高考数学科学创新复习方案提升版第7讲函数的概念及其表示学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第7讲函数的概念及其表示学案（Word版附解析），共18页。

[课程标准]1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.4.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数的定义
2.函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的eq \x(\s\up1(04))定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的eq \x(\s\up1(05))值域．
3．函数的三要素：eq \x(\s\up1(06))定义域、eq \x(\s\up1(07))对应关系和eq \x(\s\up1(08))值域．
4．同一个函数：如果两个函数的eq \x(\s\up1(09))定义域相同，且eq \x(\s\up1(10))对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
5．函数的表示法
表示函数的常用方法有：eq \x(\s\up1(11))解析法、eq \x(\s\up1(12))列表法、eq \x(\s\up1(13))图象法．
6．分段函数
(1)定义：若函数在定义域的不同子集上，因eq \x(\s\up1(14))对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)定义域和值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
(3)注意点：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
双勾函数
1．下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是( )
A．y＝eq \r(x－4)＋eq \r(3－x)
B．y2＝4x
C．y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x，x≥1，,1－2x，x≤1))
答案 D
解析 对于A，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4≥0，,3－x≥0，))解得x∈∅，所以y不是x的函数；对于B，当x>0时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于C，当x＝1时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于D，满足y是x的函数．故选D.
2．(多选)(人教A必修第一册习题3.1 T2改编)下列四组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1与y＝eq \r(（x－1）2)
B．y＝eq \r(x－1)与y＝eq \f(x－1,\r(x－1))
C．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1
D．y＝(eq \r(3,x))3与y＝x
答案 CD
解析 对于A，y＝x－1与y＝eq \r(（x－1）2)＝|x－1|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；对于B，y＝eq \r(x－1)的定义域为[1，＋∞)，y＝eq \f(x－1,\r(x－1))的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于D，y＝(eq \r(3,x))3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域、对应关系都相同，两函数是同一个函数．故选CD.
3．(2024·重庆一中月考)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))则f(f(3))的值为________．
答案 －7
解析 根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3＋1，x≤0，,1－x，x＞0，))则f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7.
4．(人教A必修第一册习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
(注：图中f(x)的图象与直线x＝3无限靠近但无公共点)
答案 [－3，0]∪(1，3) (0，＋∞) (0，1)∪(4，＋∞)
解析 求f(x)的定义域可看f(x)的图象上所有点的横坐标的取值构成的集合，易知为[－3，0]∪(1，3)；求f(x)的值域可看f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值构成的集合，易知为(0，＋∞)；作直线y＝m，可知当m∈(0，1)∪(4，＋∞)时，直线y＝m与f(x)的图象有唯一公共点，所以只有唯一的x值与之对应的y值的范围是(0，1)∪(4，＋∞)．
5．(2023·合肥模拟)若f(eq \r(x)＋1)＝x－1，则f(x)＝________．
答案 x2－2x，x≥1
解析 令eq \r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1.
多角度探究突破
角度 求具体函数的定义域
例1 (1)(2023·常州一模)函数f(x)＝eq \f(\r(|x－2|－1),lg2（x－3）)的定义域为________．
答案 (3，4)∪(4，＋∞)
解析 函数f(x)＝eq \f(\r(|x－2|－1),lg2（x－3）)有意义，需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x－2|－1≥0，,x－3>0，,x－3≠1，))解得x>3且x≠4，故函数f(x)的定义域为(3，4)∪(4，＋∞)．
(2)已知函数f(x)＝eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，则实数a的取值范围是________．
答案 (－12，0]
解析 因为函数f(x)＝eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－121．求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)，求解不等式(组)即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义．
2．使函数解析式有意义的常见限制条件
(1)分式型eq \f(1,f（x）)要满足f(x)≠0.
(2)根式型eq \r(2n,f（x）)(n∈N*)要满足f(x)≥0.
(3)幂函数型[f(x)]0要满足f(x)≠0.
(4)对数型lgaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0.
(2024·江门棠下中学月考)函数f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,\r(9－x2))的定义域为( )
A．(－3，0]∪(3，＋∞)B．(－3，0)∪(0，3)
C．[0，3)D．(0，3)
答案 C
解析 ∵f(x)＝eq \r(2x－1)＋eq \f(1,\r(9－x2))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,9－x2>0，))解得0≤x<3，故函数f(x)的定义域为[0，3)．故选C.
