新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题13解析几何 13.5抛物线（2份打包，原卷版+解析版）

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知识梳理.抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
题型一. 抛物线定义及其性质
1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN||NF|，则|MF|＝ ．
2．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2x
3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK||AF|，则△AFK的面积为 ．
5．在直角坐标系xy中，曲线C1上的点均在圆C2：（x﹣5）2+y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝﹣5的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，则曲线C1的方程为 ．
6．（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）
A．B．
C．D．
题型二. 定义转化求值
1．已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为 ．
2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣5）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值是 ．
3．（2016·四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
题型三. 焦点弦八个常用结论
1．（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
2．（2016•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果•12，那么抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x
3．（2009•黑龙江）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（ ）
A．B．C．D．
4．（2020•青岛模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．
5．（2015•陕西一模）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l与C交于 A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2021春•孝南区校级月考）已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为 ．
7．（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为 ．
8．（2018•一模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16B．20C．24D．32
9．（2012•安徽）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
A．B．C．D．2
10．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
11．（2013•宁波模拟）直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝（ ）
A．a+bB．C．D．
12．（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•0，则k＝（ ）
A．B．C．D．2
13．（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A．B．C．D．
题型四. 过x轴定点问题
1．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是 ．
2．已知抛物线C方程为x2＝4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则|AP|•|BQ|的取值范围为（ ）
A．B．[2，+∞）C．（2，+∞）D．[0，2）
题型五. 切线问题
3．已知点A（3，﹣2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
课后作业. 抛物线
1．已知点M（1，2），点P在抛物线y2＝8x上运动，点Q在圆（x﹣2）2+y2＝1上运动，则|PM|+|PQ|的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，若抛物线C上存在一点B使，则|AB|＝（ ）
A．B．8C．D．4
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为 ， ．
5．焦点为F的抛物线C：x2＝4y的准线与坐标轴交于点A，点P在抛物线C上，则的最大值为 ．
6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若，则弦长|AB|＝ ．
标准
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为eq \a\vs4\al(\f(p,2).)
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)