重庆市十一中教育集团2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份重庆市十一中教育集团2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 实数的相反数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】的相反数是5．
故选：A．
2. 下图是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据题意和三视图即可得，掌握三视图是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，这个几何体的左视图为，
故选：D．
3. 反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A. -3,2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可．
详解】解：∵反比例函数，
∴，
A、∵，
∴点-3,2不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为．若的面积为8，则的面积是（）

A. 12B. 16C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∵位似比为，
∴，
∵的面积为8，
∴的面积18，
故选：C．
5. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板，先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：C．
6. 估算的结果（ ）
A. 在7和8之间B. 在8和9之间C. 在9和10之间D. 在10和11之间
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可得出结果．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴；
故选D．
7. 一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有个爱心，第②个图形有个爱心，第③个图形有个爱心，…，按此规律排列下去，则第⑧个图形的爱心的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化，找到规律，总结规律，是解答本题的关键．
根据图形的变化规律，得到第①个图形有：个爱心；第②个图形有：个爱心；第③个图形有：个爱心；故第⑧个图形有：个爱心，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
第①个图形有：个爱心；
第②个图形有：个爱心；
第③个图形有：个爱心；
第⑧个图形有：个爱心；
故选：．
8. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，若，，则的长为（ ）
A. 3B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，切线的性质定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理和能正确作出辅助线，
根据圆周角定理和圆的半径相等得出是等边三角形，再由勾股定理得出与的关系，进而求出，再利用等角对等边即可求解
【详解】解：连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的直径，，
，
，
，
与的切线，相切于点B，
故选：D．
9. 如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】将绕点逆时针旋转至，

∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故选：A．
10. 已知，对多项式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，称这种操作为“绝对操作”．例如：，，等．对多项式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．下列说法其中正确的个数是（ ）
①存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等；
②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同的结果．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查绝对值的意义，整式的加减运算，根据“绝对操作”的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，，，，
①要使化简的结果与原多项式相等，则去绝对值后所有的符号不发生改变，
∴当，，，，，，任意一个添加绝对值后，化简后的结果与原多项式相等，有6种情况，
当，或两个都添加绝对值后，化简后的结果与原多项式相等，有2种情况，
故存在八种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等；故①正确；
②任意“绝对操作”化简后的结果不存在项，故不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；
③添加一个绝对值后，有6种结果与原多项式相等，即为，
，
，
添加两个绝对值，有2种结果与原多项式相等，
．
综上：总共有6种不同的结果；故③错误；
故选C．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_________________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 若一个正n边形的每个内角为，则n的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查多边形外角和定理，多边形的外角和是360度，先求出每个外角的度数，根据外角和360度求解即可．
【详解】根据题意有每个外角的度数为：，
，
故答案为：8．
13. 2023年10月26日上午，神州十七号载人飞船载着杨洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”，从2003年的神舟五号到2023年的神州十七号，20年中国载人航天工程共有20位航天员问鼎苍穹，截止到目前为止，我国航天员在太空的时间已累计达到近个小时，其中，数字用科学记数法表为_____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
14. 现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“赢”、“在”、“一”、“诊”．小明从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“一”和“诊”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，画出树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中两张刮刮卡上的文字恰好是“一”和“诊”的情况有2种，
∴．
15. 如图，菱形的边长为6，，是以点为圆心，长为半径的弧，是以点为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为______ (结果保留根号)

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
连接，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再求出，然后求出阴影部分的面积，计算即可得解．
【详解】如图，连接，过A作，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
又∵菱形的对边，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的a的值之和为______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程；根据不等式组无解求出字母a的取值范围，再由分式方程有非负整数解，也可求得字母a的取值范围，从而最终确定a的范围，则可得到所有整数a的值，即可求得所有a的值的和．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∵关于x的不等式组无解，
∴，
解得：；
解，得：，
∵方程有非负整数解，
∴是非负整数，且，
∴或或，
解得或,
综上，；
∴满足条件的a的值之和为，
故答案为：0．
17. 如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点N，若点为的中点，则的长为_____________ ．

