新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题12 圆锥曲线中的“设而不求”（2份打包，原卷版+解析版）

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研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.
二、解题秘籍
(一) “设而不求”的实质及注意事项
1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．
3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.
【例1】（2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上运动，且 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 并延长分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，并与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 异 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点时，试问 SKIPIF 1 < 0 是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时与题意不符，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入椭圆的方程化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时，设 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值.
(二)设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.
【例3】（2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点时， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的延长线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点，试问： SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆离心率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为椭圆右焦点时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意可设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中）作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 在直线l的左上方.
(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 的内切圆的圆心在一条定直线上.
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 ，所以线段AB的中点在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
（2）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 在直线l的左上方，所以 SKIPIF 1 < 0 的角平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴平行，所以 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的圆心在 SKIPIF 1 < 0 这条直线上.
(三)设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.
【例5】（2022届湖南省益阳市高三上学期月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,其离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,P为椭圆C上一动点, SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆C交于A,B两点,试问：在x轴上是否存在定点Q,使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c,因离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,由椭圆性质知,椭圆短轴的端点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,于是得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,联立解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆C的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由(1)知,点 SKIPIF 1 < 0 ,
当直线斜率存在时,不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 消去y并整理得, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
假定在x轴上存在定点Q满足条件,设点 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
当直线l斜率不存在时,直线l： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于点A,B,由对称性不妨令 SKIPIF 1 < 0 ,
当点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
(四) 中点弦问题中的设而不求
与中点弦有个的问题一般是设出弦端点坐标 SKIPIF 1 < 0 代入圆锥曲线方程作差,得到关于 SKIPIF 1 < 0 的关系式,再结合题中条件求解.
【例6】中心在原点的双曲线 SKIPIF 1 < 0 焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上且焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：
①该曲线经过点 SKIPIF 1 < 0 ；
②该曲线的渐近线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切；
③点 SKIPIF 1 < 0 在该双曲线上, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为该双曲线的焦点,当点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 时,恰好 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过定点 SKIPIF 1 < 0 能否作直线 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 与此双曲线相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,且 SKIPIF 1 < 0 是弦 SKIPIF 1 < 0 的中点？若存在,求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在,说明理由.
【解析】(1)设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
选①：由题意可知,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
选②：圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因此,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
选③：由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)假设满足条件的直线 SKIPIF 1 < 0 存在,设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,所以,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 ,整理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因此,直线 SKIPIF 1 < 0 不存在.
三、跟踪检测
1．（2023届河南省洛平许济高三上学期质量检测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为F，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆C的方程 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （定值）.
2．（2023届江西省南昌市金太阳高三上学期10月联考）如图，长轴长为4的椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为A，过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)试问是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴直线 SKIPIF 1 < 0 方程为︰ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则定点 SKIPIF 1 < 0 必在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上，
以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆为 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ，即存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的短轴端点与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，过点 SKIPIF 1 < 0 且不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线l与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点B关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为点E，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于定点.
【解析】（1）由双曲线 SKIPIF 1 < 0 得焦点 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为； SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于定点 SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)若动直线 SKIPIF 1 < 0 经过双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 点？若存在，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 两条渐近线的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 渐近线的斜率 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 无解；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足题意，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
方法一：①当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立；
综上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 点.
方法二：①当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不为 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立；
综上所述：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 点.
5．（2023届内蒙古自治区赤峰市高三上学期月考）平面内一动点 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，是它与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离的两倍.
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 点作两条互相垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （直线 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直）.其中，直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求 SKIPIF 1 < 0 点轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）由题，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与曲线 SKIPIF 1 < 0 联立方程组得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
依题意有直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
6．（2023届福建省福州华侨中学高三上学期考试）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，点M到l的距离为d，若点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设 SKIPIF 1 < 0 ，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
则所求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于两点，故 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即以P，Q为直径的圆经过点A.
7．（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 的正方形ABCD的顶点都在 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）根据对称性，不妨设正方形的一个顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .①
又 SKIPIF 1 < 0 ，②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由已知及（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设过点P与 SKIPIF 1 < 0 相切的直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立消去y整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，③
根据题意 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为方程③的两个不等实根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 .
8．（2023届浙江省浙里卷天下高三上学期10月测试）已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 两点分别作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别是 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于定点.
【解析】（1）因 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，由椭圆定义得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去x并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得：
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于定点 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023届江苏省南京市六校高三上学期10月联考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦距为4，且过点 SKIPIF 1 < 0
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 分别作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的两直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，设 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，试求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比.
