时单调递减，
所以，即，即
所以，故，又因为，所以.
（3）令，则
所以在当时单调递减，所以，
所以，即，令，则有，
即，所以，，
…，
所以，所以
，
所以，
因为，所以；
下面先证当时，，令，，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
从而，即，当且仅当时，，
所以当时，，
令，则有，即，所以，
，…，
所以，即，
因为
，
所以，
因为，
所以，
综上所述，.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
B
C
A
D
B
D