角度 求抽象函数的定义域
例2 (1)(2023·河南顶级名校模拟)已知函数f(x)＝lg2eq \f(1－x,x)，f(x＋1)的定义域为M，f(2x)的定义域为N，则( )
A．M＝N B．M∩N＝∅
C．M⊆N D．N⊆M
答案 B
解析 由eq \f(1－x,x)＞0，解得0＜x＜1，所以函数f(x)的定义域是(0，1)．由0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，所以f(x＋1)的定义域M＝{x|－1＜x＜0}，由0＜2x＜1得0＜x＜eq \f(1,2)，所以f(2x)的定义域N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(1,2)))))，所以M∩N＝∅.故选B.
(2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
答案 [－1，2]
解析 因为y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，所以x∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]．
(2023·衡水模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝eq \f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定义域是( )
A．[1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．[1，2)∪(2，3]
答案 C
解析 由题意，函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，即x∈[0，4]，则函数y＝eq \f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x＋1≤4，,x－1＞0，,x－2≠0，))解得1＜x≤3且x≠2，所以函数y＝eq \f(f（x＋1）,\r(x－1))＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．故选C.
例3 (1)(2023·哈尔滨模拟)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，则f(x)的解析式为________________．
答案 f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1)
解析 (换元法)令eq \f(2,x)＋1＝t(t>1)，则x＝eq \f(2,t－1)，所以f(t)＝lg eq \f(2,t－1)(t>1)，所以f(x)＝lg eq \f(2,x－1)(x>1)．
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________．
答案 2x＋eq \f(8,3)或－2x－8
解析 (待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8，))所以f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1，则f(x)＝________．
答案 eq \f(2,3)eq \r(x)＋eq \f(1,3)
解析 (解方程组法)在f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1中，将x换成eq \f(1,x)，则eq \f(1,x)换成x，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq \r(\f(1,x))－1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2f（x）·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq \f(2,3)eq \r(x)＋eq \f(1,3).
求函数解析式的四种方法
1.若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2－x＋3
解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))故所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
2．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________．
答案 －x＋eq \f(1,4)
解析 由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（x）＋3f（－x）＝2x＋1，,f（－x）＋3f（x）＝－2x＋1，))得f(x)＝－x＋eq \f(1,4).
3．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，则f(x)＝________．
答案 x2－2(x≥2或x≤－2)
解析 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2＋\f(1,x2)))－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
多角度探究突破
角度 分段函数求值问题
例4 (2023·衡水中学调研)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1，x>0，,2－x，x<0.))
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的解析式．
解 (1)由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3，
因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，g(x)＝x－1，
故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，g(x)＝2－x，
故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x，x>0，,x2－4x＋3，x<0.))
当x>1或x<－1时，f(x)>0，
故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；
当－1故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.
所以g(f(x))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2，x>1或x<－1，,3－x2，－1分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定所求值的自变量属于哪一个区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
(2024·河南省“顶尖计划”第一次考试)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－x，x≤0，,lg3x，x>0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝________．
答案 3
解析 因为eq \f(1,3)>0，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝lg3eq \f(1,3)＝－1，又－1<0，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝f(－1)＝31＝3.
角度 分段函数与方程、不等式问题
例5 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f(f(a))＝2，则a＝( )
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
答案 D
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2；当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1.综上所述，a＝－2或a＝－1.
(2)(2024·苏州常熟中学阶段考试)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
答案 D
解析 根据题意作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，满足f(x＋1)解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略
(1)分类讨论：根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．
(2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图象直观地分析判断，可以快速准确地解决问题．
1.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)＞a，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 当a≥0时，f(a)＝eq \f(1,2)a－1，由f(a)＞a，解得a＜－2，矛盾；当a＜0时，f(a)＝eq \f(1,a)，由f(a)＞a，解得a＜－1.所以实数a的取值范围为(－∞，－1)．
2．(2023·北京第101中学模拟)函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg2x，x>0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝________；方程f(－x)＝eq \f(1,2)的解是________．
答案 －2 －eq \r(2)或1
解析 由解析式知，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝lg2eq \f(1,4)＝－2.因为f(－x)＝eq \f(1,2)，所以当－x≤0，即x≥0时，2－x＝eq \f(1,2)，得x＝1，符合题意；当－x>0，即x<0时，lg2(－x)＝eq \f(1,2)，得x＝－eq \r(2)，符合题意．所以f(－x)＝eq \f(1,2)的解是－eq \r(2)或1.
课时作业
一、单项选择题
1．(2024·广州模拟)设函数y＝eq \r(16－x2)的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1，4) B．(1，4]
C．[－4，1) D．(－4，1)
答案 C
解析 因为函数y＝eq \r(16－x2)的定义域为{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，函数y＝ln (1－x)的定义域为{x|1－x>0}，即B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|－4≤x<1}．故选C.