【解析】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以用 SKIPIF 1 < 0 代换 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 也过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
10.（2022届北京市海淀区高三上学期期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程和离心率；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ）与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同两点E,F,直线AE,AF分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于点M,N.当 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,离心率 SKIPIF 1 < 0
（2）联立 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0
设点E,F的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
直线AE的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
直线AF的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
11.（2022届天津市第二中学高三上学期12月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长是4,且过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l： SKIPIF 1 < 0 交椭圆于P,Q两点,若点B始终在以PQ为直径的圆内,求实数k的取值范围.
【解析】（1）由题意,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 恒过椭圆的左顶点 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为点B始终在以PQ为直径的圆内,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以实数k的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
12.（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期1月模拟）已知椭圆C1: SKIPIF 1 < 0 =1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得弦的长度为4 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程.
（2）过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时,直线EN是否经过一定点?请判断并证明你的结论.
【解析】（1）设椭圆C1的半焦距为c.依题意,可得a= SKIPIF 1 < 0 ,则C2:y2=4ax,
代入x=c,得y2=4ac,即y=±2 SKIPIF 1 < 0 ,所以4 SKIPIF 1 < 0 =4 SKIPIF 1 < 0 ,
则有 SKIPIF 1 < 0 ,所以a=2,b= SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆C1的方程为 SKIPIF 1 < 0 =1,抛物线C2的方程为y2=8x.
（2）依题意,当直线l的斜率不为0时,设其方程为x=ty-4,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得(3t2+4)y2-24ty+36=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则E(x1,-y1).由Δ>0,得t2,
且y1+y2= SKIPIF 1 < 0 ,y1y2= SKIPIF 1 < 0 .
根据椭圆的对称性可知,若直线EN过定点,此定点必在x轴上,设此定点为Q(m,0).
因为kNQ=kEQ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,
即(ty1-4-m)y2+(ty2-4-m)y1=0,2ty1y2-(m+4)(y1+y2)=0,
即2t· SKIPIF 1 < 0 -(m+4)· SKIPIF 1 < 0 =0,得(3-m-4)t=(-m-1)t=0,
由t是大于2或小于-2的任意实数知m=-1,所以直线EN过定点Q(-1,0).
当直线l的斜率为0时,直线EN的方程为y=0,也经过点Q(-1,0),
所以当直线l绕点A旋转时,直线EN恒过一定点Q(-1,0).
13．（2022届河北省高三上学期省级联测）已知椭圆P焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆P相交所得的弦长为1.
（1）求椭圆P的标准方程；
（2）将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q,在椭圆Q上存在A,B,C三点,且坐标原点为 SKIPIF 1 < 0 的重心,求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】（1）根据题意, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,
解得： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意得椭圆Q的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时,设 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0
因为坐标原点为 SKIPIF 1 < 0 的重心,
所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程可得： SKIPIF 1 < 0 ,
化简得： SKIPIF 1 < 0 ,
又O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
因为原点O为 SKIPIF 1 < 0 的重心,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时,根据坐标关系得,直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上： SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2022届广东省佛山市高三上学期期末）已知双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,且过点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求C的方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 不经过P点且与C相交于A,B两点,若直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于另一点D,求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【解析】（1）因为双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则可设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
将点 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）显然直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为零,
设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,消 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
依题意得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2022届江苏省盐城市、南京市高三上学期1月模拟）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,虚轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,两准线间的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设动直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,已知 SKIPIF 1 < 0 ,设点 SKIPIF 1 < 0 到动直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ,依题意可知 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
作差得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
16．（2022届浙江省普通高中强基联盟高三上学期统测）如图,已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上动点且在第一象限,直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点.过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 为定值；
（2）证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点,并求出该定点；
（3）若记 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,证明： SKIPIF 1 < 0 为定值.
【解析】（1）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,代入消元得 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,
约去 SKIPIF 1 < 0 ,并化简得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不符合题意,舍去）；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时,设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,可解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
（3）证明：设 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 可解得 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
同理,记 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2022届湖北省新高考联考协作体高三上学期12月联考）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点, SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点, SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的一点, SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ,证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 的焦距是 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：①当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时, SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时,同理可得 SKIPIF 1 < 0 .
②当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时,设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
因为直线与圆相切,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
代入 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
综上, SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,易得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 上存在定点 SKIPIF 1 < 0 满足题意,其中 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
18．已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ）的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ,离心率 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,弦 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
【解析】 (1)由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0 ,所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
(2)设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
将点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 ,两式相减可得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为： SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .