人教版五升六数学暑假升级训练专题03长方体和正方体(学生版+解析)

这是一份人教版五升六数学暑假升级训练专题03长方体和正方体(学生版+解析)，共32页。试卷主要包含了两个面相交的边叫做棱，长方体和正方体都有6个面，计量液体的体积，如水等内容，欢迎下载使用。


知识点01：长方体和正方体的认识
1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
知识点02：长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽
侧面积（左面、右面）＝宽×高 前（后）面积＝长×高
表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12
表面积＝棱长×棱长×6 （任意一个面积×6）
没盖的表面积＝棱长×棱长×5
知识点03：长方体和正方体的体积
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。
10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高
字母公式：v=abh v=sh
3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长
4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。
5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。
6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。
8、、体积和容积单位之间的进率：
1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升
字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1
9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。
►长方体和正方体的认识
1、长方体的6个面有时不都是长方形。
2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
4、长方形的长宽高是相对的，把正方体摆正，一般情况下把前面横着的棱叫长，左右面横着的棱叫宽，竖着的棱叫高。
►长方体和正方体的表面积
1、长方体和正方体的展开图不止一种，但是表面积是固定的。
2、求正方体的表面积只需要计算出一个面的面积就可以求出总面积。
3、解决比较负责的表面积增减变化的问题，通常要先假设棱长为1或者长为1，再通过计算比较，得出正方体或长方体表面积的增减变化规律。
►长方体和正方体的体积
1、物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。
2、并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。
3、如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。
4、体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。
5、在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。
6、只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。
7、用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。
8、物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。
9、计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。
10、用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。
一．精挑细选（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•雁江区期中）一个长方体的长扩大到原来的2倍，宽和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（ ）倍。
A．6B．18C．2D．3
2．（2分）（2023春•应城市期中）如图两个长方形是一个长方体的前面和右面，这个长方体的体积是（ ）
A．28cm3B．140cm3C．无法确定
3．（2分）（2023春•泉州期中）一个长7dm、宽5dm、高5dm的长方体，下面求它表面积的算式中正确的有（ ）个。
5×5×2+7×5×4
（7+5）×2×5+7×5×2
（7×5+5×5+7×5）×2
5×5×2+7×5×2+7×5×2
A．1B．2C．3D．4
4．（2分）（2023春•沈丘县期中）明明用一些棱长为2cm的正方体积木拼成了一个大长方体模型（如图）。这个长方体模型的体积是（ ）cm3。
A．144B．160C．216
5．（2分）（2023春•沈丘县期中）一张长、宽分别是80cm，60cm的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为10cm的小正方形（如图），弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是（ ）L。
A．2400B．240C．24
6．（2分）（2023春•社旗县期中）一个正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积增加162cm2。原来正方体的表面积是____cm2，体积是____cm3。（ ）
A．972；726B．486；729C．486；972
二．认真填空（共7小题，满分16分）
