高中数学人教版第一册下册第四章 三角函数两角和与差的正弦、余弦、正切第2课时教学设计

这是一份高中数学人教版第一册下册第四章 三角函数两角和与差的正弦、余弦、正切第2课时教学设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导，并进行简单的化简求值
2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的变形推导，及相关的应用
二、教学重难点
1.两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用
2.两角和与差的正弦、正切公式的应用
三、教学过程
1.正弦公式正切公式的形成
问题1：两角和与差的正弦
根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：
Sα＋β：sin(α＋β)＝
Sα－β：sin(α－β)＝
【预设的答案】证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：

=
而且：

=
例如,
=
=
【预设的答案】
例如,
【对点快练】
1．sin 75°＝____________.
2．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝____________.
【预设的答案】1.2+√64 2.−7210
【设计意图】两角和与差的正弦公式是可以由余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。
2.具体感知，理性分析
例1.(1)sin 21°cs 39°＋cs 21°sin 39°等于( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2) D．1
(2)已知eq \f(π,4)＜α＜eq \f(3π,4)，0＜β＜eq \f(π,4)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π＋β))＝eq \f(5,13)，求sin(α＋β)的值．
【预设的答案】1.C 2.6365
【变式练习】
已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))且sin(α＋β)＝eq \f(33,65)，cs β＝－eq \f(5,13)，求sin α.
【预设的答案】35
【设计意图】两角和与差的正弦公式的基本应用，字母转换为数据。
例2.已知向量，如图所示，将向量绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，求点的坐标。
【预设的答案】(−√22,7√22)
例3.求证：
例4.在求函数的最小值时，下面的说法正确吗？
“因为的最小值为-1，的最小值为-1，所以的最小值为-2“
如果不对，指出原因，并求的周期，最小值和最小值点.
【预设的答案】由此可知函数的周期为，最小值为，而最小值点满足，
因此最小值点为.
3.辅助角公式的形成
由例4可以看出，当都是不为零的常数时，为了求出函数
的周期、最值等，关键是要将函数化为的形式，也就是说，要找到合适的和，使得 = 1 \* GB3 ① 恒成立。
如果 = 1 \* GB3 ①式恒成立，则将 = 1 \* GB3 ①式的右边用展开可得

因此，从而可知
，
因此，如果取 则有
（2）
由（2）式和任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为的点为P，而是以射线OP为终边的角，如图所示，则一定满足（2）式。
这就是说，满足（1）式的和一定存在，因此
，其中满足（2）式。
【设计意图】辅助角公式的推导证明。
例5.已知函数，求的周期，最小值及最小值点。
【预设的答案】解：因为 所以


由此可知函数的周期为，最小值为，
而且最小值点满足，因此最小值点为。
【变式练习1】
将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：
(1)eq \r(3)sin x－cs x；
(2)eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
【预设的答案】解 (1)eq \r(3)sin x－cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,6)sin x－sin\f(π,6)cs x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))).
(2)eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\f(π,6)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋cs\f(π,6)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x－\f(π,6)))
＝eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－x))＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,12))).
【变式练习2】
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的值为( )
A．－eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)
【预设的答案】B
【设计意图】辅助角公式的应用。
4.正切公式的形成
问题2：两角和与差的正切
一般地，可以证明如下地两角和与差地正切公式：
其中的取值应使各项有意义。
事实上，因为
==
==
【对点快练】
1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
2．tan 75°＝____________.
【预设的答案】（1）A （2）2+√3
【设计意图】两角和与差的正切公式是可以由正弦与余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。
例6.求下列各式的值。
（1） ； （2） ； （3）
【预设的答案】
解：（1）
（2）
（3）因为，所以
【变式练习1】
已知sin α＝eq \f(1,2)，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－eq \r(3)，则tan β的值为( )
A．－eq \r(3) B．eq \r(3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(3),3)
【变式练习2】
若α＋β＝eq \f(3π,4)，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【预设的答案】C；C
【设计意图】两角和与差的正切公式的基本应用，字母转换为数据。

5.综合应用
例7. 已知函数f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x.
(1)求f(x)的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【预设的答案】解 f(x)＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
(1)当2x＋eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，函数取到最大值是2，此时x＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
所以x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
所以函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))k∈Z.
【变式练习1】 本例中，若加条件“x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))”，再求函数f(x)的最小值．
【变式练习2】函数f(x)＝sin x－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的值域为( )
A．[－2,2] B．[－eq \r(3)，eq \r(3) ]
C．[－1,1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))
【预设的答案】（1）-1 （2）B −√3，√3