2025年高考数学一轮复习-1.1.1-集合的概念与表示-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-1.1.1-集合的概念与表示-专项训练【含解析】，共8页。


【典题1】下列说法正确的是 ( )
A.某个村子里的高个子组成一个集合；
B.所有小的正数组成的集合；
C.集合{1 , 2 , 3 , 4 , 5}和{5 , 4 , 3 , 2 , 1}表示同一个集合；
D.1 , 0.5 , 12 , 32 , 64 , 14这些数组成的集合有五个元素.
【典题2】设集合A={2 , 1−a , a2−a+2}，若4∈A，则a= .
【典题3】用列举法表示集合A={6x−2∈Z|x∈N}= .
【典题4】 若集合A={x|ax2+2x+1=0 , a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是 ．

巩固练习
1 (★) 下列各组对象能构成集合的是( )
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
2(★) 以实数x,−x,|x|,x2,−3x3为元素所组成的集合最多含有( )个元素．
A．0B．1C．2D．3
3(★) 下面有四个命题：
(1)集合N中最小的数是1； (2)0是自然数；
(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)a∈N,b∈N，则a+b不小于2. .
其中正确的命题的个数是()
A．１个B．2个C．3个D．4个
4(★★) 设集合M={x|x=3k , k∈Z}，P={x|x=3k+1 , k∈Z}，Q={x|x=3k−1 , k∈Z}，若a∈M , b∈P , c∈Q，则a+b−c∈ ( )
A.M B.P C.Q D.M∪P
5(★★) 已知x,y,z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．−4∉M
6(★★) 点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集
C．第一、第三象限内的点集 D．不在第二、第四象限内的点集
7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}，则a2017+b2018= ．
8 (★★) 若集合A={x|kx2+4x+4=0 , x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为 ．
9 (★★) 用列举法表示集合{m|m−23∈N , m∈N , m≤10}= ．
10 (★★) 集合A=x∈Z∣y=12x+3,y∈Z的元素个数为
11 (★★) 用列举法表示下列集合
(1)11以内偶数的集合；
(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．
12 (★★★) 已知集合A=x∣ax2−3x+2=0,a∈R
1)若A是空集，求a的取值范围；
2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.
2025年高考数学一轮复习-集合的概念与表示-专项训练【解析版】
【典题1】下列说法正确的是 ( )
A.某个村子里的高个子组成一个集合；
B.所有小的正数组成的集合；
C.集合{1 , 2 , 3 , 4 , 5}和{5 , 4 , 3 , 2 , 1}表示同一个集合；
D.1 , 0.5 , 12 , 32 , 64 , 14这些数组成的集合有五个元素.
【解析】由于“高个子”、“小的”没有一个明确的标准，A , B的对象不具备确定性；
D中的0.5 , 12 , 14三个数相等，32 , 64相等，故集合只有3个元素；
集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.
【点拨】本题考核集合元素的三要素.
【典题2】设集合A={2 , 1−a , a2−a+2}，若4∈A，则a= .
【解析】∵4∈A ∴1−a=4或a2−a+2=4，
i若1−a=4，则a=−3，此时a2−a+2=14，∴A={2 , 4 , 14}；
(ii)若a2−a+2=4，则a=2或a=−1，
a=2时，此时1−a=−1，∴A={2 , −1 , 4}；
a=−1时，此时1−a=2，则A={2 , 2 , 4}不符合集合的"互异性”，故a≠−1.
综上 a=−3或2．
【点拨】 本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；
当a=−1时，1−a=2，此时A={2 , 2 , 4}不符合集合的"互异性”，故a≠−1.
故求出集合后最好做下检查.
【典题3】用列举法表示集合A={6x−2∈Z|x∈N}= .
【解析】根据x∈N，且6x−2∈Z可得：
x=0时，6x−2=−3；x=1时，6x−2=−6；x=3时，6x−2=6；
x=4时，6x−2=3； x=5时，6x−2=2； x=8时，6x−2=1；
∴A={－3 , －6 , 6 , 3 , 2 , 1}．
【点拨】
① 看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x−2”，而不是“x”)，再看元素需要满足的条件；
② 集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.
【典题4】 若集合A={x|ax2+2x+1=0 , a∈R}至多有一个元素，则a的取值范围是 ．
【解析】∵集合A={x|ax2+2x+1=0 , a∈R}至多有一个元素，
∴a=0或a≠0△=4−4a≤0，解得a=0或a≥1，
∴a的取值范围是{a|a=0或a≥1}．
【点拨】注意二次项系数是否等于0，先确认函数类型.