7．（2分）（2023春•海城市期中）把一根长6m的长方体木料锯成两段后，表面积增加了400dm2，这根木料的体积是 m3。
8．（2分）（2023春•南安市期中）如图是淘气比较小球体积和正方体体积时做的实验，那么小球体积和正方体体积相差 cm3。（单位：cm）
​
9．（2分）（2023春•炎陵县期中）一个长方体，长、宽、高分别是8cm、5cm和4cm，从中截去一个最大的正方体后，正方体的体积是 ，剩下部分的体积是 。
10．（2分）（2023春•沈丘县期中）一根长为7m的长方体木料，把它平均锯成3段（如图），表面积正好增加48dm2，原来这根木料的体积是 m3。
11．（2分）（2023春•泉州期中）李叔叔要做一个长方体灯罩，他先用铁棍焊接灯罩的框架，已经完成了三条棱（如图），要制作这个完整的长方体框架，一共需要 分米长的铁棍。（焊接处忽略不计）
12．（4分）（2022秋•太原期末）（1）将5立方米的沙子均匀铺在长8米、宽2.5米的长方体沙坑里，沙子厚 分米。
（2）玲玲借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如图，石头的体积是 立方厘米。
（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。
13．（2分）（2022春•东湖区期末）一个长方体鱼缸底面长a分米，比宽多5分米，高是长的2倍。这个长方体鱼缸的底面积是 平方分米，体积是 立方分米。（填字母式）
三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2023春•应城市期中）一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h，且a＞b＞h，若把长方体切割成一个最大的正方体，则这个正方体的体积是a3。 （判断对错）
15．（2分）（2023春•沈丘县期中）长方体是由6个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 （判断对错）
16．（2分）（2023春•阜平县期中）用两块同样的橡皮泥分别捏成正方体和长方体，它们的体积一样大。 （判断对错）
17．（2分）（2023春•镇平县期中）如果一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，那么正方体的体积一定大于长方体的体积。 （判断对错）
18．（2分）（2021秋•偃师市期中）一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的体积是杯子体积的一半。 （判断对错）
四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分）
19．（4分）（2022春•关岭县期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm）
20．（4分）（2022•杭州模拟）求如图图形的表面积和体积（单位：米）。
五．实际应用（共6小题，满分24分，每小题4分）
21．（4分）（2023春•雁江区期中）一个长方体铁皮长50厘米，宽28厘米。如果从四个角剪去边长6厘米的正方形，再折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的容积是多少？
22．（4分）（2023春•雁江区期中）一个正方体的容器，棱长12分米，装满水后，倒入一底面长20分米，宽15分米，高18分米的长方体容器中，现在水的深度是多少分米？
23．（4分）（2023春•历城区期中）一块体积为60立方米的长方体大理石，底面积为6平方米。这块大理石的高是多少米？
24．（4分）（2023春•应城市期中）工厂挖了一个长40m，宽20m，深2m的长方体蓄水池。要在蓄水池的底面和四壁抹水泥，若每平方米用水泥2.5kg，那么一共需要水泥多少千克？
25．（4分）（2023春•云浮期中）一个长方体形状的游泳池，长50米，宽30米，深2米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥12千克，22吨水泥够不够用？
26．（4分）（2022•南岸区）如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
六．动手操作（共2小题，满分9分）
27．（5分）（2022春•乐陵市期末）体积的测量。
用1cm3的体积单位测量了长方体盒子的体积，我发现：
长方体盒子一行摆 个，有 行，有 层，共有 个体积单位，所以长方体盒子的体积是 cm3。
28．（4分）（2020秋•宜兴市期末）用3个同样的小长方体（如图），拼成一个大长方体，可以怎样拼？先想象操作，再填一填。（单位：厘米）
拼成的大长方体中，表面积最小 平方厘米，表面积最大是 平方厘米。
七．解决问题（共5小题，满分22分）
29．（4分）（2023春•镇原县期中）王叔叔有一张长60cm、宽40cm的长方形铁皮，他想在它的四个角各剪去一个边长为5cm的小正方形（如图），然后焊接成一个无盖的铁皮盒子。
（1）你来帮李叔叔算一算。这个盒子的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计）
（2）如果把这个盒子里装满水，再把棱长为4cm的正方体铁块沉入水中，则流出来的水的体积是多少立方厘米？
30．（4分）（2023春•南安市期中）某社区挖了一个长20m、宽18m、深5m的长方体蓄水池。
（1）如果给这个蓄水池的池底和四周贴上瓷砖，每平方米需要10块瓷砖，至少需要准备多少块这样的瓷砖？
（2）在蓄水池内壁4.5m高的位置画一圈水位线，要求水面不得高于这条水位线，则蓄水池的最大蓄水量是多少立方米？
31．（4分）（2023春•邓州市期中）一块长方体木块，从下部和上部分别截去2cm和3cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了120cm2，原来长方体木块的体积是多少立方厘米？
