江苏省南通市部分学校2025届高三上学期8月联合统一调研测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市部分学校2025届高三上学期8月联合统一调研测试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．当时,复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,可以作的平面个数为( )
A.42B.56C.64D.81
4．若直线l的方程为,则直线l的倾角的范围是( )
A. B. C.D.
5．在中,,BC边上的高等于,则( )
A.B.C.D.
6．考虑以为样本空间的古典概型.设X和Y定义上,取值的成对分类变量,则“与独立”是“与独立”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
7．四名同学各掷骰子5次,并各自记录每次骰子出现的点数,分别统计四名同学的记录结果,可以判断出一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为3,中位数2B. 中位数为3,众数为2
C. 中位数为3,方差为2.8D. 平均数为2,方差为2.4
8．已知A,B为双曲线上不同两点,下列点中可为线段AB的中点的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则( )
A.
B.
C.李明计划前到校，应选择坐公交车
D.李明计划前到校，应选择骑自行车
10．半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）,若它的所有棱长都为,则( )
A.平面EAB
B.该二十四等边体的体积为
C.该二十四等边体外接球的表面积为
D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为
11．声音中包含着正弦函数,周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是,则( )
A.的最小正周期是B.是的最小值
C.是的零点D.在存在极值
三、填空题
12．若平面向量,,两两的夹角相等,且,,则__________.
13．已知O为坐标原点,直线与抛物线相交于A,B两点,则的面积为___________.
14．如图,正方形ABCD的边长为5,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第三个正方形IJKL,依次方法一直继续下去,则所有这些正方形的面积之和趋近于________________.
四、解答题
15．已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点M的轨迹E;
(2)在E上是否存在一点使得它到直线的距离最小？若存在,请求出最小距离;若不存在,请说明理由.
16．在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记.
(1)求MN的长;
(2)当MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.
17．已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求证.
18．根据某地区气象水文部门长期统计,可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.05.
(1)从该地区抽取的年水文资料中发现,恰好3年无洪水事件的概率与恰好4年有洪水事件的概率相等,求n的值;
(2)今年夏季该地区某工地有许多大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失20000元.为保护设备,有以下3种方案：
方案1：修建保护围墙,建设费为3000元,但围墙只能防小洪水.
方案2：修建保护大坝,建设费为7000元,能够防大洪水.
方案3：不采取措施.
试比较哪一种方案好,请说明理由.
19．将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列,对任意,如果,那么称数对构成数列的一个逆序对,一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数.
(1)若将1,2,3,4四个数构成的数列恰有2个逆序对,请写出符合条件的数列组合;
(2)计算以下数列的逆序数.
（ⅰ）;
（ⅱ）;
(3)已知数列,,…,的逆序数为,求,,…,的逆序数.
参考答案
1．答案：C
解析：由,解得或,
所以,
又,所以.
故选：C.
2．答案：D
解析：,
,,,故选D.
3．答案：B
解析：根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”,且所确定的平面与点的顺序无关,
所以共可确定的平面个数是个.
故选：B.
4．答案：C
解析：当时,方程为,倾斜角为
当时,直线的斜率,
所以
即
综上
故选：C.
5．答案：C
解析：设,,,,
,
故选C.
6．答案：A
解析：与独立,则,
即,
.
即,故“与独立.反之亦然.
故选：A.
7．答案：D
解析：对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6,故A错误;
对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3,众数为2,可以出现点数6,故B错误;
对于C,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,
平均数为：,
方差为,
可以出现点数6,故C错误;
对于D,若平均数为2,且出现6点,则方差,
则平均数为2,方差为2.4时,一定没有出现点数6,故D正确．
故选：D．
8．答案：B
解析：设AB的中点,,
所以,,
易知,
由点差法可得
,
若,此时,,
与双曲线联立,
即与双曲线只有一个交点,故A错误;
若,则此时,,
与双曲线联立
,
即与双曲线有两个交点,故B正确;
若,则此时,
与双曲线联立,
即与双曲线有一个交点,故C错误;
若,则此时,,
与双曲线联立,显然无解,
即与双曲线没有交点,故D错误;
故选：B.
9．答案：BCD
解析：由题意可得，，故，故A错误；，，所以，故B正确；，所以，故C正确；，，所以，故D正确.故选BCD.
