新高考数学二轮培优大题优练9 圆锥曲线探索性问题（2份打包，原卷版+教师版）

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优选例题
例1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 只有一个公共点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴上关于原点对称的两点，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判断是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2），存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，该定值为2．
【解析】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立并求解，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，为定值，
所以存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均满足 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，该定值为2．
例2．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 实轴端点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为2，过 SKIPIF 1 < 0 点且斜率1的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试探究直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为离心率为2，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
模拟优练
1．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 的焦点与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 及抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为常数？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程：
（2）在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由．
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D为垂足，问是否存在定点Q，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，
若存在，求出Q点；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】（1）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）设椭圆焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即椭圆焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆 SKIPIF 1 < 0 得离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意得，直线 SKIPIF 1 < 0 不与x轴平行，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，并设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为常数 SKIPIF 1 < 0 ．
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为常数．
2．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为零，设 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
将①代入，从而得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此存在点 SKIPIF 1 < 0 满足题意， SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，答案见解析．
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
代入整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 不在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时与点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标重合舍去，
此时直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合，则由题设知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的斜边，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．