数学选择性必修 第一册3.2 双曲线测试题

这是一份数学选择性必修 第一册3.2 双曲线测试题，共11页。试卷主要包含了已知A,B是圆C，已知双曲线C，已知定点F1,F2,N是圆O等内容，欢迎下载使用。
A.9 B.25+6
C.10 D.12
2.(2022河北保定二中期末)已知双曲线C:x236-y264=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.192 B.96
C.48 D.102
3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是( )
A.x2+y23=1 B.x2-y23=1
C.x23+y2=1 D.x23-y2=1
4.(2022山西长治二中期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233,O为坐标原点,过右焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N,且△OMN为直角三角形,若S△OMN=332,则C的方程为( )
A.x212-y24=1 B.x26-y22=1
C.x23-y2=1 D.x22-y26=1
5.(2022河北正定中学期末)若F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=5|OP|,则该双曲线的离心率为( )
A.5 B.2
C.3 D.2
6.(多选)(2022湖南永州期末)已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且a,b,c成等比数列(c为双曲线的半焦距),点P为双曲线右支上的点,点I为△PF1F2的内心.若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立,则下列结论正确的是( )
A.当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30°
B.离心率e=1+52
C.λ=5-12
D.点I的横坐标为定值a
7.(2022上海松江二中期末)已知点M(0,1),点P是双曲线x23-y2=1上的点,点Q是点P关于原点的对称点,则MP·MQ的取值范围是 .
8.(2020天津一中期末)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与圆x2+y2=a2相切于点T,且直线l与双曲线C的右支交于点P,若F1P=3F1T,则双曲线C的离心率为 .
9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.
10.(2022湖南双峰一中期末)双曲线C的中心在原点O,焦点在x轴上,且焦点到其渐近线y=±2x的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,与其渐近线分别交于M,N(从左至右)两点.
(i)证明:|AM|=|BN|;
(ii)是否存在这样的直线l,使得S△OMNS△OAB=255?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
1.C 如图所示,设双曲线的右焦点为A',易知C(1,4),由双曲线的定义知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10,故选C.
2.A 由题意得a=6,b=8,则c=a2+b2=10,则|PF2|=|F1F2|=20,由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32,
所以△PF1F2中PF1边上的高为202-3222=12,所以△PF1F2的面积为12×32×12=192,故选A.
3.B 如图,当点P在y轴左侧时,连接ON,PF1,
则|ON|=12|F2M|=1,
所以|F2M|=2.因为直线PN为线段MF1的中垂线,所以|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=20)的一条渐近线的方程为bx-ay=0,∴点F2到此渐近线的距离d=bca2+b2=b,即|PF2|=b,∴|OP|=|OF2|2-|PF2|2=c2-b2=a,cs∠PF2O=bc,如图所示,∵|PF1|=5|OP|,∴|PF1|=5a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|·|F1F2|·cs∠PF2O,∴5a2=b2+4c2-2b·2c·bc=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),即2a2=c2,故e=ca=2,故选D.
6.BCD ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,当PF2⊥x轴时,|PF2|=b2a=c=12|F1F2|,此时tan∠PF1F2=12,∴A错误;易得|F1F2|=2c=2b2a=2c2-2a2a,整理得e2-e-1=0,∵e>1,∴e=1+52,∴B正确;设△PF1F2的内切圆的半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又∵|F1F2|=2c,∴S△IPF1=12|PF1|·r,S△IPF2=12|PF2|·r,S△IF1F2=12·2c·r=cr,∵S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2,∴12|PF1|·r=12|PF2|·r+λcr,
故λ=|PF1|-|PF2|2c=ac=11+52=5-12,∴C正确;如图所示,设△PF1F2的内切圆与PF1,PF2,F1F2的切点分别为M,N,T,可得|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,由|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1T|-|F2T|=2a,|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c,可得|F2T|=c-a,可得点T的坐标为(a,0),即点I的横坐标为a,∴D正确.故选BCD.
7.答案 (-∞,-2]
解析 设点P(x0,y0),|x0|≥3,则点Q(-x0,-y0),所以MP=(x0,y0-1),MQ=(-x0,-y0-1),所以MP·MQ=-x02-y02+1,因为点P是双曲线x23-y2=1上的点,所以x023-y02=1,所以MP·MQ=-x02-y02+1=2-4x023≤-2,故MP·MQ的取值范围是(-∞,-2].
8.答案 132
解析 如图,由题可知,|OF1|=|OF2|=c,|OT|=a,则|F1T|=b,
∵F1P=3F1T,∴|TP|=2b,|F1P|=3b,
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=3b-2a.
作F2M∥OT,可得|F2M|=2a,|TM|=b,则|PM|=b.
在Rt△MPF2中,|PM|2+|MF2|2=|PF2|2,
即b2+(2a)2=(3b-2a)2,得2b=3a.
又∵c2=a2+b2,∴c2=a2+94a2,化简可得4c2=13a2,∴双曲线的离心率为132.
9.解析 (1)由题意知a=23,所以一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,又因为c2=b2+12,所以b2=3.所以双曲线的方程为x212-y23=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程与双曲线方程联立,得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12,
所以x0y0=433,x0212-y023=1,所以x0=43,y0=3.
由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),
所以t=4,点D的坐标为(43,3).
10.解析 (1)设双曲线C的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意得b=2,ba=2,所以a=1,
故双曲线C的标准方程为x2-y24=1.
(2)(i)证明:易知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,
联立y=kx+2,x2-y24=λ(λ=0或λ=1),
消去y可得(4-k2)x2-4kx-4-4λ=0,
易知Δ>0,且k∈(-2,2),
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).
当λ=1时,x1+x2=4k4-k2,即AB中点的横坐标为2k4-k2,
当λ=0时,x3+x4=4k4-k2,即MN中点的横坐标为2k4-k2,
故线段AB,MN的中点重合,所以|AM|=|BN|.
(ii)存在.由(i)可得,x1+x2=x3+x4=4k4-k2,
x1x2=-84-k2,x3x4=-44-k2,
所以|MN|=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]
=81+k2|4-k2|,
|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=41+k2·8-k2|4-k2|,
又因为S△OMNS△OAB=|MN||AB|=255,所以k=±3,满足Δ>0,故存在这样的直线l,其方程为y=±3x+2.