黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在等比数列中，，，则数列的前5项和为（ ）
A. B. C. 和5D. 和5
2. 小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（ ）
A. 16B. 24C. 166D. 180
3. 已知Sn是数列{an}前n项和，若a1=1，an+1=3Sn，则a2022=（ ）
A. 42019B. 42020C. 3×42019D. 3×42020
4. 设，，，，，数列，则的前100项和是（ ）
A. B. C. D. 0
5. 对于一个项数列，记的“Cesar平均值”为，若数列的“Cesar平均值”为2022，数列的“Cesar平均值”为2046，则（ ）
A. 24B. 26C. 1036D. 1541
6. 如图，用4种不同颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）

A. 24B. 96C. 48D. 108
7. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则（ ）
A. B. C. D.
10. （多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则t的最小值为2
D. 当时，方程有且只有两个实根
11. 已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，直线与函数的图像相切
C. 若函数区间上单调递增，则
D. 若在区间上恒成立，则
三、填空题
12. 已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是___________.
13. 设定义在R上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与x轴的交点分别为，，.给出下列四个命题：
①函数的单调递增区间是，；
②函数的单调递增区间是，；
③是函数的极小值点；
④是函数的极小值点.
其中，正确命题的序号是__________.
14. 已知函数，，令，若函数存在3个零点，则实数取值范围是______.
四、解答题
15. 已知函数，.
（1）求曲线在处切线的方程；
（2）若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
16. 已知数列的前n项和为，各项均为正数的等比数列的前n项和为，________，且.
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
17. 已知为数列的前项和，且（是非零常数）.
（1）求的通项公式（答案含）；
（2）设，当时，求数列的前项和.
18 已知，.
（1）当时，求极值；
（2）讨论单调性；
（3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
19. 已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.