广东省八校2025届高三上学期8月联合检测数学试卷(含答案)

这是一份广东省八校2025届高三上学期8月联合检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.
C.D.
2．若,则( )
A.B.C.D.
3．已知向量,,若,则( )
A.1B.2C.3D.6
4．已知,则( )
A.B.C.D.1
5．已知一个圆柱的轴截面是正方形,一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等,则圆柱与圆锥的体积之比为( )
A.B.C.D.
6．已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数与,则下列说法错误的是( )
A.与存在相同的对称轴
B.与存在相同的对称中心
C.与的值域相同
D.与在上有相同的单调性
8．已知函数满足,则下列结论中正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．随机变量X服从正态分布,若,则( )
A.B.
C.D.
10．设函数,则( )
A.当时,有三个零点
B.当时,无极值点
C.,使在R上是减函数
D.,图象对称中心的横坐标不变
11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且,动点M满足,动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线,记该卡西尼卵形线为曲线C,则下列描述正确的是( )
A.曲线C的方程是
B.曲线C关于坐标轴对称
C.曲线C与x轴没有交点
D.的面积不大于
三、填空题
12．双曲线的左､右焦点分别是,,过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A､B两点,若为正三角形,则双曲线的离心率为_______________.
13．若曲线在处的切线恰好与曲线也相切,则_______________.
14．盒中有3个红球、m个黄球、n个绿球,所有球除颜色不同外其他没有任何区别.从盒中任抽两球,抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球,记其中红球的个数为X,则________________.
四、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)求角C;
(2)若外接圆的面积是,求面积的最大值.
16．设,为椭圆的左、右焦点,点在椭圆C上,点A关于原点的对称点为B,四边形的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过的直线l交椭圆C于M,N两点,求证：为定值.
17．如图,在三棱柱中,平面平面,平面平面.

(1)证明：平面;
(2)若,,,求直线与平面所成角的余弦值.
18．已知函数,,.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求a的取值范围;
(3)若对任意恒成立,求a的取值范围.
19．马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第,,,次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子,各装有2个黑球和1个红球,现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子,重复进行次这样的操作后,记A盒子中红球的个数为,恰有1个红球的概率为.
(1)求,的值;
(2)求的值（用n表示）;
(3)求证：的数学期望为定值.
参考答案
1．答案：D
解析：由可得,因在R上为增函数,故,
则,故.
故选：D.
2．答案：A
解析：由,得,所以,
所以.
故选：A.
3．答案：D
解析：因为,,
所以,
若,则,所以.
故选：D.
4．答案：C
解析：由,
由,
可得,
所以.
故选：C.
5．答案：B
解析：设圆柱的底面半径为r,因为圆柱轴截面是正方形,所以圆柱的高为,
依题意圆锥的底面半径为r,设圆锥的母线长为l,
因为圆锥与该圆柱的侧面积相等,所以,解得,
则圆锥的高为,
圆柱的体积,圆锥的体积,
所以.
故选：B.
6．答案：C
解析：当时,,依题须使恒成立,则;
当时,由在上递增,须使,
即;
又由解得.
综上可得,a的取值范围是.
故选：C.
7．答案：B
解析：对于A,令,,得的对称轴为,,
令,,得的对称轴为,,显然与有相同的对称轴,A正确;
对于,令,,得的对称中心为,,
令,,得的对称中心为,,
由得,
显然不存在整数,使成立,故与没有相同的对称中心,B错误;
对于C,与的值域显然均为,C正确;
对于D,当时
由在上递增,
由在上递减,
由在上递增,
由在上递减,
与均在上单调递增,在上单调递减,D正确.
故选：B.
8．答案：A
解析：令得;
令,得,所以;
令,得,所以;
令,得,所以;
令,得.
综上只有A正确.
故选：A.
9．答案：AB
解析：对于A,由知是1和3的中间值,故,故A正确;
对于B,C,在正态分布中,,故B正确,C错误;
对于D,当时,,由正态曲线的特征可得,,所以D错误.
故选：AB.
10．答案：BD
解析：对于A,当时,,求导得,
令得或,由,得或,由,
得,于是在,上单调递增,在上单调递减,
在处取得极大值,因此最多有一个零点,A错误;
对于B,,当时,,即恒成立,
函数在R上单调递增,无极值点,B正确;
对于C,要使在R上是减函数,则恒成立,
而不等式的解集不可能为R,C错误;
对于D,由,
得图象对称中心坐标为,D正确.
故选：BD.
11．答案：ABD
解析：设,由,
得,
化简得,故A正确;
该方程中把x改为或把y改为方程均不变,故B正确;
在方程中,令得,
当时,或,当时,,当时,,故C不正确;
,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析： 为正三角形,
,又,
,
,（舍去）
故答案为：.
13．答案：-1
解析：对于：,可得,
当,则,,
可知曲线在处的切线是;
对于：,可得,
令得,
由切点在曲线上得.
故答案为：-1.
14．答案：
解析：设盒中共有k个球,则,解得,
依题意X满足超几何分布,故.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,
得,
化简得,
因为,所以.
(2)设外接圆的半径为R,则,所以,
又,所以,
所以,
又,所以,当且仅当时“”成立,
即面积的最大值为.
16．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设椭圆C的焦距为,因为,,
所以四边形为平行四边形,其面积设为S,
则,所以,
所以,
又,
解得,,
所以椭圆C的方程为.
(2),当直线l与x轴重合时,l的方程为,
此时不妨令,,则;
当直线l与x轴不重合时,l的方程可设为,
由,得,
设,,则,,
,
综上,为定值4.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图1,取O为内一点,
作,交于点E,作,交于点F,
因为平面平面且平面平面,平面,
所以平面,因为平面,所以,
同理,因为,且,平面,所以平面.
(2)因为,,两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图2所示.
依题意,,,,
则,,,
设平面的法向量为,则,
令,则,,所以.
设直线与平面所成的角为,则.
因,故,故直线与平面所成角的余弦值为.
18．答案：(1)答案见解析
(2)
(3)
解析：(1)的定义域为,
当时,时,;时,;
当时,时,;
当时,时,;时;
当时,时;时;
综上,时,的递减区间是,递增区间是;
时,的递增区间是,无递减区间;
时,的递增区间是和,递减区间是;
时,的递增区间是和,递减区间是.
(2)令得,
设,则,
当时,,在上递减;当时,,在上递增,
则.
又因时,,时,,作出函数的图象,
由图可得,要使直线与函数的图象有两个交点,须使,
即,故a的取值范围是.
(3)由得,
因,即得,（*）,
易得时,不等式成立,
设,,
则,
当时,,函数在上单调递增,故,（*）恒成立;
当时,设,
则方程有两根,,,,可得,,
当时,,则,在上单调递减;
又,所以当时,,不满足条件,
综上,a的取值范围是.
19．答案：(1),
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)设第次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为,
则没有红球的概率为.
由题意知,
(2)因为.
所以.
又因为,所以是以为首项,为公比的等比数列.
所以,
(3)因为,①
②
所以①一②,得.
又因为,所以,所以.
的可能取值是0,1,2,
所以的概率分布列为
所以.
所以的数学期望为定值1.
0
1
2
p