江苏省南通市泰州市2023届高三数学一调试卷

这是一份江苏省南通市泰州市2023届高三数学一调试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

设集合A={-1,0,1}，B={x|lg(x+2)>0}，则A∩B=( )
A. {-1,0,1}B. {0,1}C. {1}D. (-1,+∞)
已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数，则z=( )
A. 2B. -2C. 2iD. -2i
已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次．若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是( )
A. 2月25日B. 2月26日C. 2月27日D. 2月28日
把函数y=sin(2x+π3)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象；再将f(x)图象上所有点向右平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. -sin4xB. sinxC. sin(x+2π3)D. sin(4x+5π3)
某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：(1)每位学生每天最多选择1项；(2)每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有( )
A. 6种B. 7种C. 12种D. 14种
(x3-2y)(x2+yx)6的展开式中，x6y3的系数为( )
A. -10B. 5C. 35D. 50
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为157的直线l与C在x轴上方的交点为A.若|AF1|=|F1F2|，则C的离心率是( )
A. 23B. 22C. 32D. 53
已知α，β均为锐角，且a+β-π2>sinβ-csα，则( )
A. sinα>sinβB. csα>csβC. csα>sinβD. sinα>csβ
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列函数中最小值为6的是( )
A. y=lnx+9lnxB. y=6|sinx|+32|sinx|
C. y=3x+32-xD. y=x2+25x2+16
已知直线l与平面α相交于点P，则( )
A. α内不存在直线与l平行B. α内有无数条直线与l垂直
C. α内所有直线与l是异面直线D. 至少存在一个过l且与α垂直的平面
为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统．规定：某区域内的m个点Pi(xi,yi,zi)的深度zi的均值为μ=1mi=1mzi，标准偏差为σ=1mi=1m(zi-μ)2，深度zi∉[μ-3σ,μ+3σ]的点视为孤立点．则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是( )
A. μ=15B. σ=292C. P1是孤立点D. P2不是孤立点
定义：在区间I上，若函数y=f(x)是减函数，且y=xf(x)是增函数，则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得( )
A. f(x)=1x在(0,+∞)上是“弱减函数”
B. f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”
C. 若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱减函数”，则m≥e
D. 若f(x)=csx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”，则23π≤k≤1π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
过点P(1,1)作圆C：x²+y²=2的切线交坐标轴于点A，B，则PA⋅PB= ．
已知tanα，tanβ是方程3x2+5x-7=0的两根，则sin(α+β)cs(α-β)= ．
写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数f(x)= ．
①f(x)为奇函数；
②f(x)存在3个不同的零点；
③f(x)在(1,+∞)上是增函数．
在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=∠CBA=π3，O为AB的中点．将△BOC沿OC折起，使点B到达点B'的位置，则三棱锥B'-ADC外接球的表面积为 ；当B'D=32时，三棱锥B'-ADC外接球的球心到平面B'CD的距离为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题10.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=7，b=8.从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断△ABC是否为钝角三角形，并说明理由．
①csC=1314；②csB=17．
(本小题12.0分)
设Sn是等比数列{an}的前n项和，a1=1，且S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求使Sn≤3an成立的n的最大值．
(本小题12.0分)
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC，AD⊥AB，AA1=AD=2BC=2，AB=2.点E在棱A1D1上，平面BC1E与棱AA1交于点F．
(1)求证：BD⊥C1F；
(2)若BE与平面ABCD所成角的正弦值为45，试确定点F的位置．
(本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，四点M1(4,23)，M2(3,2)，M3(-2,-33)，M4(2,33)中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(3,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x=1的垂线，垂足为A.证明：直线AQ过定点．
(本小题12.0分)
对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分．要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次．设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止．假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立．
(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；
(2)求击落飞机的命中次数X的分布列和数学期望．
(本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax+lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x ​1)=f(x 2)=2(x ​1≠x ​2)，证明：a ​21.【答案】B
【解析】
【分析】
先由对数函数的性质求出集合B，再利用集合间的交集运算求解即可．
本题主要考查了集合间的基本运算，属于基础题．
【解答】
解：由lg(x+2)>0，可得x+2>1，∴x>-1，
∴B={x|x>-1}，
∴A∩B={0,1}，
故选B．

2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查复数纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题．
根据已知条件，结合复数纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【解答】
解：设z=bi(b≠0)，
∵(z+2)2+8i=(bi+2)2+8i=4-b2+(4b+8)i为纯虚数，
∴4-b2=04b+8≠0，解得b=2，
∴z=2i．
故选C．

3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查最小公倍数在解决合情推理中的应用，考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力，属基础题．
先根据题意可得甲每2天去一次，乙每3天去一次，丙每4天去一次，然后根据最小公倍数的知识可得甲、乙、丙三人下次一起去要到12天后，从而可得最终答案．
【解答】
解：由题意，可知甲每2天去一次，
乙每3天去一次，丙每4天去一次，
由最小公倍数可知，甲、乙、丙三人下次一起去要到12天后，
∴下一次三人都去锻炼的日期是2月26日．
故选B．

4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
【解答】
解：把函数y=sin(2x+π3)图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)=sin(x+π3)的图象；
再将f(x)图象上所有点向右平移π3个单位，得到函数g(x)=sinx的图象，
故选B．

5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分类加法计数原理的应用，属基础题．
利用分类加法计数原理可得不同的选课方案数．
【解答】
解：由表可知周一至周四都可选阅读，周一、周三和周四可选体育，周一、周二和周四可选编程．
故可分4类：当周一选阅读，若周三选体育，编程有2种方法，若体育选周四，编程有1种方法，共3种选法;
当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种方法，若编程选周四，体育有2种方法，共4种选法;
当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种方法，若体育选周四，编程有2种方法，共4种选法;
当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种方法，若体育选周三，编程有2种方法，共3种选法;
再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有3+4+4+3=14种．
故选D．

6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理中求指定项的系数，属于基础题．
利用展开式的通项公式即可求解．
【解答】
解：∵(x2+yx)6的展开式第r+1项为C6r(x2)6-r(yx)r=C6rx12-3ryr，
∴(x3-2y)(x2+yx)6的展开式第r+1项为Tr+1=C6rx15-3ryr-2C6rx12-3ryr+1，
当15-3r=6时，即r=3，T4=C63x6y3-2C63x3y4=20x6y3-40x3y4 ，
当12-3r=6时，即r=2，T3=C62x9y2-2C62x6y3=15x9y2-30x6y3，
∴(x3-2y)(x2+yx)6的展开式中x6y3的系数为20-30=-10，
故选A．

7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识，属于中等题．
结合条件及余弦定理可得|AF2|=c，然后利用椭圆的定义即求．
【解答】
解：设∠AF1F2=α0<α<π2，则tanα=157，csα=78，
又|AF1|=|F1F2|=2c，
在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF2|2=4c2+4c2-2⋅2c⋅2c⋅78=c2，
∴|AF2|=c，
∴2a=|AF1|+|AF2|=3c，
∴e=ca=23，
故选A．

8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，诱导公式及三角函数的单调性，构造函数，属中档题．
先构造函数f(x)=x+csx，x∈(0,π2)，利用导数研究其单调性，再结合三角函数的单调性求解即可．
【解答】
解：由a+β-π2>sinβ-csα，
则α+csα>π2-β+cs(π2-β)，
令f(x)=x+csx，x∈(0,π2)，
则f'(x)=1-sinx>0，
即f(x)在(0,π2)上为增函数，
又α，β均为锐角，则π2-β也为锐角，
则α>π2-β，
即sinα>sin(π2-β)=csβ，csα所以选项D正确．
故选D．

9.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题主要考查函数最值的求法，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
结合基本不等式的一正、二定、三相等的条件分别检验各选项即可判断．
【解答】
解：对于A，当0对于B，y=6|sinx|+32|sinx|≥26|sinx|⋅32|sinx|=6，当且仅当6|sinx|=32|sinx|，即|sinx|=12时等号成立，故B符合题意；
对于C，y=3x+32-x≥23x⋅32-x=6，当且仅当3x=32-x，即x=1时等号成立，故C符合题意；
对于D，y=x2+25x2+16=x2+16+9x2+16≥2x2+16·9x2+16=6，当且仅当x2+16=9x2+16时等号成立，
解方程x2+16=9x2+16，得x2=-7，无解，故y=x2+25x2+16>6，故D不符合题意．
故选BC．

10.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中直线与平面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．
利用空间中直线与平面的位置关系直接求解．
【解答】
解：直线l与平面α相交于点P，
对于A，由直线与平面相交的性质，得α内不存在直线与l平行，故A正确；
对于B，由直线与平面相交的性质，得α内有无数条直线与l垂直，故B正确；
对于C，α内直线与l是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D，当直线l与平面α垂直时，易知有无数个过l且与α垂直的平面，
当直线l与平面α不垂直时，在直线l上找点A，过点A做平面α的垂线垂足为点B，此时直线l与直线AB相交确定一个平面且与平面α垂直，所以至少存在一个过l且与α垂直的平面，故D正确．
故选ABD．

11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了平均数与标准差的计算问题，也考查了数据分析与应用能力，属于基础题．
计算zi的均值和标准偏差，再求μ-3σ和μ+3σ的值即可．
【解答】
解：深度zi的均值为μ=18i=18zi=18×(20+12+13+15+16+14+12+18)=15，所以选项A正确；
标准偏差为σ=1mi=1m(zi-μ)2=18[52+(-3)2+...+32]=292≈2.7，所以选项B正确；
因为μ-3σ=15-8.1=6.9，μ+3σ=15+8.1=23.1，
20∈[μ-3σ,μ+3σ]，12∈[μ-3σ,μ+3σ]，
所以P1、P2都不是孤立点，选项C错误、D正确．
故选ABD．

12.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查了由导数确定函数的单调性以及已知单调性求参数范围的问题，考查新定义问题，属于中档题．
利用“弱减函数”的概念逐项分析即得．
【解答】
解：对于A，y=1x在(0,+∞)上单调递减，y=xf(x)=1不单调，故A错误；
对于B，f(x)=xex,f'(x)=1-xex在(1,2)上f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
y=xf(x)=x2ex,y'=2x-x2ex=x(2-x)ex>0，
∴y=xf(x)在(1,2)单调递增，故B正确；
对于C，若f(x)=lnxx在(m,+∞)单调递减，由f'(x)=1-lnxx2=0，得x=e，
当f'x<0，x>e，f(x)在(e,+∞)上单调递减，
∴m≥e，又∵y=xf(x)=lnx在(0,+∞)单调递增，∴m≥e满足，故C正确；
对于D，f(x)=csx+kx2在(0,π2)上单调递减，
f'(x)=-sinx+2kx≤0在x∈(0,π2)上恒成立⇒2k≤(sinxx)min，
令h(x)=sinxx,h'(x)=xcsx-sinxx2，
令φ(x)=xcsx-sinx，
φ'(x)=csx-xsinx-csx=-xsinx<0，
∴φ(x)在(0,π2)上单调递减，φ(x)<φ(0)=0，
∴h'x<0，
∴h(x)在(0,π2)上单调递减，h(x)>h(π2)=2π，
∴2k≤2π⇒k≤1π，
g(x)=xf(x)=xcsx+kx3在(0,π2)上单调递增，
g'x=csx-xsinx+3kx2≥0在x∈(0,π2)上恒成立，
∴3k≥(xsinx-csxx2)max，
令F(x)=xsinx-csxx2,F'(x)=x2csx+2csxx3>0，
∴F(x)在(0,π2)上单调递增，F(x)∴3k≥2π⇒k≥23π，
综上：23π≤k≤1π，故D正确．
故选BCD．

13.【答案】-2
【解析】
【分析】
本题综合考查了平面向量的运算，直线与圆的位置有关系，属于基础题．
由题意可知C(0,0)，P(1,1)，切线AB的方程为x+y=2，从而求出A、B两点的坐标，再利用坐标运算及数量积．
【解答】
解：由题意知，C(0,0)，P(1,1)，
点P在圆C：x²+y²=2上，
且kCP=1，
故切线AB的方程为y-1=-1⋅(x-1)，
即x+y=2，
故A、B两点分别为(0,2)，(2,0)，
故PA=(-1,1)，PB=(1,-1)，
故PA⋅PB=-1-1=-2，
故答案为：-2．

14.【答案】54
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系、两角和与差的正弦余弦公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．
利用根与系数的关系、两角和与差的正弦余弦公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】
解：∵tanα，tanβ是方程3x2+5x-7=0的两根，
∴tanα+tanβ=-53，tanα⋅tanβ=-73．
∴sin(α+β)cs(α-β)=sinαcsβ+csαsinβcsαcsβ+sinαsinβ=tanα+tanβ1+tanαtanβ=-531-73=54．
故答案为：54．

15.【答案】x3-3x(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
根据题意，利用三次函数的性质分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，三次函数f(x)，若f(x)为奇函数，则f(x)的二次项和常数项都为0，
f(x)存在3个不同的零点，即f(x)=0有3个根，
f(x)在(1,+∞)上是增函数，其导数f'(x)>0在(1,+∞)上恒成立，
则要求函数可以为f(x)=x3-3x，
故答案为：x3-3x(答案不唯一)．

