2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题等内容，欢迎下载使用。
1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则
C．若0＜a＜b＜c，则
D．若a＞0，b＞0，则
2．已知a1，a2∈（0，1），记M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不确定
3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A．甲方案B．乙方案C．一样D．无法确定
4．不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞1}B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|﹣1＜x＜2}
5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）
A．若，则x（1﹣3x）的最大值为
B．函数的最小值为2
C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则的最小值为
D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3
6．关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|﹣2＜x＜3}，不等式cx2﹣bx+a＜0解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）
8．已知a，b∈（0，+∞），且a2+3ab+4b2＝7，则a+2b的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．3
二、多选题
（多选）9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则ab＜0
B．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＞0，则
C．若c＞a＞b＞0，则
D．若a＞b＞c＞0，则
（多选）10．已知正数x，y满足x+y＝2，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为2B．x2+y2的最大值为2
C．的最小值为2D．的最小值为2
（多选）11．已知关于x的不等式x2﹣4x﹣a﹣1≥0在x∈[1，4]上有解，则a的取值可以是（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣1D．0
（多选）12．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．的最大值是
二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上）
13．已知x，y为正实数，且x+y＝2，则的最小值为 ．
14．已知，若正数m，n满足f（2m）+f（n﹣2）＝0，则的最小值为 ．
15．已知函数f（x）＝x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]都有f（x）＜0，则实数m的取值范围为 ．
16．若存在常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立（或F（x）≤kx+b和G（x）≥kx+b恒成立），则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝﹣x2（x∈R），，若函数f（x）和g（x）之间存在隔离直线y＝﹣3x+b，则实数b的取值范围是 ．
四．解答题
17．设函数f（x）＝x2﹣ax+b，已知不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；
（2）对任意x1，x2∈R，比较与的大小．
18．（1）已知2＜a＜6，1＜b＜3，求a﹣2b，取值范围；
（2）已知1≤a+b≤5，﹣1≤a﹣b≤3，求3a﹣2b的取值范围．
19．设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a∈R），
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（1，3），求函数f（x）的解析式；
（2）若b＝﹣a﹣3，求不等式f（x）＞﹣4x+2的解集．
（3）若f（1）＝4，b＞﹣1，a＞0，求的最小值．
20．已知关于x的不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集为M．
（1）若M＝R，求实数k的取值范围；
（2）若存在两个实数a，b，且a＜0，b＞0，使得M＝{x|x＜a或x＞b}，求实数k的取值范围；
（3）李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据题意，A选项可以举反例说明，B、C两项利用作差法加以判断，D选项通过基本不等式来判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于A，若c＝0，则ac2＝bc2＝0，故A错误；
对于B，，
由于a＜b＜0，故a﹣b＜0，，所以，即，B正确；
对于C，，由于0＜a＜b＜c，故，即，C错误；
对于D，根据基本不等式，可知，
当且，即a＝b时取得等号，因此，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．
2．【分析】根据题意，利用作差法进行求解．
【解答】解：由M﹣N＝a1a2﹣a1﹣a2+1
＝（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，
故M＞N，
故选：B．
【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
3．【分析】设两次加油的油价分别为x，y（x，y＞0，且x≠y），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得．
【解答】解：设两次加油的油价分别为x，y（x，y＞0，且x≠y），甲方案每次加油的量为a（a＞0），乙方案每次加油的钱数为b（b＞0），
则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：＝，
因为﹣＝＞0，所以＞，即乙方案更经济．
故选：B．