巩固练习
1 (★) 下列各组对象能构成集合的是( )
A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形
C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】 B
【解析】 选项A、C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，
故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．
故选：B．
2(★) 以实数x,−x,|x|,x2,−3x3为元素所组成的集合最多含有( )个元素．
A．0B．1C．2D．3
【答案】 C
【解析】当x>0时，x=|x|=x2>0，−3x3=−x<0，此时集合共有2个元素；
当x=0时，x=|x|=x2=−3x3=−x=0，此时集合共有1个元素；
当x<0时，−x=|x|=x2=−3x3>0,x<0，此时集合共有2个元素，
故由以实数x,−x,|x|,x2,−3x3为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．
故选：C．
3(★) 下面有四个命题：
(1)集合N中最小的数是1； (2)0是自然数；
(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)a∈N,b∈N，则a+b不小于2. .
其中正确的命题的个数是()
A．１个B．2个C．3个D．4个
【答案】 A
【解析】 (1)集合N中最小的数是0，(2)对，(3)不大于3的自然数组成的集合是{0,1,2,3}，(4)因为0∈N，所以a+b可能小于2，因此只有(2)是对的，故选A.
4(★★) 设集合M={x|x=3k , k∈Z}，P={x|x=3k+1 , k∈Z}，Q={x|x=3k−1 , k∈Z}，若a∈M , b∈P , c∈Q，则a+b−c∈ ( )
A.M B.P C.Q D.M∪P
【答案】 A
5(★★) 已知x,y,z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．−4∉M
【答案】 A
【解析】根据题意，分4种情况讨论；
①、x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=−4，
②、x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0，
③、x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=0，
④、x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|=4；
则M={4,−4,0}；
分析选项可得A符合．
6(★★) 点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集
C．第一、第三象限内的点集 D．不在第二、第四象限内的点集
【答案】 D
【解析】 xy≥0指x和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选D
7(★★) 已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}，则a2017+b2018= ．
【答案】 −1
【解析】根据题意，由{a,ba,1}={a2,a+b,0}可得a=0或ba=0，
又由ba的意义，则a≠0，必有ba=0，则b=0，
则{a,0,1}={a2,a,0}，
则有a2=1，即a=1或a=−1，
集合{a,0,1}中，a≠1，则必有a=−1
则a2017+b2018=−12017+02018=−1
故答案为：−1
8 (★★) 若集合A={x|kx2+4x+4=0 , x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为 ．
【答案】0或1
【解析】由集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素，
当k=0时，4x+4=0，即x=−1,A={−1}，成立；
当k≠0时，△=16−4•k•4=0，解得k=1．A={x|x2+4x+4=0}={−2}，成立．
综上，k=0或1．
9 (★★) 用列举法表示集合{m|m−23∈N , m∈N , m≤10}= ．
【答案】 {2 , 5 , 8}．
【解析】根据题意，∵m∈N,m≤10，
∴m−2≤8,且(m−2)∈Z
又因m−23∈N，∴(m−2)∈N，且是3的整数倍，
∴m−2=0或3或6，∴m=2或5或8，
∴集合{m|m−23∈N,m∈N,m≤10}={2,5,8}．
故答案为：{2,5,8}．
10 (★★) 集合A=x∈Z∣y=12x+3,y∈Z的元素个数为
【答案】 12
【解析】由题意，集合x∈Z∣y=12x+3∈Z中的元素满足x是整数，且y是整数，
由此可得x=−15，−9，−7，−6，−5，−4，−2，−1，0，1，3，9；
此时y的值分别为：−1,−2,−3,−4,−6,−12,12,6,4,3,3,1，
符合条件的x共有12个，
11 (★★) 用列举法表示下列集合
(1)11以内偶数的集合；
(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．
【解析】(1){2,4,6,8,10}；
(2)解方程(x+1)(x2−4)=0，得x1=−1,x2=−2,x3=2，
故方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}；
(3)解方程组&y=2x&y=x+1得&x=1&y=2，
因此一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点为(1,2)，故所求的集合为{(1,2)}．
12 (★★★) 已知集合A=x∣ax2−3x+2=0,a∈R
1)若A是空集，求a的取值范围；
2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围
【答案】 1) a>98; 2) 若a=0，则有A=23；若a=98 ，则有A=43；3) a=0或a≥98.
【解析】 1)若A是空集，则方程ax2−3x+2=0无解，此时a≠0且Δ=9−8a<0，即a>98.
2)若A中只有一个元素
则方程ax2−3x+2=0有且只有一个实根
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件；
当a≠0，此时Δ=9−8a=0，解得a=98.
∴a=0或a=98
若a=0，则有A=23；若a=98 ，则有A=43；
3)若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由(1)，(2)得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥98.