河北省邢台市2022_2023学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份河北省邢台市2022_2023学年高一数学上学期期末试题含解析，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的性质求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B，即可求解.
【详解】由得解得或，，
所以或，
又由解得，所以，
所以，
故选：B.
2. “”是“角是第一象限角”的（）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据角所在的象限的正负结合充分不必要条件的定义即可判断结论.
【详解】由同角三角函数的关系，角是第一象限角或第二象限角，故“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件.
故选：C
3. 如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得，然后根据扇形的面积公式可得答案.
【详解】设，则，所以，
所以，
故选：D
4. 已知函数（且）的图像过定点，且角的终边过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】解：由题意
在中，且，
当时，，
∴过定点，
∵角的终边过点
∴由三角函数的定义可得，
，
，
∴，
故选：A
5. 若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.
【详解】∵函数与的图象关于直线对称，
∴函数是的反函数，则，
∴，
由，解得，
所以的定义域为，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递减，
∴的单调减区间为.
故选：D.
6. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的形式构建新函数，利用其单调性可判断，的大小关系.
【详解】设，
因为为上的增函数，而为上的减函数，
故为上的增函数，
而即为，
故，故，故B正确，AC错误.
因为，可能为负数，故D错误.
故选：B.
7. 某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是（）（参考数据：，）
A. 第5代种子B. 第6代种子
C. 第7代种子D. 第8代种子
【答案】B
【解析】
【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.
【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得.
因为，
故种子数量首次不少于10万粒的是第6代种子.
故选：B.
8. 已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果.
【详解】由题意作函数与的图象，
∵方程有四个不同的解且，
∴关于对称，即，
当得或，则，
由题知，，故，
所以，
故，
因为，
设，则由对勾函数的性质可知，
在单调递增，所以，
的取值范围是
故选：B.
二、多项选择题（本题共4小题，满分20分，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 若，且，在下列不等式一定成立的是（）
AB.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，且，即，故C正确；
对于D，令，满足，但是，故D错误.
故选:AC
10. 关于函数，描述正确的是（）
A. 的定义域为B. 有2个零点
C. 在定义域上是奇函数D. 在上是增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出的定义域可判断A，求出的零点可判断B，判断出的奇偶性可判断C，当时，然后可得其单调性，即可判断D.
【详解】要使函数有意义，则有，解得且，
所以的定义域为，故A错误；
由可得，故B正确；
因为，，
所以在定义域上是奇函数，故C正确；
当时，其为增函数，故D正确；
故选：BCD
11. 已知正数，满足，若恒成立，则实数的值可能是（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式求出的最小值为4，由于不等式的恒成立关系可得，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，
当且仅当，即时取得等号，
因为恒成立，所以，
解得，
故选:BCD.
12. 已知函数，则下列结论错误的是（）
A. 是周期函数B. 是奇函数
C. 的图像关于直线对称D. 在处取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，验证是否相等即可；
对于B，验证对于任意，是否与相等即可；
对于C，验证是否相等即可；
对于D，验证是否等于1即可.
【详解】对于函数，其周期为，函数，其周期为，则若是周期函数，其周期为，
但，则不是周期函数，故可选A；
对于B，当，
，又，则是奇函数，故不选B；
对于C，的图像关于直线对称，则，但
，则的图像不关于直线对称，故可选C；
对于D，由题可得，又，，故可选D.
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 若函数定义域为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，即可得到实数的取值范围.
【详解】解：由题意，
在中，定义域为，
当时，，符合题意；
当时，
，
解得：，
综上，.
故答案为：.
14. 函数（且）的图像过定点，且点在幂函数的图像上，则______.
【答案】
【解析】
【分析】计算出点的坐标，设出函数的表达式，将点的坐标代入表达式，即可求出，即可求出，进而求出的值.
【详解】解：由题意
在中，且
当，即时，
，
∴函数的图像过定点.
设幂函数，由于点在幂函数的图像上，
则，解得，
∴，
∴，.
故答案为：.