10．答案：BD
解析：对于A,假设A对,即平面,于是,
,但六边形为正六边形,,矛盾,
所以A错误;
对于B,补齐八个角构成棱长为2的正方体,
则该二十四等边体的体积为,
所以B对;
对于C,取正方形对角线交点O,
即为该二十四等边体外接球的球心,
其半径为,其表面积为,所以C错误;
对于D,因为在平面内射影为,
所以与平面所成角即为,
其正弦值为,所以D对.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：对于A选项,函数的最小正周期为,
函数的最小正周期为,
函数的最小正周期为,且,
因此,函数的最小正周期是,A对;
对于B选项,因为,
又因为,
故不是的最小值,B错;
对于C选项,对任意的,,
故是的零点,C对;
对于D选项,,
则
,
当时,,则,令可得,
所以,,可得,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
因此,在存在极值,D对.
故选：ACD.
12．答案：答案：2或5
解析：由题意,平面向量,,两两的夹角相等,包括两种情况,
可得两两夹角为或两两夹角为,
当两两夹角为时,可得,
则;
当两两夹角为时,可得,
则.
故答案为：2或5.
13．答案：
解析：设,,
由得,,
所以,,
所以,
因为点到直线的距离,
所以.
故答案为：.
14．答案：50
解析：记第n个正方形的面积为,第n个正方形的边长为,
则第n个正方形的对角线长为,
所以第全正方形的边长为,所以,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,所以,
所以,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,
所以若这个作图过程可以一直继续下,则所有这些下方形的面积之和将趋近于常数50.
故答案为：50.
15．答案：(1)
(2)存在,
解析：(1)设d是点M到直线的距离,
根据题意,动点M的轨迹E就是集合.
由此得.将此式两边平方,并化简,得,
所以M的轨迹E为.
(2)由直线方程方程可知与坐标轴的交点为,,
易知此直线与椭圆无公共点,
设直线m与该直线平行,则直线m的方程可以写成.
由方程组,消去y,得.
令其根的判别式,解得或,
当时,直线与椭圆的公共点到直线的距离最小,最小距离.
16．答案：(1)
(2).
解析：(1)以B原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
因为,所以,,
所以.
(2),当时,最小,
此时,M,N为中点,则,）,取MN的中点G,连接AG,BG,
则,因为,,所以,,
所以是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角,
因为,,
所以,
所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是.
17．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)当时,,
则,
又,,
所以切线方程为：,
即.
(2)当,时,,
则有,
故只需证明当时,.
当时,函数在区间上单调递增,
又,,
故在区间上有唯一实根,且,
当时,;
当时,,
从而当时,取得最小值,
由,得,,
故,
综上,当时,.
18．答案：(1);
(2)选择方案1好.
解析：(1)该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.05
即该地区每年夏季无洪水的概率为,
该地区抽取的年水文资料中发现,恰好3年无洪水事件的概率与恰好4年有洪水事件的概率相等,且符合独立性重复试验二项分布,
,
解得,
;
(2)设方案1、方案2和方案3的损失为随机变量为、和,分布列分别为：
方案1
,,
,
方案2
,
方案3
,,
,
方案1的期望值最小,选择方案1好.
19．答案：(1),,,,
(2)（ⅰ）4950;（ⅱ）答案见解析
(3)
解析：(1)由1,2,3,4构成的逆序对有,,,,,.
若第一个数为4,则至少有3个逆序对;
若第二个数为4,则恰好有2个逆序对的数列组合为;
若第三个数为4,则恰好有2个逆序对的数列组合为或;
若第四个数为4,则恰好有2个逆序对的数列组合为或.
综上,符合条件的数列组合有：
,,,,.
(2)（ⅰ）因为为单调递减数列,
所以逆序数为.
（ⅱ）当n为奇数时,
当n为偶数时,
,
所以,
当k为奇数时,逆序数为
,
当k为偶数时,逆序数为
.
(3)在数列,,…,中,若与后面个数构成个逆序对,
则有不构成逆序对,
所以在数列,,…,中,逆序数为
.
3000
60000
0.95
0.05
7000
1
0
20000
60000
0.7
0.25
0.05