16.【答案】42
31313

【解析】
【分析】
本题考查三棱锥外接球表面积、外接球球心到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由题可得三棱锥B'-ADC外接球的球心为O，利用球的表面积公式即求，然后利用等积法可求O到平面B'CD的距离．
【解答】
解：∵等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=∠CBA=π3，O为AB的中点，
∴△BOC，△ADO，△DOC为等边三角形，OA=OB=OC=OD=1，
∴三棱锥B'-ADC处接球的球心为O，半径为1，
∴S=4π×1=4π，
连接BD与OC交于M，则OC⊥MD，OC⊥MB，OC⊥MB'，
∴∠B'MD是二面角B'-OC-D的平面角，
∵BM=DM=B'D=32，∴∠B'MD=π3，
∴B'到平面COD的距离为h'=32sinπ3=34，
在△B'CD中，B'C=1，B'D=32，CD=1，S△B'CD=12×1-(34)2×32=3916，
设球心O到平面B'CD的距离为h，
由VO-B'CD=VB'-COD，得13S△B'CD⋅h=13S△COD⋅h'，
∴13×3916×h=13×34×34，解得h=31313，
∴三棱锥B'-ADC外接球的球心到平面B'CD的距离为31313．
故答案为：42；31313．

17.【答案】解：选择①csC=1314，
由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcsC=49+64-2×7×8×1314=9，
所以c=3，
因为b>a>c，所以最大的角是B，
而csB=a2+c2-b22ac=49+9-642×7×3<0，
因为0故△ABC是钝角三角形．
选择②csB=17，
由余弦定理知，b2=a2+c2-2accsB，
所以64=49+c2-2×7×c×17，化简得c2-2c-15=0，
解得c=5或-3(舍负)，
因为b>a>c，所以最大的角是B，而csB=17>0，
因为0故△ABC不是钝角三角形．
【解析】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理和三角形形状的判断方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
选择①：先利用余弦定理，求出c的值，由“大边对大角”可知最大的角是B，再由余弦定理计算csB<0，从而进行判断；
选择②：先利用余弦定理，求出c的值，由“大边对大角”可知最大的角是B，而csB>0，从而进行判断．
18.【答案】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由a1=1，且S1，S3，S2成等差数列，可得2S3=S1+S2，
即2(a1+a2+a3)=a1+a1+a2，所以a3=-12a2，
所以公比q=a3a2=-12，
所以an=(-12)n-1；
(2)Sn=a1(1-qn)1-q=1-(-12)n1-(-12)=23[1-(-12)n]，
Sn≤3an，即23[1-(-12)n]≤3×(-12)n-1，
所以(-12)n≤-18，
显然n为奇数，解得n=1或3，
则n的最大值为3．
【解析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及等差中项的定义，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．
(1)设等比数列{an}的公比为q，由等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到通项公式；
(2)由等比数列的求和公式和指数不等式的解法，可得使Sn≤3an成立的n的最大值．
19.【答案】解：(1)证明：在直四棱柱中ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，连接AC，
∵tan∠ADB=ABAD=22，tan∠CAB=CBAB=22，
∴∠ADB=∠CAB，∴AC⊥BD，
∵AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC=A，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵C1F⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥C1F.
(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，C1(2,1,2)，
设E(0,y,2)，y>0，
平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)，BE=(-2,y,2)，
则45=|cs|=2y2+6，解得y=12，
则E(0,12,2)，BE=(-2,12,2)，C1E=(-2,-12,0)，
设F(0,0,z)，C1F=(-2,-1,z-2)，
则(-2,-1,z-2)=m(-2,12,2)+n(-2,-12,0)，
∴12m-12n=-1-2m-2n=-2，解得m=-12，n=32，z=1，
∴F(0,0,1)，∴F为棱AA1的中点．
【解析】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)利用条件可征AC⊥BD，进而利用线面垂直的判断定理可得BD⊥平面ACC1A1，由此能证明BD⊥C1F；
(2)利用线面角的向量求法可得E(0,12,2)，然后利用向量共面的向量表示能确定点F的位置．
20.【答案】解：(1)由题意可知点M3，M4两点关于原点对称，所以M3，M4一定在双曲线上，
而M1(4,23)，因为4>2，但23<33，所以点M1不在双曲线上，
所以点M2，M3，M4在双曲线上，则4 a2-13b2=19a2-2b2=1，解得a2=3，b2=1，
