西安市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份西安市第一中学2024届高三下学期模拟考试数学（文）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，则( )
A.B.C.D.
3．已知函数的导数为，若，则( )
A.eB.C.D.
4．已知椭圆的焦距为2,且,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
5．乒乓球被誉为我国的“国球”,一个标准尺寸乒乓球的直径是,其表面积约为( )
A.B.C.D.
6．设x，y满足约束条件，则的最大值为( )
A.B.1C.D.2
7．已知等比数列是递减数列，且，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知，且，，则( )
A.B.C.D.
9．已知，，，则( )
A.B.C.D.
10．已知，分别为双曲线的左､右焦点，P为C的右支上一点，且，则到直线的距离为( )
A.B.C.D.
11．已知一组样本数据的方差为10，且，则样本数据，，，，的方差为( )
A.9.2B.10.8
12．等边的边长为5，点A在平面上，点B，C在的同一侧，且边，在上的射影长分别为3，4，则边在上的射影长为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知向量，，则______.
14．记为等差数列的前n项和，若，，则______.
15．在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则三棱锥的体积为______.
16．定义域为R的函数满足当时，，且是奇函数，则______.
三、解答题
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求；
（2）若，，求的面积.
18．某大型社区计划投建一个社区超市，为了解社区居民的购买习物，随机对40位社区居民进行了调查，得到下面列联表：
（1）能否有99.9%的把握认为该社区居民的购物习惯与性别有差异？
（2）若社区居民中倾向于实体店的人数占比高于，则投建营业面积为的超市，否则投建营业面积为的超市.已知该社区居民中男性与女性的人数之比为，根据上表，求所投建超市的面积
附：.
19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，E，F分别为，的中点，G为线段上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若平面，且，求与的面积之比.
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求a.
21．已知抛物线的焦点为F，设P，Q，R为C上不重合的三点，且.
（1）求；
（2）若P，Q均在第一象限，且直线的斜率为，求R的坐标.
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，点B的极坐标为.
（1）求直线的极坐标方程；
（2）设P为圆上一点，求P到直线距离的最大值.
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由，，可知.
故选：C
2．答案：A
解析：因为，故.
故选：A.
3．答案：B
解析：，若，即，故.
故选：B
4．答案：D
解析：根据题意有半焦距,故,且,故,C的离心率.
5．答案：C
解析：标准乒乓球的半径,故表面积.
6．答案：A
解析：如图，可行域为直线，，
所围成的区域，的值为内一点与点连线的斜率，
联立，得，，
故该点取，的交点时斜率最大，故z的最大值为.
故选：A
7．答案：A
解析：等比数列是递减数列，且，故，且公比，
由得，
故，
所以的取值范围是.
故选：A.
8．答案：A
解析：由，可得，
由，可得，
故，
又因，所以，
所以，即.
故选：A.
9．答案：C
解析：由题意得，
且，
又，故，
故选：C
10．答案：A
解析：双曲线C的半焦距，故，C的实半轴，
故由双曲线的定义可知，
过作垂线，垂足为H，，则H为线段的中点，故，
所以.
故选：A.
11．答案：B
解析：设样本数据的平均数为，则，
且样本数据，，，，的平均数也为，
故：
故选：B
12．答案：D
解析：因为，且边，在平面上的射影长分别为3，4，所以点B，C到的距离分别为4，3.
因B，C在同一侧，在上的射影长为.
故选：D
13．答案：
解析：因为向量，，所以，
故.
故答案为：.
14．答案：49
解析：因为，则，
又因为，故，
所以.
故答案为：49.
15．答案：
解析：方法1：取的中点G，连接，，
因为G，F分别为，的中点，
所以，，又，，
则，，所以四边形是平行四边形，
所以，则平面，
所以点到平面的距离等于点G到平面的距离，
所以，易知，所以.
方法2：由题意易得平面就是平面，易得点F到平面的距离等于点F到直线的距离，这个距离为，
三棱锥的体积为.
故答案为：.
16．答案：6
解析：设，则，
因为是奇函数，故，
又因当时，，故，
所以.
故答案为：6
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，由正弦定理可得，
因为，
所以，
所以.
（2）由余弦定理可知，
即，
所以（负值舍去），所以.
又，
所以.
18．答案：（1）有；
（2）
解析：（1）由列联表中的数据，可得统计量的观测值为：
.
由于，因此有的把握认为该社区居民的购物习惯与性别有差异.
（2）根据列表，及社区居民中男､女占比可求得全体居民中倾向于实体店的人数占比，
由于，因此所投建的超市面积为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）记O为，的交点，连接交于点K，连接，
因为E，F分别为，的中点，则K为的重心，
故.
又因为四边形是正方形，故O为的中点，由于，
故，，
所以.
又因为平面，且平面，
所以平面.
（2）方法1：因为E，O分别为，的中点，连接，
所以，且，
又因为平面，
所以平面，平面，
，
设，，则，，，
所以.
取的中点H，过H作于点I，则，，，
所以平面，，，又，
所以平面，故，且，
所以，
所以.
方法2：连接.
E中点，.
平面，平面，平面，平面，
，，.
.
由于，又，是平面内两相交直线，
所以平面.
又平面，.
根据条件，设，则，，.
，进而得.
在中，由余弦定理得，即，
.
，，
，
所以与的面积之比为.
20．答案：（1）答案见解析；
（2）
解析：（1），
当时，，在上单调递增；
当时，令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，不合题意.
当时，由（1）可知，.
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以.
所以当且时，，不合题意，
当时，，符合题意.
综上，.
21．答案：（1）6；
（2）
解析：（1）根据题意有.
设，，，
则，，，
由可得，即.
又由抛物线的几何性质可知，，.
故.
（2）
根据条件设直线的方程为，
与C的方程联立并化简有.
，
结合（1）中所设点坐标可知，
，
由可得，.
代入得，
所以点R坐标为.
22．答案：（1）；
（2）
解析：（1）方法1：点A在直角坐标系中的坐标为，
点B在直角坐标系中的坐标为，
所以直线的直角坐标方程为，
设，，
则直线的极坐标方程为，即.
方法2：设为线段上的点，由三角形面积关系得
，
化简得.
所以直线的极坐标方程为.
（2）由圆得，
因为，，
则C的标准方程为，
故C的圆心坐标为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以P到直线距离的最大值为.
23．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，.
若，则当时，，故，
当时，，故，
又因为当时，，
所以不等式的解集为.
（2）由题设可得，
所以或.
当时，，故.
当时，，故.
综上，a的取值范围是.
倾向于实体店的人数
倾向于网购的人数
男性
160
40
女性
100
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828