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（5分）（2023春•英德市期中）有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高6厘米（图1）。如果把这个容器竖起来放（图2），水的高度会是多少厘米？
33．（5分）（2022秋•阜宁县期末）李老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米，宽3分米、高2.5分米的长方体．
（1）如果要用彩带把这个礼品盒捆扎起来（扎法如图，打结处彩带长2分米），一共需要彩带多少分米？
（2）做这个礼品盒至少要多少平方分米的硬纸板？
知识点01：长方体和正方体的认识
1、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
2、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有12条棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。
4、长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点，只是正方体的棱长都相等。正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
知识点02：长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽
侧面积（左面、右面）＝宽×高 前（后）面积＝长×高
表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
3、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12
表面积＝棱长×棱长×6 （任意一个面积×6）
没盖的表面积＝棱长×棱长×5
知识点03：长方体和正方体的体积
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。
10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高
字母公式：v=abh v=sh
3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长
4、 读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。
5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成，，。
6、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。
8、、体积和容积单位之间的进率：
1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升
字母表示：1 =1000 1 =1000 1L=1000ml 1L=1 1ml=1
9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。
►长方体和正方体的认识
1、长方体的6个面有时不都是长方形。
2、长方体的长发生变化，这个长方体的左面和右面的大小不变。
3、在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。
4、长方形的长宽高是相对的，把正方体摆正，一般情况下把前面横着的棱叫长，左右面横着的棱叫宽，竖着的棱叫高。
►长方体和正方体的表面积
1、长方体和正方体的展开图不止一种，但是表面积是固定的。
2、求正方体的表面积只需要计算出一个面的面积就可以求出总面积。
3、解决比较负责的表面积增减变化的问题，通常要先假设棱长为1或者长为1，再通过计算比较，得出正方体或长方体表面积的增减变化规律。
►长方体和正方体的体积
1、物体的体积与所占空间的大小有关，与物体的形状没有关系。
2、并不是只有棱长是1厘米的正方体的体积才是1立方厘米，一个长、宽、高的积是1立方厘米的长方体，体积也是1立方厘米。
3、如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到原来的n3倍。
4、体积和表面积不是同类量，二者之间不能比较。
5、在计算a3时，不要把a3看作3×a，a3应是a×a×a。
6、只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。
7、用小正方体摆大正方体时，要注意长、宽、高的数量都相同。
8、物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳物体的体积。
9、计量长方体容器的容积要从里面量长、宽、高，计算的结果比体积小。
10、用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后（物体完全浸没在水中），明确水上升的高度才是解题的关键。
一．精挑细选（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2023春•雁江区期中）一个长方体的长扩大到原来的2倍，宽和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（ ）倍。
A．6B．18C．2D．3
【思路引导】设原来的长方体的长为3，宽为2，高为1，则扩大后的长方体的长为（3×3），宽为（2×3），高为（1×3）；根据长方体的体积＝长×宽×高，分别求出原来长方体的体积和扩大后的长方体的体积，再用扩大后的长方体的体积除以原来长方体的体积即可。
【规范解答】解：设原来的长方体的长为3，宽为2，高为1。
3×2×1
＝6×1
＝6
（3×2）×（2×3）×（1×3）