所以双曲线方程为x23-y2=1；
(2)证明：当直线斜率为0时，直线AQ为x轴，
当直线斜率不为0时，设直线PQ的方程为x=my+3，
代入双曲线方程可得：(m2-3)y2+6my+6=0，
m2≠3，y1+y2=6m3-m2，y1y2=6m2-3，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则A(1,y1)，
所以直线AQ的方程为：y-y1=y1-y21-x2(x-1)，即y-y1=y1-y2-2-my2(x-1)，
令y=0，则x=2y1+my1y2y1-y2+1=3y1-y2+my1y2y1-y2，
因为y1+y2=6m3-m2，y1y2=6m2-3，
所以my1y2=6mm2-3=-(y1+y2)，
所以x=3y1-y2-(y1+y2)y1-y2=2(y1-y2)y1-y2=2，
综上，直线AQ过定点(2,0)．
【解析】本题考查了双曲线的方程以及直线与双曲线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
(1)由题意可知点M3，M4两点关于原点对称，所以M3，M4一定在双曲线上，而M1(4,23)，因为4>2，但23<33，所以点M1不在双曲线上，然后把剩下的三点坐标代入双曲线方程，联立即可求解；
(2)当直线斜率为0时，直线AQ为x轴，当直线斜率不为0时，设出直线PQ的方程为x=my+3，并与双曲线方程联立，求出直线AQ的方程，令y=0，求出x，利用根与系数之间的关系化简即可证明．
21.【答案】解：(1)设恰好第二次射击后击落飞机为事件A是第一次末击中Ⅰ部分，在第二次击中Ⅰ部分的事件与两次都击中Ⅱ部分的事件的和，它们互斥，
所以P(A)=56×16+(13)2=14；
(2)依题意，X的可能取值为1，2，3，4，
X=1的事件是射击一次击中Ⅰ部分的事件，P(X=1)=16，
由(1)知，P(X=2)=14，
X=3的事件是前两次射击击中Ⅱ部分、Ⅲ部分各一次，第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅱ部分的事件，与前两次射击击中Ⅲ部分，第三次射击击中Ⅰ部分或Ⅲ部分的事件的和，它们互斥，P(X=3)=C21×13×12×(16+13)+(12)2×(16+12)=13，
X=4的事件是前三次射击击中Ⅱ部分一次，Ⅲ部分两次，第四次射击的事件，P(X=4)=C31×13×(12)2×1=14，
所以X的分布列为：
X的数学期望E(X)=1×16+2×14+3×13+4×14=83．
【解析】本题考查利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键，属于中档题．
(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件概率公式计算作答．
(2)求出X的可能值，并求出每个取值的概率，列出分布列并求出期望作答．
22.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=-ax2+1x=x-ax2．
①a≤0时，f'(x)>0；
②a>0时，由f'(x)>0，得x>a；
由f'(x)<0，得0所以当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．
(2)由(1)，可知a>0，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，
不妨设0先证x1x2>a2．
设F(x)=f(x)-f(a2x)(0则F'(x)=f'(x)+a2x2f'(a2x)=-(x-a)2ax2<0，
所以F(x)在(0,a)上单调递减．
因为0F(a)=0，
所以f(a2x1)又a2x1，x2∈(a,+∞)，
由(1)得a2x1a2，得证．
再证x1x2由(1)知，a是f(x)唯一极小值点，
所以f(x)min=f(a)=lna+1．
因为f(x1)=f(x2)=2，所以lna+1<2，即0所以x1要证x1x2x2，
又aex1，x2>a，f(x)在(a,+∞)上单调递增，
所以只要证f(aex1)>f(x2)=2，即证x1e+lnax1-1>0．
因为ax1+lnx1=2，所以ax1=2-lnx1，
所以lnax1=ln(2-lnx1)，
所以即证x1e+ln(2-lnx1)-1>0．
设g(x)=xe+ln(2-lnx)-1(0则g'(x)=1e+1x(lnx-2)⋅
设h(x)=x(lnx-2)(0则h'(x)=lnx-1<0，
所以h(x)在(0,e)上单调递减，
所以-e=h(e)所以g'(x)=1e+1h(x)<1e-1e=0，
所以g(x)在(0,e)上单调递减，
所以g(x)>g(e)=0，即xe+ln(2-lnx)-1>0，
所以x1e+ln(2-lnx1)-1>0，得证．
所以a2【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性及单调性的应用。属于较难题．
(1)求得f'(x)=x-ax2，对a分类讨论：a≤0及a>0，结合导数的正负，即可判断函数的单调性;
(2)设0a2，构造函数F(x)=f(x)-f(a2x)(0x2，结合f(x)的单调性，转化为证x1e+ln(2-lnx1)-1>0，设g(x)=xe+ln(2-lnx)-1(0时间
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Pi
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
xi
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.4
15.4
13.4
yi
15.1
14.2
14.3
14.4
14.5
15.4
14.4
15.4
zi
20
12
13
15
16
14
12
18
X
1
2
3
4
P
16
14
13
14