【答案】##
【解析】
【分析】过作于D，作于E，先得出四边形是矩形，设，则，，利用勾股定理和相似三角形，即可得到的长，进而得出的长．
【详解】解：如图所示，过作于D，作于E，

又，
四边形是矩形，
设，则，，
，
，
，
点为的中点，，
，
，即，
，
在中，即，
解得 (不合题意)，，
，，
，
，
又，
，
，
，即，
，
由折叠可得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及翻折变换的综合运用，勾股定理，矩形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18. 一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“博雅数”．将“博雅数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则_____．在此条件下，若为整数，则满足条件的M的最大值为_____．
【答案】 ① 9 ②. 8631
【解析】
【分析】由题意可得，，再表示出和，根据N能被9整除和为整数来确定，，，的值，从而可得结论．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∵N能被9整除，
∴能被9整除，
又∵，，，互不相等且均不为0，
∴；
∵为整数，
∴能被整除，
又∵，
∴能被整除，
∴
∴当，，，时，M的最大值为，
故答案为：9，．
【点睛】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式混合运算和分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先用平方差公式与单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内，再计算除法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 学习了矩形判定后，小蒋对等腰三角形底边上的高和底角顶点到顶角外角平分线的距离的数量关系进行了拓展性研究．请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作等腰三角形的外角的角平分线，再过点C作于点H．（只保留作图痕迹）
已知：如图，三角形中，，是底边上的高，平分，于点H．求证：．

证明：∵平分，
∴
∵，是底边上的高
∴ ① ，
又∵
∴ ②
又∵于点H
∴ ③
∴四边形为矩形
∴
小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于 ④ ．
【答案】作图见解析；①；②90°；③；④底角顶点到顶角外角平分线的距离；
【解析】
【分析】按照作角平分线的方法、作垂线的方法进行即可；读懂推理过程，完成填空即可
【详解】解：作图如下：