＝6×6×3
＝108
108÷6＝18
答：体积扩大到原来的18倍。
故选：B。
【考点评析】解答此类问题用赋值法比较简便。
2．（2分）（2023春•应城市期中）如图两个长方形是一个长方体的前面和右面，这个长方体的体积是（ ）
A．28cm3B．140cm3C．无法确定
【思路引导】长方体前面的长加上长方体的长，前面的宽就是长方体的高，右面的长就是长方体的宽，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：7×5×4
＝35×4
＝140（立方厘米）
答：这个长方体的体积是140立方厘米。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．（2分）（2023春•泉州期中）一个长7dm、宽5dm、高5dm的长方体，下面求它表面积的算式中正确的有（ ）个。
5×5×2+7×5×4
（7+5）×2×5+7×5×2
（7×5+5×5+7×5）×2
5×5×2+7×5×2+7×5×2
A．1B．2C．3D．4
【思路引导】根据长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，据此解答即可。
【规范解答】解：5×5×2+7×5×4，正确；
（7+5）×2×5+7×5×2，正确；
（7×5+5×5+7×5）×2，正确；
5×5×2+7×5×2+7×5×2，正确。
故选：D。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的表面积公式及应用。
4．（2分）（2023春•沈丘县期中）明明用一些棱长为2cm的正方体积木拼成了一个大长方体模型（如图）。这个长方体模型的体积是（ ）cm3。
A．144B．160C．216
【思路引导】通过观察图形可知，拼成的大长方体的长是（2×3）厘米，宽是（2×2）厘米，高是（2×3）厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（2×3）×（2×2）×（2×3）
＝6×4×6
＝24×6
＝144（立方厘米）
答：这个长方体模型的体积是144立方厘米。
故选：A。
【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．（2分）（2023春•沈丘县期中）一张长、宽分别是80cm，60cm的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为10cm的小正方形（如图），弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的容积是（ ）L。
A．2400B．240C．24
【思路引导】通过观察图形可知，焊成的无盖长方体的水箱的长是（80﹣10﹣10）厘米，宽是（60﹣10﹣10）厘米，高是10厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（80﹣10﹣10）×（60﹣10﹣10）×10
＝60×40×10
＝2400×10
＝24000（立方厘米）
24000立方厘米＝24升
答：这个水箱的容积是24升。
故选：C。
【考点评析】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
6．（2分）（2023春•社旗县期中）一个正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积增加162cm2。原来正方体的表面积是____cm2，体积是____cm3。（ ）
A．972；726B．486；729C．486；972
【思路引导】根据题意可知，把这个正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积增加162平方厘米，表面积增加的是正方体2个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：162÷2＝81（平方厘米）
因为9×9＝81（平方厘米），所以正方体的棱长是9厘米。
81×6＝486（平方厘米）
81×9＝729（立方厘米）
答：原来正方体的表面积是486平方厘米，体积是729立方厘米。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。
二．认真填空（共7小题，满分16分）
7．（2分）（2023春•海城市期中）把一根长6m的长方体木料锯成两段后，表面积增加了400dm2，这根木料的体积是 12 m3。
【思路引导】根据题意可知：把这根木料锯成两段后，表面积增加的是两个截面的面积，由此可以求出长方体木料的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：400平方分米＝4平方米
4÷2×6
＝2×6
＝12（立方米）
答：这根木料的体积是12立方米。
故答案为：12。
【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．（2分）（2023春•南安市期中）如图是淘气比较小球体积和正方体体积时做的实验，那么小球体积和正方体体积相差 150 cm3。（单位：cm）
​
【思路引导】先用中间图形中水与小球的体积之和减去左图中水的体积，求出小球的体积；再用右图中小球、正方体及水的体积之和减去中间图形中水与小球的体积之和，求出正方体的体积，最后求出小球体积和正方体体积差即可。
【规范解答】解：15×10×10﹣15×10×8
＝15×10×（10﹣8）
＝150×2
＝300（立方厘米）
15×10×13﹣15×10×10
＝15×10×（13﹣10）
＝150×3
＝450（立方厘米）
450﹣300＝150（立方厘米）
答：小球体积和正方体体积相差150立方厘米。
故答案为：150。
【考点评析】解答本题需熟练掌握长方体的体积公式。
