新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第3讲 函数的奇偶性与周期性（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习课件第2章函数导数及其应用第3讲 函数的奇偶性与周期性（含解析），共54页。PPT课件主要包含了答案C，答案fx＝x2，于原点对称，题后反思，答案BC，答案1，答案D，答案02，－f－x＋1，＝－f－x等内容，欢迎下载使用。

(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意
义，那么一定有 f(0)＝0.
(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶
函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(1)周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
【名师点睛】函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).
1.(多选题)下列结论正确的为(
A.若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)＝0B.若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称C.若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称D.2π是函数 f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期答案：BCD
2.(教材改编题)设函数 f(x)＝
(x＋1)(x＋a)x
a＝________.答案：－13.(教材改编题)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝x(1＋x)，则 f(－1)＝________.答案：－2
题组三 真题展现4.(2021 年全国甲)设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且
5.(2021 年新高考Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②
③的函数 f(x)：________.
①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0；
③f′(x)是奇函数.
考点一 判断函数的奇偶性[例 1]判断下列函数的奇偶性：
解：(1)由于 f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)f(x)的定义域为(－2,2)，f(－x)＝＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数.
(4)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关
∵当 x<0 时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当 x>0 时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数.
(1)判断函数奇偶性的两个必备条件
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要
不充分条件，所以首先考虑定义域.②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中，可以将问题转化为 f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
【变式训练】1.(多选题)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)
是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|＋g(x)是偶函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，A 错误、C 正确；由两个偶函数的和还是偶函数知 B 正确；由 f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数，D 错误.故选 BC.
解：取 x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x).取x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).又f(0)＝0，∴f(x)为奇函数.
考点二 根据函数的奇偶性求参数的值(范围)
　　　函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，y＝x3为R上的奇函数，故y＝a·2x－2－x也为R上的奇函数，所以y|x＝0＝a·20－20＝a－1＝0，所以a＝1.
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题.
(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称(关于点(a,0)对称).
解析：函数 f(x)的图象关于原点对称，且当 x＝0 时，f(x)有意义，∴f(0)＝0，得 a＝1.又 g(x)为偶函数，∴g(－1)
2.设函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，且 g(x)＝f(x＋1)为偶函数，则不等式 g(2－2x)<0 的解集为______.解析：由已知可得 g(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(2)＝0，又 g(x)为偶函数，∴g(2－2x)<0 可化为 g(2－2x)考点三 函数性质的综合应用
考向 1 单调性与奇偶性的综合问题
通性通法：1.利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化.
2.注意偶函数的性质 f(x)＝f(|x|)的应用.
[例 3](2020 年全国Ⅱ)设函数 f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－
考向 2 周期性与奇偶性的综合问题
通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
解析：∵f(x＋1)为奇函数，∴f(1)＝0，且 f(x＋1)＝
∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，
∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，即 f(x＋2)
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).令 t＝－x，则 f(t＋2)＝－f(t)，
∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).
当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，又 f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得 a＝－2，∵f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，∴当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2，
考向 3 单调性、奇偶性与周期性的综合问题
通性通法：对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
[例 5]已知定义在 R 上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当 x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；②x＝－4 为函数 y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数 y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程 f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________.
解析：据已知抽象函数关系式 f(x＋4)＝f(x)＋f(2)可得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函数为偶函数，故有 f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2)⇒f(2)＝0，即①正确；因此 f(x)＝f(x＋4)，即函数是以 4 为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图象必关于 y 轴即直线 x＝0 对称，又其周期为 4，故 x＝－4也为函数图象的一条对称轴，即②正确；又已知函数在区间[0,2]上单调递减，故将其图象沿 x 轴向右平移 2 个周期长度单位，其单调性不变，即在区间[8,10]上也单调递减，
故③错误；如图 2-3-1 所示，若方程 f(x)＝m 在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线 x＝－4 对称，即x1＋x2＝－8，故④正确，综上所述，命题①②④正确.
【考法全练】1.(考向 1)(2020 年新高考Ⅰ)若定义在R上的奇函数 f(x)在(－∞，0)单调递减，且 f(2)＝0，则满足 x·f(x－1)≥0 的
A.[－1,1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞)D.[－1,0]∪[1,3]
解析：因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，则 f(0)＝0.又 f(x)在(－∞，0)单调递减，且 f(2)＝0，画出函数 f(x)的大致图象如图 D3(1)所示，则函数 f(x－1)的大致图象如图 D3(2)所示.当 x≤0 时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当 x＞0 时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≥0，得 1≤x≤3.故满足 xf(x－1)≥0 的 x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3].故选 D.
2.(考向 2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝
－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则(A.f(－25)＜f(11)＜f(80)B.f(－25)＜f(80)＜f(11)C.f(80)＜f(11)＜f(－25)D.f(11)＜f(80)＜f(－25)
解析：根据题意，定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝－f(x)，则有 f(x＋8)＝f(x)，故函数的周期为 8.f(－25)＝f[(－1)＋(－3)×8]＝f(－1)，f(80)＝f(0＋8×10)＝f(0)，f(11)＝f(3)＝f[(－1)＋4]＝－f(－1)＝f(1)，根据奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递增，可得 f(x)在[－2,0]上也单调递增，则函数 f(x)在区间[－2,2]上单调递增，则有 f(－1)＜f(0)＜f(1)，即 f(－25)＜f(80)＜f(11).故选 B.
3.(考向 3)(多选题)(2021 年日照联考)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件 f(x＋2)＝－f(x)，且函数 f(x－1)为奇函
A.函数 f(x)是周期函数B.函数 f(x)的图象关于点(－1,0)对称C.函数 f(x)为 R 上的偶函数D.函数 f(x)为 R 上的单调函数
解析：因为 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)是周期函数，A 正确；因为函数 f(x－1)为奇函数，所以函数 f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以 f(x)的图象关于点(－1,0)对称，B 正确；因为函数 f(x－1)为奇函数，所以 f(－x－1)＝－f(x－1)，又 f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以 f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)为 R 上的偶函数，C 正确；因为函数 f(x－1)为奇函数，所以 f(－1)＝0，又函数 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(1)＝0，所以函数 f(x)不单调，D 错误.
⊙函数奇偶性、周期性的应用
结论一：若函数 f(x)是奇函数，且 g(x)＝f(x)＋c，则必
有 g(－x)＋g(x)＝2c.
结论二：若函数 f(x)是奇函数，则函数 g(x)＝f(x－a)
＋h 的图象关于点(a，h)对称.
结论三：若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(|x|).
A.(－4,6)C.(－4,3)
B.(－2,3)D.(－2,6)
【反思感悟】求解函数对称中心问题的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解.
④f(x)的图象的对称轴中，有 x＝±1.
其中正确的命题是(A.①②③C.①③④
解析：∵f(x－2)＝－f(x)对一切 x∈R 恒成立，∴f(x－4)＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以 4 为周期的周期函数，①正确；当1≤x≤3时，－1≤2－x≤1.∵当－1≤x≤1时，f(x)＝x3，∴f(2－x)＝(2－x)3＝－f(x－2)＝f(x)，∴f(x)
2.(多选题)(2021 年福建毕业班质检)已知 f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于 f(x)的结
A.f(x)是周期函数B.f(x)满足 f(x)＝f(4－x)C.f(x)在(0,2)上单调递减