证明：∵平分，
∴，
∵，是底边上的高，
∴，，
又∵，
∴，
又∵于点H，
∴，
∴四边形为矩形
∴
小蒋进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：等腰三角形底边上的高等于底角顶点到顶角外角平分线的距离．
故答案为：①；②；③；④底角顶点到顶角外角平分线的距离
【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线与垂线，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质等知识，证明矩形是关键．
21. 某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都含10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：
5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
A、B两款软件每段短文中识别正确的字数的统计表
B款软件每段短文中识别正确的字数折线统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的 ， ， ；
（2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？
【答案】（1）6，8，；
（2）向公司推荐A款软件，理由见解析
（3）280段．
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂题意，理解各个概念的内涵和计算方法，利用数形结合的思想解答．
（1）根据表格中的数据和条形统计图中的数据以及众数、中位数的意义，可以得到a，b，c的值；
（2）根据表格中的数据，由于平均数相同，因此可以从9字及以上次数所占百分比比较得出答案；
（3）根据A款语音识别完全正确的百分比和B款语音识别完全正确的百分比求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可得，A款软件每段短文中识别正确的字数出现最多的是6，有7次，故众数为6，即，
将B款软件每段短文中识别正确的字数从小到大排列，第10，11个数都是8，
故中位数为8，即，
B款识别正确9字及以上的段数所占百分比
故答案为：6，8，；
【小问2详解】
向公司推荐A款软件，A款语音识别输入软件中更准确，因为在9字及以上次数所占百分比中，A款是，大于B款，说明A款识别准确率更高；
【小问3详解】
解：，
两款软件一字不差地识别正确的短文共有280段．
22. 某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材．
（1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？
（2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？
【答案】（1）学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶
（2）学校购买食醋40瓶
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用；
（1）设学校购买了酱油瓶，食醋瓶，根据该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶，根据每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，列出分式方程，解方程即可．
小问1详解】
解：设学校购买了酱油瓶，食醋瓶，
由题意得：，
解得：，
答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶；
【小问2详解】
解：学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：学校购买食醋40瓶．
23. 如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到AB的距离为，请解答下列问题：
（1）直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）
（2）画图见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小
（3）
【解析】
【分析】（1）分两种情况：点D在线段上，此时；点D在线段上，此时；利用相似三角形的性质即可求解；
（2）根据反比例函数与一次函数的图像，描点画出图形即可；根据图像即可写出的一条性质；
（3）观察图像，当的图像在的图像上方或相交时，即可确定自变量的取值范围．
【小问1详解】
解：当点D在线段上，此时；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
当点D在线段上，如图，此时，；
∵，
∴，
∴，即；
∵，，
∴，其中；
综上，，
【小问2详解】
解：所画的两个函数的图像如下：
函数的性质为：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．
【小问3详解】
解：当时，表明函数的图像在的图像上方或两者的相交，此时．
【点睛】本题考查了了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数解析式，画函数图像，函数的性质，注意数形结合与分类讨论思想的运用．
24. 小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上．
（1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
（2）小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：）
【答案】（1）景点与景点之间的距离为米
（2）小红先到达景点，理由见解析
【解析】
【分析】（）过点作于点，解直角三角形求出，即可求出点与景点之间的距离；
（）过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分别计算出两人所走的路程，即可判断求解；
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：过点作于点，
在中，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
答：景点到景点的距离为米；
【小问2详解】
解：过点作于点，过点作于点，
则，
∴四边形为矩形，
在中，，
∴，
∴，，
又∵四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴小明所走的路程为米，
小红所走的路程为米，
∵且两人速度相同，
∴小红先到达景点．
25. 如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
【答案】（1）
（2）最大值为，
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线解析式为，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，设，则，，求出，，则，利用二次函数的性质即可求出答案；
（3）求出，得到，进而推出将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后的抛物线解析式为；如图所示，取点，连接，证明是等腰直角三角形，且，得到，则与抛物线 的交点即为点G，同理可得直线的解析式为，联立得，解得或（舍去），则点G的坐标为；同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，则，同理可求出点G的坐标为．
【小问1详解】
解：把，代入中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设直线解析式为，设交于H，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴
∴
【小问3详解】
解：∵抛物线交y轴于点C．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，
∵原抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为；
如图所示，取点，连接，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴与抛物线 的交点即为点G，
同理可得直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点G的坐标为；
同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，
∴，
∴与抛物线 的交点即为点G的位置，
同理可得直线的解析式为，
连接得，
解得或（舍去），
∴点G的坐标为；
综上所述，点G的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理得逆定理等等，通过构造等腰直角三角形得到45度的角是解题的关键．
26. 如图，在中，，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段．
（1）如图1所示，，连接，作交于，若，，求的长；
（2）如图2，，为中点，连接，延长交于，问：，，之间的关系；
（3）如图3，在（2）小问的基础上，，在线段上取一点，使得，为上一动点，将沿翻折得到，点，在运动过程中，当最短时，请直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）旋转的性质，勾股定理求出的长，角的和差关系求出，进而求出，根据30度的直角三角形的性质，得到，即可；
（2）连接，斜边上的中线，得到，进而得到为等边三角形，旋转得到为等边三角形，证明，得到，进而得到，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得出结论；
（3）先确定点在射线上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点到圆上一点的最值，以及垂线段最短，确定点的位置，进而求出的面积即可．
【小问1详解】
解：∵绕点逆时针旋转度得到线段，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
连接，
∵，为中点，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
当时，则：，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
由（2）知，
∴点在射线上运动，，
∴，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，则：，即当三点共线时，的长最小，为，
∴当最小时，的长最小，
∵点在射线上运动，
∴时，的长最小，如图：此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆外一点到圆上一点的最值，垂线段最短等知识点，综合性质强，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，确定动点的轨迹，是解题的关键．
软件
平均数
众数
中位数
识别正确9字及以上的段数所占百分比
A款
7.7
a
8
50%
B款
7.7
8
b
c