浙江省温州市第二中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份浙江省温州市第二中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分考试时间：120分钟）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 2的相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式的相关运算．利用幂的乘方法则，合并同类项法则，去括号法则及完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：，则选项A符合题意；
，则选项B不符合题意；
，则选项C不符合题意；
，则选项D不符合题意；
故选：A．
3. 据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：826000000；
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层右边是一个小正方形，
故选：D．
5. 某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示：
其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A. 平均数，方差B. 中位数，方差
C. 平均数，众数D. 中位数，众数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，是解题的关键．
通过计算本数为2、3的人数和，判断不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，影响平均数和方差，进而进行选择．
【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：
，
则这组数据中出现次数最多的数8，即众数8，
与遮盖的数据无关；
第15、16个数据分别为6、7，则中位数为6.5，
与被遮盖的数据无关．
故选：D．
6. 圆锥底面圆的半径为2，母线长为4，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：该圆锥的侧面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7. 把一些图书分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则可以列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
设这个班有学生人，图书本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可．
【详解】解：设这个班有学生人，图书本，
由题意得，，
，
故选：B．
8. 如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深，锯道，已知，则这根圆柱形木材的半径是（ ）
A. 20B. 12C. 10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
连接，由垂径定理得，设圆的半径为x，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵
∴
设圆的半径为x，则
∴由勾股定理得，
即
解得：
故选：C．
9. 已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，则一次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与轴交点在与0之间，一次函数与轴交点是1，即可得出答案．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
，
，
根据二次函数图象得，
当时，则，
由图象得，
，，
一次函数的图象过第一、三、四象限，
当时，，
，
一次函数与轴交点在与0之间，
当时，，
，
一次函数与轴交点是1，
故选：C．
10. 如图，在矩形中，点E是上一点，连结交对角线于F．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过矩形的性质证明出，可证，则，继而设，对和运用勾股定理得到a与x的关系，最后用a表示出即可求解．
【详解】解：连接交于点O，
四边形矩形，
，，，，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解题的．
根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 一个布袋里装有2个红球，3个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为__________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
搅匀后任意摸出一个球有5种等可能结果，其中是白球的有3种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：因为搅匀后任意摸出一个球有5种等可能结果，其中是白球的有3种结果，
所以白球的概率为，
故答案为：．
13. 不等式组 的解集为 ▲ ．
【答案】－1≤x＜2
【解析】
【详解】解：由得，x＜2；
由得，x≥－1，
故此不等式组的解集为：－1≤x＜2．
故答案为：－1≤x＜2．
14. 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为______．