9．（2分）（2023春•炎陵县期中）一个长方体，长、宽、高分别是8cm、5cm和4cm，从中截去一个最大的正方体后，正方体的体积是 64立方厘米 ，剩下部分的体积是 96立方厘米 。
【思路引导】根据题意可知，从这个长方体中截去一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，剩下部分的体积等于长方体与正方体的体积差，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
8×5×4﹣64
＝160﹣64
＝96（立方厘米）
答：正方体的体积是64立方厘米，剩余部分的体积是96立方厘米。
故答案为：64立方厘米，96立方厘米。
【考点评析】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．（2分）（2023春•沈丘县期中）一根长为7m的长方体木料，把它平均锯成3段（如图），表面积正好增加48dm2，原来这根木料的体积是 0.084 m3。
【思路引导】根据题意可知，把这个长方体木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：7米＝70分米
48÷4×70
＝12×70
＝840（立方分米）
840立方分米＝0.84立方米
答：原来这根木料的体积是0.84立方分米。
故答案为：0.84。
【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．（2分）（2023春•泉州期中）李叔叔要做一个长方体灯罩，他先用铁棍焊接灯罩的框架，已经完成了三条棱（如图），要制作这个完整的长方体框架，一共需要 36 分米长的铁棍。（焊接处忽略不计）
【思路引导】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（2+3+4）×4
＝9×4
＝36（分米）
答：一共需要36分米长的铁棍。
故答案为：36。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及棱长总和公式的灵活运用。
12．（4分）（2022秋•太原期末）（1）将5立方米的沙子均匀铺在长8米、宽2.5米的长方体沙坑里，沙子厚 2.5 分米。
（2）玲玲借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如图，石头的体积是 1000 立方厘米。
（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 56 平方厘米，体积是 24 立方厘米。
【思路引导】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。
（2）根据不规则物体体积的计算方法，把石块放入长方体容器中，上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是比3个正方体的表面积和减去了正方体的4个面的面积，拼成长方体的体积等于3个正方体的体积和。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（1）5÷（8×2.5）
＝5÷20
＝0.25（米）
0.25米＝2.5分米
答：沙子厚2.5分米。
（2）25×20×（12﹣10）
＝500×2
＝1000（立方厘米）
答：石头的体积是1000立方厘米。
（3）2×2×6×3﹣2×2×4
＝24×3﹣16
＝72﹣16
＝56（平方厘米）
2×2×2×3
＝8×3
＝24（立方厘米）
答：这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。
故答案为：2.5；1000；56，24。
【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．（2分）（2022春•东湖区期末）一个长方体鱼缸底面长a分米，比宽多5分米，高是长的2倍。这个长方体鱼缸的底面积是 （a2﹣5a） 平方分米，体积是 （2a3﹣10a2） 立方分米。（填字母式）
【思路引导】根据长方体鱼缸底面长a分米，比宽多5分米，求出宽是（a﹣5）分米，根据高是长的2倍，再求出高是2a分米；根据长方体底面积＝长×宽，长方体体积＝长×宽×，即可解答。
【规范解答】解：长方体宽＝a﹣5（分米）
长方体高＝2a（分米）
长方体底面积＝a（a﹣5）
＝a2﹣5a（平方分米）
长方体体积＝a×（a﹣5）×2a
＝2a2×（a﹣5）
＝2a3﹣10a2（立方分米）
答：这个长方体鱼缸的底面积是（a2﹣5a）平方分米，体积是（2a3﹣10a2）立方分米。
故答案为：（a2﹣5a），（2a3﹣10a2）。
【考点评析】此题主要考查长方体的底面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
三．判断正误（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2023春•应城市期中）一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h，且a＞b＞h，若把长方体切割成一个最大的正方体，则这个正方体的体积是a3。 × （判断对错）
【思路引导】根据题意可知，把这个长方体切割成一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出这个正方体的体积，然后与a3进行比较即可。
【规范解答】解：h×h×h＝h3
答：这个正方体的体积是h3。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征，以及正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
15．（2分）（2023春•沈丘县期中）长方体是由6个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 √ （判断对错）
