新高考数学一轮复习 讲与练第24讲 空间向量及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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一、知识梳理
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
4.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
6.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.
(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
7.空间位置关系的向量表示
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
考点和典型例题
1、空间向量的运算及共线、共面定理
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ＝(2m＋1，3，m－1)， SKIPIF 1 < 0 ＝(2，m，－m)，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．－2 C．0 D． SKIPIF 1 < 0 或－2
【典例1-2】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习） SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 三向量共面，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．2C．15D．5
【典例1-3】（2020·全国·高三专题练习）设x， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若 SKIPIF 1 < 0 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例1-5】（2022·湖南·高三阶段练习）若直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是______.
2、空间向量的数量积及其应用
【典例2-1】（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为4，空间中的动点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-2】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四棱台 SKIPIF 1 < 0 的上、下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是上底面 SKIPIF 1 < 0 的边界上一点．若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱台的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2-3】（2022·山东泰安·模拟预测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，N，G分别在棱 SKIPIF 1 < 0 ，AC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面MNG与AB交于点H，则 SKIPIF 1 < 0 ___________， SKIPIF 1 < 0 ___________.
【典例2-4】（2022·上海徐汇·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 是空间相互垂直的单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___________.
【典例2-5】（2022·浙江·模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正四面体棱上互不相同的三点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______.
3、空间向量的应用
【典例3-1】（2022·全国·模拟预测）下图为正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的一个展开图，若A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【典例3-3】（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长都相等， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3-4】（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______．
【典例3-5】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角．名称
定义
空间向量
空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共线向量
(或平行向量)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共线
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＋zeq \\al(2,2)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2
l1∥l2
v1∥v2⇔v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2⇔v1·v2＝0
直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n
l∥α
v⊥n⇔v·n＝0
l⊥α
v∥n⇔n＝λv
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0