【点评】本题考查函数模型的应用，属于中档题．
4．【分析】根据题意，直接求解不等式，即可得到结果．
【解答】解：由（1﹣x）（2+x）＞0，得（x﹣1）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜1，
所以不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次不等式的求解，考查学生数学运算的能力，属于基础题．
5．【分析】直接利用基本不等式的应用和关系式的恒等变换的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于0＜x＜，所以•3x（1﹣3x）≤•（）2＝，当且仅当x＝时，等号成立，故A正确；
对于B：由于x＞﹣1，故x+1＞0，所以y＝＝＝（x+1）++1≥2＝2+1＝3，当且仅当x＝0时，等号成立，故B错误；
对于C：已知x+y＝1，x＞0，y＞0，所以1＝x+y≥2，整理得≥4，+≥2＝≥2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，故C错误；
对于D：正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，整理得y＝﹣x，所以3x+﹣x＝2x+≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6．【分析】根据题意，利用韦达定理求a，b，进而求解即可．
【解答】解：关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，
∴a＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴，，即b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0，
∴不等式cx2﹣bx+a＜0化为﹣6ax2﹣ax+a＞0，
化为6x2﹣x﹣1＜0，解得．
因此不等式的解集为．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次不等式与系数的关系，属于中档题．
7．【分析】当a＝2时原不等式显然成立，当a≠2时，依题意，只需对应二次函数的图像开口向下，且判别式小于零即可，由此得出实数a的取值范围．
【解答】解：当a＝2时，﹣1＜0恒成立，符合题意，
当a≠2时，依题意得：，
解得：﹣2＜a＜2，
综上，实数a的取值范围为（﹣2，2]，
故选：B．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于基础题．
8．【分析】先变形，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵7＝（a+2b）2﹣ab＝（a+2b）2﹣a•2b
≥（a+2b）2﹣（）2＝，
则（a+2b）2≤8，即|a+2b|≤2，
又a，b∈（0，+∞），所以0＜a+2b≤2
当且仅当a＝2b＝时取等号，
∴a+2b的最大值为2．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
二、多选题
9．【分析】根据不等式的性质，采用作差法逐一分析选项，即可．
【解答】解：对于A，若，则，所以ab＜0，即A正确；
对于B，若a＞b＞0，c＜d＜0，e＞0，则a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，c﹣d＜0，
所以，
所以，即B错误；
对于C，若c＞a＞b＞0，则c﹣a＞0，c﹣b＞0，a﹣b＞0，
所以，即C正确；
对于D，若a＞b＞c＞0，则a﹣b＞0，
所以，即D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查不等式的大小比较，熟练掌握作差法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10．【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为x+y＝2，x＞0，y＞0，
所以2≤x+y＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号，A正确；
x2+y2＝2，即最小值为2，当且仅当x＝y＝1时取等号，B错误；
（）2＝x+y+2≤2+2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以≤2，即最大值为2，C错误；
＝＝＝＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号，即最大值为2，D错误．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11．【分析】分离参数得a≤x2﹣4x﹣1，设f（x）＝x2﹣4x﹣1，x∈[1，4]，转化为a≤f（x）max，求其最大值即可．
【解答】解：不等式x2﹣4x﹣a﹣1≥0在x∈[1，4]上有解，等价于a≤（x2﹣4x﹣1）max，
设f（x）＝x2﹣4x﹣1，x∈[1，4]，
则f（x）＝（x﹣2）2﹣5，而f（1）＝﹣4，f（4）＝﹣1，
故f（x）在[1，4]上的最大值为﹣1，
故a≤﹣1，所以a的取值可以是﹣6，﹣5，﹣1．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了不等式有解问题，以及二次函数的性质，属于基础题．
12．【分析】由已知结合基本不等式，检验各选项的成立条件是否成立即可判断．
【解答】解：由基本不等式可知，x＞0时，x+≥2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，故A正确；
B：＝，当x＝0时取得等号，故B正确；
C：＝，令t＝，则t≥2，
因为在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时，取得最小值，故C错误；
D：在x＜0时，没有最大值，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用条件的判断，要注意一正，二定，三相等条件的检验．
二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上）
13．【分析】先由题意将整理为，再利用“1的代换”与基本不等式的性质即可求解．
【解答】解：∵x，y为正实数，且x+y＝2，
∴＝1
∴＝+＝
＝（）•（x+y）＝1+（）
≥1+＝1+，
当且仅当，即y＝，x＝3﹣时取等号，