15. 化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据，结合两角和的正切公式化简即可
【详解】因为，
故，
所以
故答案为：.
16. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据求出半径，由求出，再结合时，函数值恰好在对应点纵坐标，求出，得到函数解析式，由，得到，结合最大值的个数列出不等式，求出的取值范围.
【详解】根据点可得圆周的半径，
又旋转一周用时6秒，所以周期，
因为，从而得，
∴，又时，函数值恰好在对应点纵坐标，
∴，且，
∴，
∴，
，则，
根据三角函数的性质，在内恰有3个最大值时，
，解得.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，满分70分）
17. 已知，.求：①；②；③.
【答案】①；②；③.
【解析】
【分析】
①根据交集的概念运算可得结果；
②根据并集的概念运算可得结果；
③根据可求得结果.
【详解】①；
②
③.
【点睛】关键点点睛：根据交集、并集与补集的概念运算求解是解题关键.
18.
（1）计算：.
（2）计算：已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数对数的运算性质即可求解.
（2）根据已知条件及三角函数的齐次式，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
由可得,即，
.
19. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）若对任意，，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）奇函数（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，列出不等式即可得到结果；
（2）根据条件，结合函数奇偶性的定义即可得到结果；
（3）根据条件，结合换元法，以及函数的单调，转化为最值问题，即可得到结果.
【小问1详解】
∵，∴，解得，∴的定义域为.
【小问2详解】
∵定义域关于原点对称，且，∴函数为奇函数.
【小问3详解】
设，，∵在上单调递增，在上单调递增，
∴由复合函数的单调性知，在上单调递增，∴在上单调递增，
∴在上的最大值为.
要使对任意，恒成立，只需，即，
恒成立.令，则，解得或，
故实数取值范围是.
20. 已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递减区间.
（2）已知函数，则的图像可由函数的图像经过怎样的变换得到?叙述变换的具体过程.
（3）求在区间上的取值范围.
【答案】（1），，
（2）答案见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据图象得到，，求出，再代入特殊点坐标，求出，从而求出函数解析式，并求出单调递减区间；
（2）先利用三角恒等变换得到，从而根据伸缩变换和平移变换的特征，得到变换的具体过程；
（3）整体法结合函数图象，求解函数的值域.
【小问1详解】
由图可知，的最小正周期，所以，
则.
的图像的一个最低点的横坐标为，
则，，
则，.
因为，所以只有时,满足要求，所以.
由，，可得，，
所以的单调递减区间为，；
【小问2详解】
.
先将的图像上所有点的横、纵坐标同时缩短为原来的，得到的图像，
再将的图像向左平移个单位长度，得到的图像，
然后将的图像向上平移个单位长度，得到的图像.
【小问3详解】
当时，，所以，
所以，
故的取值范围为.
21. 北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产千件，需另投入成本万元.当年产量低于30千件时，；当年产量不低于30千件时，.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式.
（2）当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大?最大年利润多少?
【答案】（1）
（2）当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元
【解析】
【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，分类计论进行求解即可；
（2）根据基本不等式，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当时，；
当时，.
所以
【小问2详解】
当时，函数的对称轴为，所以此时该函数是单调递增函数，因此有
，
当时，，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元.
22. 已知，，对，为其最值，且关于的方程有两个相等的实数根.
（1）求函数的值域；
（2）设函数，（且）且在上的值域为，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，先由条件解得函数解析式，从而得到的解析式，即可得到其值域；
（1）根据题意，得到函数的解析式，结合换元法，然后分与两种情况分类讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
∵，为的最值，故为函数图像的对称轴，
依题意得，即，
又关于的方程，即有两个相等的实数根，所以，
解得，，故，
∴，
即时，，∴的值域为.
【小问2详解】
由上述知，所以，
令，则.
①当时，，∵，∴，解得.
∵，∴，
即
解得或（舍）.
②当时，，
∵，∴，解得.
∵，∴，
即解得或（舍）.
综上所述，的值为或.