【思路引导】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，相对棱的长度相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高；据此解答即可。
【规范解答】解：长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形；题干说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及运用。
16．（2分）（2023春•阜平县期中）用两块同样的橡皮泥分别捏成正方体和长方体，它们的体积一样大。 √ （判断对错）
【思路引导】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫作物体的体积。据此解答即可。
【规范解答】解：用两块同样的橡皮泥分别捏成正方体和长方体，虽然形状不同，但是体积不变，所以它们的体积一样大。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握体积的意义及应用。
17．（2分）（2023春•镇平县期中）如果一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，那么正方体的体积一定大于长方体的体积。 √ （判断对错）
【思路引导】根据长方形的周长＝（长+宽）×2，长方形的面积＝长×宽，正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，作根据长方体、正方体的统一体积公式：V＝Sh，可以通过举例证明。
【规范解答】解：假设长方体和正方体的底面周长都是24厘米，高都是6厘米。
长方体的长+宽＝24÷2＝12（厘米）
如果长是10厘米，那么宽是2厘米。
正方体的底面边长是24÷4＝6（厘米）
长方体的体积是10×2×6＝120（立方厘米）
正方体的体积是6×6×6＝216（立方厘米）
216＞120
所以一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，正方体的体积一定大于长方体的体积。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【考点评析】此题主要考查长方形、正方形的周长公式、面积公式的灵活运用，长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
18．（2分）（2021秋•偃师市期中）一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的体积是杯子体积的一半。 × （判断对错）
【思路引导】根据杯子的容积就是牛奶的体积，解答此题即可。
【规范解答】解：一杯牛奶喝掉一半后，所剩牛奶的体积是杯子容积的一半，所以题干说法是错误的。
故答案为：×。
【考点评析】根据体积和容积的区别，解答此题即可。
四．计算能手（共2小题，满分8分，每小题4分）
19．（4分）（2022春•关岭县期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm）
【思路引导】通过观察图形可知，从正方体的顶点处挖掉一个小长方体后，表面积不变，体积减少了。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：5×5×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
5×5×5﹣4×2×2
＝125﹣16
＝109（立方厘米）
答：它的表面积是150平方厘米，体积是109立方厘米。
【考点评析】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．（4分）（2022•杭州模拟）求如图图形的表面积和体积（单位：米）。
【思路引导】从图中可知，正方体与长方体有重合部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面，这样长方体的表面积是完整的，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；组合图形的表面积＝正方体4个面的面积+长方体的表面积；组合图形的体积＝正方体的体积+长方体的体积；根据正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【规范解答】解：（1）正方体4个面的面积：
2×2×4
＝4×4
＝16（平方米）
长方体的表面积：
（4×2+4×2+2×2）×2
＝（8+8+4）×2
＝20×2
＝40（平方米）
组合图形的表面积：
16+40＝56（平方米）
（2）正方体的体积：
2×2×2
＝4×2
＝8（立方米）
长方体的体积：
4×2×2
＝8×2
＝16（立方米）
组合图形的体积：
8+16＝24（立方米）
【考点评析】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．实际应用（共6小题，满分24分，每小题4分）
21．（4分）（2023春•雁江区期中）一个长方体铁皮长50厘米，宽28厘米。如果从四个角剪去边长6厘米的正方形，再折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的容积是多少？
【思路引导】由题意可知，折成的无盖盒子的长为（50﹣6﹣6）厘米，宽为（28﹣6﹣6）厘米，高为6厘米，根据长方体的体（容）积＝长×宽×高，代入数据计算出这个盒子的容积即可。
【规范解答】解：（50﹣6﹣6）×（28﹣6﹣6）×6
＝38×16×6
＝3648（立方厘米）
答：这个无盖盒子的容积是3648立方厘米。
【考点评析】解答本题需熟练掌握长方体的体（容）积公式，明确折成的盒子的长、宽、高是关键。