∴的最小值为1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查了“1的代换”与基本不等式的性质，属于基础题．
14．【分析】首先判断函数的奇偶性，即可得到2m+n＝2，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
【解答】解：因为定义域为{x|x≠0}，
且，所以f（x）为奇函数，
因为f（2m）+f（n﹣2）＝0，所以2m+n﹣2＝0，即2m+n＝2，
因为m＞0，n＞0，
所以，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的奇偶性，基本不等式的应用，属于中档题．
15．【分析】利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围．
【解答】解：∵二次函数f（x）＝x2+mx﹣1的图象开口向上，
对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，
即 ，解得﹣＜m＜0，
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
16．【分析】由已知可得恒成立，可求得实数b的取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）和g（x）之间存在隔离直线y＝﹣3x+b，
所以当﹣x2≤﹣3x+b 时，可得﹣x2+3x﹣b≤0 对任意的x∈R恒成立，
则b≥﹣x2+3x，即 b≥﹣（x﹣）2+，
所以b，
当时，可得对x＞0恒成立，即≥0，
令t（x）＝3x2﹣bx+1，
则有t（x）＝3x2﹣bx+1≥0 对x＞0恒成立，
所以，解得 或b＞0，
即b∈（0，2]，
综上所述，实数b的取值范围是．
故答案为：[]．
【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题
17．【分析】（1）化为x＝1，x＝2是方程x2﹣ax+b＝0的解，求出a，b，再解不等式2x2﹣3x+1＞0可得结果；
（2）作差比较可得结论．
【解答】解：（1）因为不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|1＜x＜2}，
所以x＝1，x＝2是方程x2﹣ax+b＝0的解，
由韦达定理得：a＝3，b＝2，
故不等式bx2﹣ax+1＞0为2x2﹣3x+1＞0，
解得其解集为或x＞1}；
（2）由（1）知，f（x）＝x2﹣3x+2，
所以＝＝＝，
所以．
【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，考查转化能力，属于中档题．
18．【分析】（1）根据不等式的性质，求出﹣b和的范围，即可根据性质求得；
（2）令3a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），求出m，n的值，根据不等式的性质即可得到结果．
【解答】解：（1）因为1＜b＜3，由不等式的性质可得﹣3＜﹣b＜﹣1，则﹣6＜﹣2b＜﹣2，
又2＜a＜6，故﹣4＜a﹣2b＜4．
又，2＜a＜6，故．
综上a﹣2b∈（﹣4，4），
（2）令3a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），（m，n∈R），即3a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b，
则，解得．
则，，所以，即﹣2≤3a﹣2b≤10．
综上3a﹣2b∈[﹣2，10]．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．
19．【分析】（1）直接利用一元二次不等式和一元二次方程的关系求出结果；
（2）利用分类讨论思想的应用求出结果；
（3）利用基本不等式的运算求出结果．
【解答】解：（1）由不等式f（x）＜0的解集为（1，3）可得：方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的两根为1，3且a＞0，
由根与系数的关系可得：a＝1，b＝﹣2，
所以：f（x）＝x2﹣4x+3；
（2）由f（x）＞﹣4x+2得ax2+（b﹣2）x+3＞﹣4x+2，
又因为b＝﹣a﹣3，所以不等式f（x）＞﹣4x+2，
化为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即（x﹣1）（ax﹣1）＞0，
当a＝0时，原不等式变形为﹣x+1＞0，解得x＜1；
当a＜0时，，解得．
若a＞0，原不等式．
此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故当a＝1时，不等式的解为x≠1；
当a＞1时，，不等式，解得或x＞1；
当0＜a＜1时，，不等式或，
综上所述，不等式的解集：
当a＜0时，；
当a＝0时，{x|x＜1}；
当0＜a＜1时，；
当a＝1时，{x|x≠1}；
当a＞1时，．
（3）由已知得f（1）＝4，a+（b+1）＝4，又b＞﹣1，
则．
当且仅当时等号成立．
【点评】本题考查的知识要点：一元二次不等式和一元二次方程的关系，基本不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20．【分析】（1）由已知结合二次不等式与二次函数的转化关系可求；
（2）结合二次函数与二次方程转化关系可得关于k的不等式组，可求；
（3）由已知结合二次函数的性质先分析满足条件的整数解，可得关于k的不等式组可求．
【解答】解：（1）不等式 kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集M＝R，
①当k＝0时，1＞0恒成立，符合题意；
②当k≠0时，则，解得，
综上，实数k的取值范围为{k|0≤k＜}；
（2）因为不等式 kx2﹣2kx﹣k+1＞0 的解集为M＝{x|x＜a或x＞b}，且a＜0，b＞0，
所以关于x的方程 kx2﹣2kx﹣k+1＝0 有一正一负两个实数根a，b，
可得，解得k＞1，
综上，实数k的取值范围为{k|k＞1}．
（3）李华的说法不正确，理由如下：
若解集M中仅有一个整数，则有k＜0，二次函数 y＝kx2﹣2kx﹣k+1，开口向下，对称轴为 x＝1，
因为不等式 kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1．
则，解得k∈∅．
即M中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确．
【点评】本题主要考查了二次不等式恒成立求解参数范围，还考查了方程实根分布的应用，属于中档题．