新高考数学一轮复习学案 第5章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第5章 §5.2　平面向量基本定理及坐标表示（含解析），共15页。学案主要包含了平面向量基本定理的应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示等内容，欢迎下载使用。

1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示 不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示 不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
题组二 教材改编
2．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))＝－2eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝0 D.eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))
答案 ABC
3．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案 (1,5)
解析 设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))
4.如图，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，且eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)，用eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))表示eq \(OP,\s\up6(→))＝__________________.
答案 (1－t)eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))
解析 ∵eq \(AP,\s\up6(→))＝teq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋t(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))－teq \(OA,\s\up6(→))
＝(1－t)eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→)).
题组三 易错自纠
5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可作为这一个平行四边形所在平面的一个基底的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→)) D.eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))
答案 AC
解析 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，
对于A，eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))不共线，可作为基底；
对于B，eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))为共线向量，不可作为基底；
对于C，eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))是两个不共线的向量，可作为基底；
对于D，eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
6．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(4，－8)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 BD
解析 设b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，依题意有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＝4\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))2)，,y＋2x＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝8.))
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C．－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D．－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
答案 C
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.
(2)(2021·郑州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若eq \(CG,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由题图可设eq \(CG,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))(0