22．（4分）（2023春•雁江区期中）一个正方体的容器，棱长12分米，装满水后，倒入一底面长20分米，宽15分米，高18分米的长方体容器中，现在水的深度是多少分米？
【思路引导】根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：12×12×12÷（20×15）
＝144×12÷300
＝1728÷300
＝5.76（分米）
答：现在水深5.76分米。
【考点评析】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
23．（4分）（2023春•历城区期中）一块体积为60立方米的长方体大理石，底面积为6平方米。这块大理石的高是多少米？
【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：60÷6＝10（米）
答：这块大理石的高是10米。
【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．（4分）（2023春•应城市期中）工厂挖了一个长40m，宽20m，深2m的长方体蓄水池。要在蓄水池的底面和四壁抹水泥，若每平方米用水泥2.5kg，那么一共需要水泥多少千克？
【思路引导】根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米用水泥的质量即可。
【规范解答】解：（40×20+40×2×2+20×2×2）×2.5
＝（800+160+80）×2.5
＝1040×2.5
＝2600（千克）
答：一共需要水泥2600千克。
【考点评析】此题主要考查无盖长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
25．（4分）（2023春•云浮期中）一个长方体形状的游泳池，长50米，宽30米，深2米。要给游泳池的底面和四壁抹一层水泥，如果每平方米用水泥12千克，22吨水泥够不够用？
【思路引导】根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米用水泥的质量，求出一共需要水泥多少吨，再与22吨进行比较即可。
【规范解答】解：（50×30+50×2×2+30×2×2）×12
＝（1500+200+120）×12
＝1820×12
＝21840（千克）
21850千克＝21.8吨
22吨＞21.84吨
答：22吨水泥够。
【考点评析】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．（4分）（2022•南岸区）如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
【思路引导】由题意可知，水的体积不变。设这个长方体实心铁块的高度是x厘米，根据左图得水的体积为（25×25×x﹣125×x）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[x﹣（25﹣15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[x﹣（25﹣15）]立方厘米，据此列方程解答。
【规范解答】解：设这个长方体实心铁块的高度是x厘米。
25×25×x﹣125×x＝25×25×15﹣125×[x﹣（25﹣15）]
500x＝9375﹣125x+1250
500x+125x＝10625﹣125x+125x
625x÷625＝10625÷625
x＝17
答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。
【考点评析】本题考查了长方体和正方体体积公式的灵活应用，解答本题的关键是根据水的体积一定列方程。
六．动手操作（共2小题，满分9分）
27．（5分）（2022春•乐陵市期末）体积的测量。
用1cm3的体积单位测量了长方体盒子的体积，我发现：
长方体盒子一行摆 6 个，有 2 行，有 3 层，共有 36 个体积单位，所以长方体盒子的体积是 36 cm3。
【思路引导】根据长方体体积公式的推导过程可知，长方体所包含的体积单位的个数正好等于长、宽、高的乘积。据此解答即可。
【规范解答】解：通过观察图形我发现：长方体盒子一行摆6个，有2行，有3层，
6×2×3＝36（个）
所以共有36个体积单位，长方体盒子的体积是36立方厘米。
故答案为：6，2，3，36，36。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体体积公式的推导过程及应用。
28．（4分）（2020秋•宜兴市期末）用3个同样的小长方体（如图），拼成一个大长方体，可以怎样拼？先想象操作，再填一填。（单位：厘米）
拼成的大长方体中，表面积最小 42 平方厘米，表面积最大是 58 平方厘米。
【思路引导】根据题意，用3个同样的小长方体，拼成一个大长方体，有三种不同的拼法，要使表面积最小，也就是把3个长方体的最大面重合拼在一起；要使表面积最大，也就是把3个长方体的最小面重合拼在一起。根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：最大面重合拼成一个长3厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体。
（3×3+3×2+3×2）×2
＝（9+6+6）×2
＝21×2
＝42（平方厘米）
最小重合拼成一个长9厘米，宽1厘米，高2厘米的长方体。
（9×1+9×2+1×2）×2
＝（9+18+2）×2
＝29×2
＝58（平方厘米）
答：表面积最小是42平方厘米，最大是58平方厘米。
故答案为：42，58。
【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是明确：要使表面积最小，也就是把3个长方体的最大面重合拼在一起；要使表面积最大，也就是把3个长方体的最小面重合拼在一起。
七．解决问题（共5小题，满分22分）
