新高考数学三轮冲刺卷：空间向量的应用（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：空间向量的应用（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则 等于
A. B. C. D.

2. 若平面 ， 的法向量分别为 ，，则
A. B.
C. ， 相交但不垂直D. 以上均有可能

3. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
A. B. C. D. 与 相交

4. 已知 ，，，则下列向量是平面 法向量的是
A. B.
C. D.

5. 一条直线 的方向向量为 ，平面 的法向量 ，则直线 与平面 的夹角为
A. B. C. D.

6. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
A. B. C. D. 与 斜交

7. 如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 为正方形，侧面 ， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形 内的轨迹为下图中的

A. B.
C. D.

8. 在空间坐标系 中，已知 ，，，，若 ，， 分别表示三棱锥 在 ，， 在坐标平面上的正投影图形的面积，则
A. B. 且
C. 且 D. 且

9. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 ，且法向量为 的直线（点法式）方程为：，化简得 ．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点 ，且法向量为 的平面的方程为
A. B.
C. D.

10. 设平面 与平面 的夹角为 ，若平面 ， 的法向量分别为 和 ，则
A. B.
C. D.

11. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中
A. B. C. D.

12. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

13. 在直角坐标系中，，．沿 轴把直角坐标系折成 的二面角，则此时线段 的长度为
A. B. C. D.

14. 已知向量 ，，若 ，设 ，则 与 轴的方向的单位向量夹角的余弦值为
A. B. C. D.

15. 在正方体 中，若 为 的中点，则直线 垂直于
A. B. C. D.

16. 在空间直坐标系 中，已知 ，，，，若 ，， 分别表示三棱锥 在 ，， 坐标平面上的正投影图形的面积，则
A. B. 且
C. 且 D. 且

17. 在正方体 中， 为底面 上一动点，如果 到点 的距离等于 到直线 的距离，那么点 的轨迹所在的曲线是
A. 直线B. 圆C. 抛物线D. 椭圆

18. 在直三棱柱 中，，，已知 与 分别为 和 的中点， 与 分别为线段 和 上的动点（不包括端点）．若 ，则线段 长度的取值范围为
A. B. C. D.

19. 如图，正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，且 ，点 是平面 上的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的距离的平方差为 ，则动点 的轨迹是
A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆

20. 如图，在正方体 中， 为对角线 的三等分点， 到各顶点的距离的不同取值有
A. 个B. 个C. 个D. 个

二、填空题（共5小题；）
21. 已知点 ，，则线段 的中点坐标为 ， ．

22. 若 ，， 是平面 内的三点，设平面 的法向量 ，则 ．

23. 若动点 是棱长为 的正方体 的对角线 上一点，记 ，则当 为钝角时， 的取值范围为 ．

24. 正方体 的棱长为 ，， 分别是 ， 的中点，则点 到平面 的距离为 ．

25. 在棱长为 的正方体 中，点 到平面 的距离为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 如图，在长方体 中，，，，证明直线 平行于平面 ，并求直线 到平面 的距离．

27. 如图所示，正方体 的棱长为 ，在三棱锥 中，求 到平面 的距离 ．

28. 如图，在正四棱柱 中，，，，，， 分别是 ，，， 的中点．求证：．

29. 如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ，点 在棱 上．求证：平面 平面 ．

30. 已知 ，求 的最小值．
答案
1. C【解析】因为 ，所以两平面法向量平行，所以 ，所以 ．
2. C【解析】由于 ，因此 与 不平行，又 ，所以 与 不垂直，从而平面 ， 相交但不垂直．
3. C【解析】因为直线 的方向向量为 ，
平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
4. C【解析】设 为平面 的法向量，
则 化简得
所以 ．
5. D
【解析】因为 ．
所以直线 与平面 夹角正弦值为 ，
即直线 与平面 的夹角为 ．
6. B
7. A
8. D【解析】 在平面上的投影为 ，故 ．
设 在 和 平面上的投影分别为 和 ，则 在 和 平面上的投影分别为 和 ，
因为 ，，
故 ．
综上，选项D正确．
9. A
10. B
11. C【解析】把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得： 与 相交， 与 异面， 与 平行， 与 异面．
12. D
13. B【解析】如图，作 垂直 轴， 垂直 轴，过 作 平行于 轴，与 交于 ，则 就是二面角的平面角．
，连接 ，则 ，，，在 中，， ．
14. D【解析】， 轴方向向量的单位向量可设为 或 ，
．
又 ，，
夹角的余弦值为 ．
15. B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 ，
则 ，，，，，，．
所以 ，，，，．
所以 ，，．
因为 ，
所以 ，所以 ．
16. D
17. A【解析】以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，设 ，正方体边长为 ，则 ， 到直线 的距离 ，所以 ，整理有 ，所以点 的轨迹所在的曲线是直线．
18. C【解析】如图以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，
所以 ，，设 ，，且 ，，又 ，得 ，且 ，所以 ，且 ，，所以 ．
19. B【解析】以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，设 ，，则 ，点 到直线 的距离设为 ，则 ，根据题意有 ，整理得 ，所以点 的轨迹是抛物线．
20. B
【解析】如图，取底面 的中心 ，连接 ，，．
因为 ，又 ，所以 ．
又 是 的中点，所以 ．
同理，取 与 的交点 ，易证 ，所以 ．
又 是 的中点，所以 ，故 ．
同理可证 ．又 是 的三等分点，所以 ．
故点 到正方体的顶点的不同距离有 个．
21. ，
22.
23.
24.
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，，，，，，．
设平面 的法向量为 ，则 ，，即
，．
令 ，得 ．
又 ，
所求距离 ．
25.
【解析】以 为原点，以 ，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，．
设 为平面 的法向量，
则有 即

令 ．
．
点 到平面 的距离 ．
26. 因为 为长方体，故 ，，
故 为平行四边形，故 ，显然 不在平面 上，
于是直线 平行于平面 ；
直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，设为 ．
考虑三棱锥 的体积，以 为底面，可得
而 中，，，故
所以，
即直线 到平面 的距离为 ．
27. 在三棱锥 中， 是三棱锥 的高，，，
因为 ，
所以 ．
28.
如图，建立空间直角坐标系 ，可得 ，，，，，，，，，．
平面 的一个法向量为 ，，，
所以
令 ，得 ，，．
设平面 的一个法向量为 ．
，，
所以
令 ，得 ，，．
因为 ，
所以平面 ．
29. 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ，
设 ，，则 ，，，，．因为 ，，，所以 ，，所以 ，．又 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ．
30.
设 ，，
则 ，，．
因为 ，所以 ，即 ．
故 的最小值为 ．