青海省西宁市2024届高三下学期一模数学（文）试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市2024届高三下学期一模数学（文）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数,其中i为虚数单位,则( )
A.B.2C.D.5
3．已知向量,,若,则( )
A.-1B.1C.D.
4．下列命题中,正确的是( )
A.若且,则B.若,则
C.若,,则D.若,则
5．已知直线m,n和平面,且,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知,是第四象限角,则( )
A.B.C.D.
7．已知实数,,,则a,b,c这三个数的大小关系是( )
A.B.C.D.
8．甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏,每个回合,两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方.游戏开始时,甲手中的两张纸牌数字分别为1,3,乙手中的两张纸牌数字分别为2,4.则一个回合之后,甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为( )
A.B.C.D.
9．已知双曲线左､右焦点分别为,,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若为直角三角形,则( )
A.B.C.D.
10．已知底面半径为2的圆锥的侧面积为，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
11．如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从A点出发,沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为,则小明到O点的直线距离与他从A点出发后运动的时间之间的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
12．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”,就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有1个货物,第二层比第一层多2个,第三层比第二层多3个,以此类推,记第n层货物的个数为,则使得成立的n的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
二、填空题
13．函数,则在处的切线方程为__________________.
14．已知抛物线的焦点为F,P是抛物线上一点,若,则P点的横坐标为________________.
15．设等比数列的前n项和为,若,则实数________________.
16．若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______.
三、解答题
17．在中，，，.
(1)求A的大小；
(2)求外接圆的半径与内切圆的半径.
18．如图,多面体中,四边形为菱形,,,,.
(1)求证：平面平面;
(2)当时,求三棱锥的体积.
19．已知椭圆的离心率为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于M,N两点,椭圆C的左、右顶点分别为A,B,直线的斜率为,直线的斜率为,求证：为定值.
20．已知函数.
（1）若，当时，证明：.
（2）若，证明：恰有一个零点.
21．某厂近几年陆续购买了几台A型机床,该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
已知,,,,
(1)计算y与x的样本相关系数（精确到0.001）,并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的相关性强弱（若,则认为y与x相关性很强,否则不强）.
(2)该厂购入一台新的A型机床,工人们分别使用这台机床（记为X）和一台已经使用多年的A型机床（记为Y）各制造50个零件,统计得出的数据如下表：
请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”.
附参考公式及数据
,其中.
22．在平面直角坐标系中,圆,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆心在直线上.
(1)求圆M的极坐标方程;
(2)过O作两条互相垂直的直线,,其中与圆M交于O,A两点,与圆M交于O,B两点,求面积的最大值.
23．已知.
(1)当时,求不等式的解集；
(2)若,恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,
故选：C.
2．答案：C
解析：因为复数
所以
故选：C.
3．答案：B
解析：因为,且,
所以,解得.
故选：B.
4．答案：D
解析：对于A选项,令,,则,所以不成立,故A错误;
对于B选项,令,,则,所以不成立,故B错误;
对于C选项,令,,,,则,所以不成立,故C错误;
对于D选项,由及不等式的可加性可得,故D正确.
故选：D.
5．答案：D
解析：若,则或直线m与直线n异面,故不充分;
若,则或,故不必要;
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．答案：A
解析：由,得,即,
由是第四象限角,得,
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：由指数函数和对数函数的单调性知,,,
因为在单调递增,且,所以,
所以.
故选：C.
8．答案：B
解析：甲手中的两张纸牌数字用表示,乙手中的两张纸牌数字用表示,
一个回合之后,甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为：(1),;
(2),;（3）,：（4）,共4种情况,
其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况,
所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为,
故选：B.
9．答案：C
解析：该双曲线的渐近线方程为,则,
若为直角三角形,则只可能或者,
这两种情况对称,面积相同,只研究一种情况即可,
如图所示,,
在中,有,,,
在中,,,,所以.
故选:C.
10．答案：D
解析：如图，设圆锥的母线长为，由圆锥的侧面积公式，得，
解得，所以圆锥的高为.
设圆锥的外接球半径为R，则在中，由勾股定理，，解得，
所以该圆锥的外接球的表面积为.
故选：D.
11．答案：D
解析：小明沿走时,与O点的直线距离保持不变,
沿走时,随时间增加与点O的距离越来越小,
沿走时,随时间增加与点O的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意.
故选：D.
12．答案：C
解析：由题意,,且,
累加可得,所以,
,得,即.
故选：C.
13．答案：
解析：依题知切点为,
则,则,
则切线方程为：,
即.
故答案为：
14．答案：2
解析：由抛物线方程可得,即,
则,
解得.
故答案为：2.
15．答案：-2
解析：根据题意,等比数列中,有,
则,,
,
因为是等比数列,则有,即,解可得.
故答案为：-2.
16．答案：
解析：因，，所以，
因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得.
则的取值范围是.
故答案为：
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由余弦定理得，
因为，所以.
（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为R，r，由正弦定理得，则.
的面积，
由，得.
18．答案：答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为,所以B,D,E,F四点共面,
因为四边形为菱形,所以,
因为,,,平面,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面;
(2)因为平面,平面,所以,
又因为,,,平面,故平面,
又因为,互相平分,所以点D到平面的距离等于点B到平面的距离,
所以,
又因为,
所以三棱锥的体积为.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由椭圆的离心率为,且点在椭圆上,
可得,所以,
又点在该椭圆上,所以,所以,,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）证明：设,由于该直线斜率不为0,可设,
联立方程和,得,
恒成立,根据韦达定理可知,
,,,
,,
,
,.
20．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：因为，所以，.
当时，，则在上单调递增，
所以当时，.
（2）.
令，则.
令，则.
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，所以，
则在上单调递增.
因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点.
21．答案：(1);r接近1,说明A型机床的使用年限与当年所支出的维修费用之间具有很强的相关性.
(2)列联表见解析;没有的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关.
解析：(1)由题可知,,
,,,
所以,
r接近1,说明A型机床的使用年限与当年所支出的维修费用之间具有很强的相关性.
(2)补充列联表如下：
零假设为：零件合格情况与机床的使用情况无关.
根据列联表中的数据,经计算得到,
所以根据临界值表,没有充分证据推断不成立,因此可认为成立,即没有的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”.
22．答案：(1)
(2)2
解析：(1)由直线,可得直线l的直角坐标方程为,
因为圆心在直线l上,所以,解得,
所以圆M的方程为,即,
则圆M的极坐标方程为.
(2)设直线,,,,
则,,
因为,可得,
故面积的最大值为2.
23．答案：(1)
(2)或
解析：(1)当时,等价于
或或,
所以,或,或,
综上可得：,
不等式的解集为.
(2)恒成立,恒成立,
(当且仅当时等号成立),
,解得,,
m的取值范围是或.
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
机床
零件
合计
合格
不合格
X
4
Y
40
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
机床
零件
合计
合格
不合格
X
4
Y
合计