【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可．
详解】解：如图，连接，

∵点、分别是边AB、的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A，C在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，则k的值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的意义、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用
首先过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，作点B作轴，作轴，交于点F，连接，根据全等三角形的判定和性质得出， 结合图形求解即可．
【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，作点B作轴，作轴，交于点F，连接，
∵菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，
∴，
∴，，
即点C的横坐标为2，
同理得：，
∴，
∴点
∴，
故答案为8．
16. 如图，四边形内接于，，连结，．设与相交于点E．若，，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点作于点，利用圆周角定理，三角形外角的性质和等腰三角形的判定与性质得到，设，则，，设，，则，；利用相似三角形的判定与性质得到，，再利用勾股定理求得，则，结论可求．
【详解】解：过点作于点，连接，如图，
，
∴由弧长公式得：
∴
∴．
，
，
．
，
设，则，．
，，
．
设，，则，．
，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
．
，
∴是直径，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
．
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本题有7个小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式性质、绝对值化简、零指数幂以及整式的混合运算运算等知识，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则．
（1）根据二次根式性质、零指数幂和绝对值化简的计算法则化简每一项，再进行加减混合运算即可；
（2）利用平方差公式和整式的乘法运算法则去括号，再进行合并同类项计算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
18. 某校举行“数学运算能手”比赛，每位同学完成40道计算题，比赛结束后随机抽查部分同学的比赛成绩，以下是根据抽查成绩绘制的统计图的一部分，根据信息解决下列问题：
（1）本次共随机抽查了__________名学生：表中__________；
（2）求出图中的度数；
（3）该校共有800名学生，如果运算正确的题数不少于24题就可以获得奖品，请你估计这所学校本次“数学运算能手”比赛有多少同学可以获得奖品．
【答案】（1）100，30
（2）
（3）这所学校本次“数学运算能手”比赛可以获得奖品的同学约有360名．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图能反映每个项目所占总数的百分比．
（1）组人数除以所占百分比可得样本容量，总人数乘以组百分比即可得到的值．
（2）用乘以组所占比例即可求得圆心角的度数．
（3）总人数乘以、组所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：被抽查的总人数：（名）．
．
故答案为：100，30；
【小问2详解】
解：圆心角的度数：．
【小问3详解】
解：这所学校本次“数学运算能手”比赛可以获得奖品的同学约有：（名）．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，线段，的端点均在小正方形的顶点上，请按下列要求画格点三角形．
（1）在图中画出以为底的等腰三角形，且的面积为．
（2）在图中画出以为一边的等腰三角形，且的面积为5．
【答案】（1）作图见详解
（2）作图见详解
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握网格的特征，画出符合条件的图形．
（1）取格点，连接，，即为所求；
（2）取格点，连接，，即为所求．
【小问1详解】
解：取格点，连接，，即为所求；如图：
∵，，，
∴即为所求；
【小问2详解】
解：取格点，连接，，即为所求，如图：
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求．
20. 如图，某综合实践研究小组为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B、C分别测得气球A的仰角，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度AD．(参考数据：，，）
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，根据为得到，得到，结合的正切计算即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
21. 如图，正方形中，为边上的点，连结，作的垂直平分线交于，交于，连结．已知．
（1）若正方形的边长为4，求的长．
（2）求证：．
【答案】（1）1.5 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用正方形的性质可得，，再根据已知可设，则，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后列出关于的方程，进行计算即可解答；
（2）设与交于点，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而可得四边形是矩形，进而可得，，，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再根据已知易得：，从而可得，进而可得，最后利用证明，从而可得，进而可得，再利用线段的和差关系可得，从而进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，，
，
设，则，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
解得：，
，
的长为；
【小问2详解】
证明：设与交于点，过点作，垂足为，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
，
，
．
22. 设二次函数（a，b常数，）
（1）若，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标和对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的解析式；
（3）若，点在该二次函数图象上，求证：．
【答案】（1）二次函数的图象与轴的交点坐标为，，对称轴为直线；
（2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）把解析式化成交点式即可求得交点坐标，进一步求得对称轴；
（2）当时，，所以抛物线过点和两点，代入列方程组解出即可；
（3）把代入用、表示，由的范围结合可解．
【小问1详解】
解：若，则，
，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，，
对称轴为直线；
【小问2详解】
解：当时，，
抛物线经过和过，，不经过点，
把过，分别代入得：，
解得，
抛物线解析式为；
【小问3详解】
证明：点，在该二次函数图象上，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，利用待定系数法求二次函数的解析式，解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
23. 如图，在中，，点D是线段上的动点（不与A，B重合），连结，以为直径作，交于点E，交于点F，连结，，过F作于G，交于H．
（1）①__________，__________（直接写出答案）
②求证：．
（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长．
（3）当时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）过点A作于点M，过点B作于点N，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；利用圆周角定理，等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用分类讨论的方法分两种情形解答：当时，当时；
（3）过点D作，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的边角关系定理即可求解．
【小问1详解】
①过点A作于点M，过点B作于点N，如图，
∵
设，则
∴
，
故答案为；2；
②证明：
∵为直径
∴；
【小问2详解】
当时，如图
∵为直径
∴
∴，
∴点O与点H重合
设，则
，
由（1）知，
解得：或（不合题意，舍去）
；
当时，作，如图
设，则，
∵
，

由（1）知，
综上，BD的长为3或；
【小问3详解】
过点D作，如图
∵
，
设，则
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
本数
2
3
4
5
6
7
8
人数
■
■
2
3
6
7
9
组别
正确题数
人数
15
16
24
15