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    福建省平潭第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

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    福建省平潭第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

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    这是一份福建省平潭第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题,共6页。试卷主要包含了 若向量,满足,,则, 若向量,,则在上的投影为, 在中,,则角等内容,欢迎下载使用。
    1. 已知复数,则复数共轭复数的虚部为( )
    A. B. C. D.
    2. 若m,n,l为三条不同的直线,,为两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )
    A. 如果,,则 B. 如果,,,,则
    C. 如果,,则 D. 如果,,,则
    3. 若向量,满足,,则( )
    A. B. C. D.
    4. 若向量,,则在上的投影为( )
    A B. C. D.
    5. 在中,,则角( )
    A. B. C. D.
    6. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的最大盛水量为( )
    A. B. C. D.
    7. 在空间四边形中,,,,分别是,,,的中点.若,且与所成的角为,则的长为( )
    A. 1 B. C. 1或 D. 或
    8. 在棱长为的正方体中,直线BD到平面的距离为( )
    A. B. C. D. ᶐ
    二、多选题(本大题共3小题,每题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的不得分)
    9.如图,已知正方体,点E、F、G分别为棱BC、、CD的中点,下列结论正确的有( )
    A. AE与共面 B. 平面//平面GFE
    C. AE⊥EF D. BF//平面
    10. 已知,则下列命题中,真命题的是( )
    A. 若,则是等腰三角形
    B. 若,则是直角三角形
    C. 若,则是钝角三角形
    D. 若,则是等边三角形
    11. 如图所示,已知正方体的棱长为2,线段上有两个动点,,且,则下列结论中,正确的是( )
    A. 平面平面
    B. 存在点(与不重合),使得与共面
    C. 当点运动时,总有
    D. 三棱锥的体积为定值
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 棱长为1的正方体的外接球的表面积为_______.
    13. 已知圆锥的高为,侧面积是底面积的2倍,则该圆锥的体积是___________.
    14. 如图,在三棱锥木块中,VA,VB,VC两两垂直,,点P为的重心,沿过点P的平面将木块锯开,且使截面平行于直线VC和AB,则该截面的面积为______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
    (1)求角A的大小;
    (2)若,且的面积为,求的周长.
    16.(15分)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,
    △BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点A’
    .(1) 求证A'D⊥EF;
    (2)求三棱锥A'-EFD的体积.
    17.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面 ABC.
    (1)求证:平面PAC⊥平面 PBC;
    (2)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值.
    18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面AB CD为正方形,侧面PAD是正三角形,AB=2,侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点.
    (1) 求证:AM平面PCD;
    (2)求C点到平面PAB的距离.
    (3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面面角的余弦值.
    19.(17分)如图,在直三棱柱中,M为棱的中点,,,.
    (1)求证:平面;
    (2)求证:平面;
    (3)在棱上是否存在点N,使得平面平面?如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.
    答 案
    1、D 2、C 3、D 4、A 5、B 6、B 7、C 8、B 9、AB 10、CD 11、ACD
    12、 13、 14、
    15、【解析】(1)由题意及正弦定理知,,

    ,.-------------6分
    (2),
    又,
    由①,②可得,
    所以的周长为.-----------13分
    16、(1)折叠前,AD⊥AE,CD⊥CF,折叠后 A'D⊥A'E, A'D⊥A'F,
    又A'E∩A'F = A', A'E、A'F C平面 A'EF
    ∴.A'D⊥平面A'EF,∵EF C平面A'EF ∴.A'D⊥EF----------------6分
    (2)由(1)可知,A'D⊥平面A'EF,
    ∴三棱锥D-A'EF的高A'D=AD =2,又△A'EF折叠前为△BEF, E,F分别为AB, BC的中点,
    ∴V=1/3----------------------------------------------15分
    17、(1)证明:∵PA ⊥底面ABC,BC C底面 ABC,∴PA ⊥BC.又∠ACB=90°,即AC⊥BC.∵PA∩AC=A,∴BC ⊥平面 PAC.
    ∵BC C平面 PBC,∴.平面 PAC ⊥平面 PBC.-----------------------6分
    (2)解:取PC的中点D,连接AD,DM
    ∵AC=PA,∴AD⊥PC.由(1)知,BC ⊥平面PAC,又AD C平面 PAC,∴BC⊥AD.而PC ∩BC =C,∴AD⊥平面 PBC.
    ∴.DM是斜线AM在平面PBC上的射影.
    ∴.∠AMD 就是AM与平面PBC所成的角,且AD ⊥DM.设AC=BC=PA=2a,则由M是PB的中点,得DM=BC=a,
    AD=a.∴tan ∠AMD =AD/ DM =
    即AM与平面PBC所成角的正切值为------------------------15分
    18、(1)证明:在正方形 ABCD中,CD⊥AD,
    又侧面PAD⊥底面 ABCD,侧面PAD∩底面ABCD =AD,CD C平面ABCD,
    所以CD⊥平面PAD,又AM C平面PAD,所以CD⊥AM,
    因为△PAD是正三角形,M是PD的中点,则AM⊥PD,
    又CD∩PD=D,CD,PD C平面PCD
    所以AM⊥平面PCD;-----------------------------5分
    (2)C点到平面PAB的距离-----------------10分
    (2)取AD,BC的中点分别为E,F,连接 EF,PE,PF,
    则EF=CD,EF//CD,所以EF⊥AD,在正△PAD中,PE⊥AD,
    因为EF∩PE=E,EF,PE C平面 PEF,
    则AD⊥平面PEF,
    在正方形ABCD中,AD// BC,故BC⊥平面PEF,
    所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,
    由CD⊥平面PAD,EF// CD,
    则EF⊥平面PEF,又PE C平面PAD.所以EF⊥PE,
    正方形ABCD的边长AD= 2,则 EF = 2,PE=,
    所以PF = ,则cs∠PFE=EF/PF=
    故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值------------------17分
    19、【解析】(1)
    连接与,两线交于点,连接,
    在中,分别为,的中点,
    所以,又平面,平面,
    所以平面.------------3分
    (2)
    因为底面,平面,所以.
    又为棱的中点,,所以.
    因为,,平面,
    所以平面,平面,所以.
    因为,所以.又,
    在和中,,
    所以,即,
    所以,又,,平面,
    所以平面.--------------------------10分
    (3)
    当点为的中点,即时,平面平面.
    证明如下:设的中点为,连接,,
    因为,分别为,的中点,
    所以且,又为的中点,
    所以且,
    所以四边形为平行四边形,故,
    由(2)知:平面,所以平面,又平面,
    所以平面平面--------------------------------17分

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