2．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译作：“函数”，沿用至今．为什么这么翻译？书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则：
①y＝lg2|x|；②y＝x＋1；③y＝2|x|；④y＝x2.其中能构成从M到N的函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 在①中，当x＝±1时，y＝lg21＝0∉N，故①不能构成从M到N的函数；在②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N，故②不能构成从M到N的函数；在③中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故③能构成从M到N的函数；在④中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故④能构成从M到N的函数．故选B.
3．(2023·镇江模拟)若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为( )
A．[－2，2] B．[－2，4]
C．[－4，4] D．[－8，8]
答案 C
解析 因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4≤x≤8，,－4≤－x≤8，))解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4]．故选C.
4．(2023·重庆模拟)已知函数f(1－x)＝eq \f(1－x2,x2)(x≠0)，则f(x)＝( )
A.eq \f(1,（x－1）2)－1(x≠0) B.eq \f(1,（x－1）2)－1(x≠1)
C.eq \f(4,（x－1）2)－1(x≠0) D.eq \f(4,（x－1）2)－1(x≠1)
答案 B
解析 令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝eq \f(1－（1－t）2,（1－t）2)＝eq \f(1,（t－1）2)－1(t≠1)，所以f(x)＝eq \f(1,（x－1）2)－1(x≠1)．故选B.
5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
答案 B
解析 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,a－b＝5，))解得a＝3，b＝－2，所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B.
6．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝( )
A．2 B.eq \r(2)
C．1 D．0
答案 B
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－30，))即－27．若函数y＝eq \f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋2))的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
答案 D
解析 要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋2>0恒成立．①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝（－4a）2－4·a·2<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,a（2a－1）<0，))解得08．(2024·宝鸡实验高级中学质检)取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是( )
A．∀x∈R，[2x]＝2[x]
B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y≥1
C．∃x∈R，[2x]＝2[x]
D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
答案 C
解析 当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A为假命题；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x[x]＋[y]，故D为假命题．
二、多项选择题
9．(2024·济宁调研)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是( )
A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x
B．f(x)＝x，g(x)＝(eq \r(x))2
C．f(x)＝x0，g(x)＝eq \f(1,x0)
D．f(x)＝x，g(x)＝lgaax(a>0且a≠1)
答案 CD
解析 对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于C，f(x)＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝eq \f(1,x0)＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数；对于D，g(x)＝lgaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选CD.
10．下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
答案 ABD
解析 若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．故选ABD.
11．(2024·广元中学月考)具有性质feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是( )
A．y＝x－eq \f(1,x) B．y＝x＋eq \f(1,x)
C．y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x（01）)) D．y＝－x3＋eq \f(1,x3)
答案 ACD
解析 对于A，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于B，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于C，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x（01），))满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于D，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－eq \f(1,x3)＋x3，满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)，满足“倒负”变换．故选ACD.
三、填空题
12．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：

则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
答案 1 2
解析 ∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(2)＝2，不满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝2，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足f(g(x))>g(f(x))，∴当x＝2时，f(g(x))>g(f(x))成立．
13．(2024·重庆质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则不等式f(x)答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析 当x≤0时，x＋1≤1，f(x)1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝lg2(x＋1)>0，∴当01时，x＋1>2，f(x)14．已知函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,x)))＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,x)))＝3x，则f(－2)＝________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,x)))＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,x)))＝3x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,x)))＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,x)))＝－3x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,x)))＝－3x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,x)))＝3x，))令2＋eq \f(1,x)＝－2，可得x＝－eq \f(1,4)，则f(－2)＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝－eq \f(3,4).
四、解答题
15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(单位：m)与汽车的车速x(单位：km/h)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y与汽车的车速x的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
解 (1)由题意及函数图象，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,100)，,n＝0，))所以y＝eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)(x≥0)．
(2)令eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.
因为x≥0，所以0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.
16．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).
(1)求f(2)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))有什么关系？证明你的发现；
(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2023)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2023)))的值．
解 (1)∵f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)＝1－eq \f(1,x2＋1)，
∴f(2)＝1－eq \f(1,22＋1)＝eq \f(4,5)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,\f(1,4)＋1)＝eq \f(1,5).
f(3)＝1－eq \f(1,32＋1)＝eq \f(9,10)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1－eq \f(1,\f(1,9)＋1)＝eq \f(1,10).
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1.
证明如下：
f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\f(1,x2),1＋\f(1,x2))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝1.
(3)由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2023)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2023)))＝1.
∴f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2023)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2023)))＝2022.前提
设A，B是两个eq \x(\s\up1(01))非空的实数集
对应关系
对于集合A中的eq \x(\s\up1(02))任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有eq \x(\s\up1(03))唯一确定的数y和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
定义
图象
y＝ax＋eq \f(b,x)(ab>0)
考向一 函数的定义域
考向二 求函数的解析式
考向三 分段函数
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1