[数学][期末]四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高一下学期期末联考试题(解析版)

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一、单项选择题.
1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
所以.
故选：B.
2. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ）
A. 32，90B. 32，92C. 30，90D. 30，92
【答案】A
【解析】因为的平均数是10，方差是10，
所以的平均数是，方差是.
故选：A.
3. 圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3，
所以侧面积为.
故选：D．
4. 已知向量，，若与共线，则（ ）
A. B. 4C. D. 或4
【答案】D
【解析】由两向量共线可知，即，解得或.
故选：D.
5. 将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】因为，所以将函数的图象向右平移个单位所得的图象对应的函数为.
故选：.
6. 求值（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】因为；
；
，
所以
.
故选：D.
7. 如图，在边长为3的正三角形中，，，则（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】C
【解析】由题意知，，
则，
所以
.
故选：C.
8. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，整理得，
所以，
又，则，故，
，
因为为锐角三角形，所以，即，所以，
即，所以的取值范围为．
故选：B.
二、多项选择题.
9. 有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则P是三角形的垂心
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，则存在唯一实数使得
【答案】BC
【解析】对于A，在中，由，得或，
则或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误；
对于B，由，得，
则，同理，，即是三角形的垂心，B正确；
对于C，由，得，
由正弦定理得，则，为钝角，
为钝角三角形，C正确；
对于D，当，时，显然有，但此时不存在，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于点中心对称
C.
D. 在上的值域为
【答案】AC
【解析】A选项，设的最小正周期为，则，故，
因为，所以，A正确；
B选项，由图象可知，，，
将代入解析式得，
故，故，
因为，所以，故，
，故的图象不关于点中心对称，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，，
故，D错误.
故选：AC.
11. 如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 三棱锥的体积为
C. 过三点的平面截正方体所得截面的面积为
D. 若，则点的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点，
根据中位线易得，进而可得与点共面，所以平面，错误；
选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，
正方形中，
则三棱锥的体积为，
选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形，
边长，所以面积为，
选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图，
由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为.
故选：BCD.
三、填空题.
12. 已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】因为，又，所以，解得，，
因为，所以在上的投影向量为.
故答案为：.
13. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的样本方差为__________.
【答案】12.4
【解析】甲同学抽取的样本占总样本的比例为，
乙同学抽取的样本占总样本的比例为，总平均数为，
总方差为：.
故答案为：.
14. 如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为、的中点，现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点P，得到三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，
将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，
外接球的直径等于以，，为长、宽、高的长方体的对角线长，
，，
，
所以外接球的表面积.
故答案为：.
四、解答题.
15. 庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上､生命至上，果断打响疫情防控的人民战争､总体战､阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知.为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保.某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求a；
（2）若从成绩不高于60分的同学中，采取样本量比例分配的分层随机抽样，抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
（3）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数（结果保留1位小数）.
解：（1）由，
得.
（2）因为（人），（人），
所以不高于50分的抽取（人）.
（3）平均数
分，
因为在内共有人，
在内共有人，
所以中位数位于内，则中位数为分.
16. 函数.若两相邻对称轴之间的距离为.
（1）求的单调增区间；
（2）若，，求.
解：（1），
由两相邻对称轴之间的距离为，得周期，即，
所以，
由，可得，
所以单调增区间为.
（2）由，可得，所以，
因为，所以，
若，则，又，所以，
所以，所以，
所以
.
17. 如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．
（1）求的面积（用字母表示）；
（2）若，，，，，求M，N之间的距离．
解：（1）由题意可知，由正弦定理，
得，
面积.
（2）由（1）知，
在中，，
，
在中，，
由余弦定理可得
，
所以.
18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．
（1）请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；
（2）求证：平面；
（3）当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由．
解：（1）如图，点为的中点，连接，
由为中点，则，又，
所以，所以四点共面，
故平面与棱柱的截面为．
（2）证明：因为在与中，，
所以，又，
所以，所以，
，且平面，所以平面，
即平面.
（3）由（2）知平面，又平面，所以，
又，所以，
又，且平面，所以平面，
又，所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以
，所以三棱锥的体积为定值．
中，，所以，
由，可得，
所以点到平面的距离为．
19. 在中，对应的边分别为.
（1）求A；
（2）奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：，，当且仅当时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.
（ⅰ）求：的最小值；
（ⅱ）若P是内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设的面积为S，求的最小值.
解：（1）在中，，
由正弦定理得，，
因为，所以，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，故，又，所以.
（2）（i）根据柯西不等式：
，
（当且仅当为正三角形时取等号），
即：的最小值为108.
（ii）.
又，
，
由三维柯西不等式有
，
当且仅当，即时等号成立.
所以，
由余弦定理，得，
所以，即，
则，
令，则.
因为，
得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令，令，则，
由二次函数单调性可知，当即时，有最大值，
此时有最小值（此时与可以同时取到）.