湖南省平江县颐华高级中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省平江县颐华高级中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知向量满足，且，则， 已知曲线C， 函数在区间的图象大致为等内容，欢迎下载使用。

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
2. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
3. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】A
【解析】
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
4. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
5. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．
故选：C．
6. 已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.
【详解】因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号．
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即．
故选：D．
7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取的中点，则，
可知，
设正三棱台的为，
则，解得，
如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，
结合等腰梯形可得,
即，解得，
所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，
因为，则，
可知，则，
设正三棱锥的高为，则，解得，
取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，
所以与平面ABC所成角的正切值.
故选：B.
8. 已知函数，若关于x的方程有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出的图象，令，则，由题意结合图象可知方程有两个不相等的根，且，或，，令，则结合一元二次方程根分布情况可求得结果.
【详解】的图象如下图，
令，则，
因为关于x的方程有五个不同的实数根，
所以由函数图象可知关于的方程有两个不相等的实根，且，或，，
令，
若，则
，即，解得，
若，，则，无解，
综上，，
故选：C
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ）
A. 是数列的最小项B. 是数列的最大项
C. 是数列的最大项D. 当时，数列递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】设第项为an的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A．
【详解】设第项为an的最大项，
则，即，所以，
又，所以或，
故数列an中与均为最大项，且，
当时，数列an递减，故BCD正确，
当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且，
所以不是数列an的最小项，且数列an无最小值，故A错误.
故选：BCD
10. 点O在ΔABC所在的平面内,则以下说法正确的有
A. 若,则点O为ΔABC的重心
B. 若,则点O为ΔABC的垂心
C. 若,则点O为ΔABC的外心
D. 若,则点O为ΔABC的内心
【答案】AC
【解析】
【分析】
逐项进行分析即可.
【详解】解：选项A，设D为的中点，由于，所以为边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为ΔABC的重心；
选项B，向量分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为ΔABC的内心；
选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，于是O为ΔABC的外心；
选项D，由得，
∴，即，
∴．同理可证，
∴，，，即点O是ΔABC的垂心；
故选：AC．
【点睛】本题主要考查平面向量在三角形中的应用，考查向量的数量积，考查三角形的“五心”，属于中档题．
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
D. 存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的混合运算求出，再利用共轭复数的概念求解．
【详解】因为，
，
，
所以，
所以．
13. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】解法一：根据平面向量线性运算及数量积的定义即可求解；解法二：建立直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式即可求解．
【详解】解法一：由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值．
解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因点在线段上，设，
且为中点，则，
可得
则，且，
所以当时，取到最小值为．
故答案为：．
14. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附：其中，．）
【答案】（1）
（2）
（3）有
【解析】
【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；
（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；
（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.
【小问1详解】
由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．
【小问2详解】
估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
【小问3详解】
由题列联表如下：
提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．
其中．
．
则零假设不成立，
即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【小问1详解】
因为，即，
而，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
（1）若为线段中点，求证：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.
【小问1详解】
取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
18. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，，求的取值范围．
【答案】（1）极小值为，无极大值.
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
【小问2详解】
，
设，
则，
当时，，故在上增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上f'x<0即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在0,+∞上恒成立，
同理可得在0,+∞上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
19. 已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
（1）若，求；
（2）证明：数列是公比为的等比数列；
（3）设为的面积，证明：对任意正整数，.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.
【小问1详解】
由已知有，故方程为.
当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.
故，从而，.
【小问2详解】
由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.
展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.
从而根据韦达定理，另一根，相应的.
所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.
所以.
这就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
【小问3详解】
方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
而又有，，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明的取值是与无关的定值，所以.
方法二：由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
这就得到，
以及.
两式相减，即得.
移项得到.
故.
而，.
所以和平行，这就得到，即.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 时间范围
学业成绩
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
其他
合计
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485
合计
222
358
580