江苏省南京市秦淮区四校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份江苏省南京市秦淮区四校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了本试卷共6页等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 9的平方根等于（ ）
A. 3B. C. D.
答案：C
解析：解：9的平方根是：．
故选：C．
2. 2024年，南京中考考生约人，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：．
故选C．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：，
故选：C．
4. 已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，
∴，
解得BC：EF=1：，
∵BC=1，
∴EF=．
故选A．
5. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角==108°，
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°，
所以劣弧AC的长度为，
故选：B.

6. 如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为( )
A. B. 1C. D.
答案：D
解析：解：如图所示，建立平面直角坐标系，
依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大，
∵，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7. 若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是_____________．
答案：x≠2
解析：试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0
即：x≠2
8. 分解因式的结果是______．
答案：
解析：解：
故答案为：
9. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．
答案：1
解析：解：把x＝代入方程得，
解得m＝1．
故答案为1．
10. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________．
答案：7200
解析：解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），
故答案为7200．
11. 如图，点A、B、C、D在上，，，则_________°．
答案：
解析：解：如图，连接，
，
，
，
在中，
，
故答案为：．
12. 如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为___________．
答案：．
解析：试题分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．
试题解析：设点A坐标（x，），
∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，
∴D（x，），
∴过点D的反比例函数的解析式为y=．
∴k的值为．
13. 在二次函数中，与的部分对应值如下表：
则下列结论：
①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是____．
答案：①③⑤
解析：解：由图表可以得出当或时，，时，，
解得：
，
，
图象经过原点，故①正确；
＞，
抛物线开口向上，故②错误；
把代入得，，
图象经过点（），故③正确；
抛物线的对称轴是，
＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小，故④错误；
抛物线与轴有两个交点（）、（）
有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
14. 如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为____．
答案：##
解析：解：如图所示，过点作交的延长线于点，
在中，，，，
，，，，
，
在中，，
沿折叠得到，当点恰好落在上，
，
又，
，
，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，是边上一点，若，则的长为__．
答案：
解析：解：设，
在中，，则，
过作，如图所示：
，，
，则，
设，
在中， ，即，解得，则，
，则，解得，
在中，，即，
即，
解得，
则（负值舍去），
，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为__．
答案：
解析：解：连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，
∵，点P是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小．
∴在中，，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程．
答案：
18. 解不等式组并写出不等式组的整数解．
答案：不等式组的解集，整数解为3．
解析：解：
解不等式①，，
．
解不等式②，，
．
原不等式组的解集为．
不等式组的整数解为：3．
19. 如图，、是的两条弦，与相交于点E，．
（1）求证：；
（2）连接 作直线求证：．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
小问1解析：
证明：∵，
∴
∴，
即．
∴．
小问2解析：
证明：连接
∵
∴
∴
∴
∵
∴E、O都在的垂直平分线上．
∴
20. 某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210 km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
（1）阳阳已经对B、C型号汽车数据统计如下表，请在下表中填写A型号汽车的平均里程、中位数、众数．
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
答案：（1）200，200，205；
（2）选择B型号汽车．理由见解析．
小问1解析：
解：A型号汽车的平均里程为：
，
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，第11个数据均为，
∴中位数为：，
出现了六次，
∴众数为．
小问2解析：
解：选择B型号汽车，理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；
B、C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
21. 现有一组数：，，0，3，求下列事件的概率：
（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；
（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．
答案：（1）；
（2）．
小问1解析：
解；∵一共有四个数，其中无理数只有，且每个数被选择的概率相同，
∴从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率为；
小问2解析：
解：设，，0，3这四个数分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中随机选择两个不同的数，均比0大的结果数有2种（，），
∴从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率为．
22. 今年元宵节期间，20余万名游客欢聚南京夫子庙观灯，景区内某知名小吃店计划购买甲、乙两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买甲种食材和乙种食材共需49元，购买甲种和乙种食材共需53元．
（1）求甲、乙两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共，其中甲种食材的质量不少于乙种食材的3倍，当甲，乙两种食材分别购买多少时，总费用最少？并求出最小总费用．
答案：（1）甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．
（2）甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．
小问1解析：
设甲种食材单价x元/千克，乙种食材单价y元/千克，由题意可得：
解得
答：甲种食材单价19元/千克，乙种食材单价15元/千克．
小问2解析：
设甲种食材购买m千克，则乙种食材购买千克，总费用为w元．
由题意得：．
∴ w随m的增大而增大．
又，
∴．
∴ 当时，w有最小值为（元）．
答：甲种食材36千克，乙种食材12千克，总费用最少，为864元．
23. 如图，为了测量大楼的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼的高度．参考数据：，．
答案：大楼的高度为．
解析：解：延长交于点，过点作，垂足为．设为．
在中，，
．
在中，．
．
在中，，
．
在中，．
，即．
，解得．

答：大楼的高度为．
24. 在中，，、分别是、的点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
小问1解析：
)证明： ，
．
，，
．
．
小问2解析：
，
，即．
设，，则．
．
，即．
25. 如图，在四边形中，，E是边上一点，连接，，作的外接圆交于点F，与相切于点A．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，求证：；
（3）若，，，则的半径为 ．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）．
小问1解析：
证明：连接，并延长交于点G，连接如图，
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∵是的切线，
∴
∴
又
∴四边形是平行四边形；
小问2解析：
证明，由（1）知，四边形是平行四边形，
∴
又
在四边形中，
∴
∵
∴
∴
即
∵
∴
∴
又
∴
∴；
小问3解析：
解：设与交于点,
由（1）知，垂直平分
由（2）知
∴
∴
∵，，
∴
∴
又
∴在中，
∴
∴，
设的半径为，连接,则
∴
又，
在中，
∴，
解得，
故答案为：
26. 已知二次函数．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；
（2）是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明；
（3）当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）或或
小问1解析：
解：∵当时，；当时，，
∴不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点；
小问2解析：
方法一、∵是该函数图像上的两个点，
∴，，
∴
，
∵，
∴，即；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述：
小问3解析：
解：∵当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，
∴时，y随x的增大而增大，符合题意；
当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴或
27. 将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．
如图，在中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题．
特殊化
（1）当点与点重合时，
①在图中，画出此特殊情形的图；
②此情形下，点与点 重合，此时与满足的数量关系为 ．
（2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
一般化
（3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．
答案：（1）①图见解析；②；
（2）作图见解析
（3）成立，理由见解析
解析：解：（1）①如图所示：
②当点与点重合时，点与点重合，此时与满足的数量关系为．
故答案为：；；
（2）如图所示：
（3）（3）成立．
证明如下：取AB中点G，连接BG，过点D作DH⊥AB，垂足为H．
∵ D、G分别是BC、AB中点，
∴ DGAC，DG＝AC，
∴ ∠GDE＝∠DEC＝45°．
∵ DH⊥AB，∠BAD＝45°，
∴ △AHD是等腰直角三角形．
∴ ∠HDA＝45°，AD＝HD．
∴ ∠HDG＋∠GDA＝∠ODF＋∠GDA＝45°．
∴ ∠HDG＝∠ODF ．
又 ∠DHG＝∠DOF＝90°，
∴ △HDG∽△ODF．
又 O是AD的中点，
∴＝·＝．
∴＝＝，即FD＝DG．
∴ FD＝·AC＝AC，即AC＝FD．
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
102
98
80
93
127
型号
平均里程
中位数
众数
A
B
216
215
220
C
225