29．（4分）（2023春•镇原县期中）王叔叔有一张长60cm、宽40cm的长方形铁皮，他想在它的四个角各剪去一个边长为5cm的小正方形（如图），然后焊接成一个无盖的铁皮盒子。
（1）你来帮李叔叔算一算。这个盒子的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计）
（2）如果把这个盒子里装满水，再把棱长为4cm的正方体铁块沉入水中，则流出来的水的体积是多少立方厘米？
【思路引导】（1）通过观察图形可知，这个盒子的长是（60﹣5﹣5）厘米，宽是（40﹣5﹣5）厘米，高是5厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）根据题意可知，把正方体铁块放入这个盒子里，溢出水的体积就等于这个铁块的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（1）（60﹣5﹣5）×（40﹣5﹣5）×5
＝50×30×5
＝1500×5
＝7500（立方厘米）
7500立方厘米＝7.5立方分米
答：这个盒子的容积是7.5立方分米。
（2）4×4×4
＝16×4
＝64（立方厘米）
答：流出来的水的体积是64立方厘米。
【考点评析】此题主要考查长方体的容积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．（4分）（2023春•南安市期中）某社区挖了一个长20m、宽18m、深5m的长方体蓄水池。
（1）如果给这个蓄水池的池底和四周贴上瓷砖，每平方米需要10块瓷砖，至少需要准备多少块这样的瓷砖？
（2）在蓄水池内壁4.5m高的位置画一圈水位线，要求水面不得高于这条水位线，则蓄水池的最大蓄水量是多少立方米？
【思路引导】（1）给这个蓄水池的池底和四周贴上瓷砖，需要计算出这个长方体蓄水池前、后、左、右、下五个面的面积之和，再用求得的面积之和乘10块，即可计算出给这个蓄水池的池底和四周贴上瓷砖。
（2）水位线的高度就是蓄水的高度，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可计算出蓄水池的最大蓄水量是多少立方米。
【规范解答】解：（1）（20×18+20×5×2+18×5×2）×10
＝（360+200+180）×10
＝740×10
＝7400（块）
答：至少需要准备7400块这样的瓷砖。
（2）20×18×4.5
＝360×4.5
＝1620（立方米）
答：蓄水池的最大蓄水量是1620立方米。
【考点评析】本题解题的关键是熟练掌握长方体表面积和体积的计算方法。
31．（4分）（2023春•邓州市期中）一块长方体木块，从下部和上部分别截去2cm和3cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了120cm2，原来长方体木块的体积是多少立方厘米？
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【思路引导】通过观察图形可知，表面积减少的是高为（2+3）厘米的4个侧面的面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，据此可以求出原来长方体的底面周长，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此求出底面边长，原来长方体的高比底面边长多（2+3）厘米，据此求出原来的高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：120÷（2+3）÷4
＝120÷5÷4
＝24÷4
＝6（厘米）
6×6×（6+2+3）
＝36×11
＝396（立方厘米）
答：原来长方体木块的体积是396立方厘米。
【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出原来长方体的底面边长和高。
32．（5分）（2023春•英德市期中）有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高6厘米（图1）。如果把这个容器竖起来放（图2），水的高度会是多少厘米？
【思路引导】容器平放和竖放容器内的水的体积没变，只是水在容器内体积的形状改变了；先求容器内水的体积，然后用水的体积除以竖放时容器的底面积，问题即可解决。
【规范解答】解：20×16×6÷（16×10）
＝320×6÷160
＝1920÷160
＝12（厘米）
答：水的高度是12厘米。
【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
33．（5分）（2022秋•阜宁县期末）李老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米，宽3分米、高2.5分米的长方体．
（1）如果要用彩带把这个礼品盒捆扎起来（扎法如图，打结处彩带长2分米），一共需要彩带多少分米？
（2）做这个礼品盒至少要多少平方分米的硬纸板？
【思路引导】（1）根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度等于两条长+两条宽+4条高再加上打结用的2分米，据此解答．
（2）首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由六个长方形组成，求得这六个面的面积和即可解决问题．
【规范解答】解：（1）4×2+3×2+2.5×4+2
＝8+6+10+2
＝26（分米）
答：一共需要彩带26分米．
（2）（4×3+3×2.5+2.5×4）×2
＝（12+7.5+10）×2
＝29.5×2
＝59（平方分米）
答：做这个礼品盒至少要59平方分米的硬纸板．
【考点评析】（1）此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，关键是弄清如何捆扎的，确定是求哪几条棱的长度和．
（2）是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积