四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，集合，则( )
A.B.C.D.
2．如果x,y是实数，那么“”是“”的( )
A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知平面向量与的夹角为,，且，则( )
A.B.-2C.2D.
4．已知，则下列关系式正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若且，则D.若，则
5．已知，则( )
A.B.2C.D.
6．已知，则( )
A.B.C.D.
7．若等比数列首项,，则数列的前n项和为( )
A.B.C.D.
8．已知函数(，且)，则其大致图象为( )
A.B.
C.D.
9．若曲线与直线相切，则实数( )
A.-1B.1C.2D.e
10．命题p：“若与满足：，，，则”.已知p是真命题，则x的值不可以是( )
A.B.2C.3D.4
11．从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设.根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少，本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过( )年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入.
A.3B.4C.5D.6
12．已知函数,在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．“更相减损术”的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，该算法的程序框图如图所示，若输入的a，b分别为21，14，则输出的__________.
14．已知点,，若向量与的方向相反，则__________.
15．已知函数则的值域为__________.
16．已知函数，的定义域为R，且,，若为奇函数，，则__________.
三、解答题
17．已知等比数列的前n项和为，且,,成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，求的最大值.
18．已知函数满足.
（1）求函数的解析式及最小正周期；
（2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值.
19．函数.
（1）若为奇函数，求实数m的值；
（2）已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点.
20．在斜三角形中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知.
（1）证明：；
（2）若，求的最小值.
21．已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）试讨论的极值点个数.
22．已知曲线,的参数方程分别为（t为参数），（为参数）.
（1）将,的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.若射线：与曲线,分别交于A,B两点（异于极点），点，求的面积.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集M；
（2）若m是的最小值，且正数a,b,c满足，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,集合或，
则.
故选:B.
2．答案：B
解析：由题意知,
,
是的必要不充分条件综上所述,答案选择:B
3．答案：C
解析：已知平面向量与的夹角为,,且,
则,
即,
即,
则.
故选:C.
4．答案：A
解析：对于A,若,则幂函数在上单调递增,又,则,故A正确;
对于B,若,,则,则,故B错误；
对于C,当,,时,则,故C错误；
对于D,若,,则,故D错误.故选:A.
5．答案：D
解析：,
则,
故,
故选:D.
6．答案：B
解析：
故选B
7．答案：A
解析：由题意可得,即,解得,所以.
故选:A.
8．答案：C
解析：根据题意可得,,函数为非奇非偶函数,
因此图象不关于y轴对称，排除A选项；当时,且,故,可知在内没有零点,排除D选项；在区间上,有无数个零点,满足;且当时,.对照B、C两项,可知B项不符合题意,C项正确.故选:C.
9．答案：B
解析：直线,即,由,得,设切点坐标为,则切线斜率
所以切线方程为,即,
由题意,可得,解得.故选:B.
10．答案：C
解析：根据题意,中,,,,由正弦定理,得,可得,
注意到,分以下几种情况讨论:
②当时,,可知,有唯一解;
②当时,,满足条件的有两解,且它们互补,相应地也有两解;
③当时,,满足条件的有唯一解且为锐角,相应地也有唯一解;
④当时,,此时满足条件的不存在,相应地无解.
综上所述,当或时, 有唯一解;当时, 有两解;当时, 无解.
因此,若命题p: “若与满足:,,,则”.
当p是真命题时，x的值不可以在区间和，对照各选项,可知C项,符合题意.
故选:C.
11．答案：B
解析：设等比数列的首项，公比；
设等差数列的首项，公差，
依题意,
整理得，
当时，左边，右边，左边<右边.
当时，左边，右边，左边<右边
当时，左边，右边，左边<右边.
当时，左边，右边，左边>右边.
当时，左边，当时，单调递增.
而右边，所以当时，左边>右边，
所以经过4年新兴产业的总收入超过追加的总投入.
故选:B
12．答案：C
解析：当时,因为此时的最小值为,所以,即.若,此时能取到最小值-4,即,
整理得:,
代入可得,满足要求;
若取不到最小值-4,
则需满足,即,
所以或者,
所以所有满足条件的的积属和,故满足的区间为,
故选:C.
13．答案：7
解析：执行该程序框图,若输入的a,b分别为21,14,第一次执行循环体后,,不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后,,满足退出循环的条件,输出a值为7.
故答案为:7.
14．答案：
解析：由,,可得
向量与的方向相反,即与共线,
,解得:或,
当时,与相等,不符合题意,舍去;当时,,,与的方向相反,所以,
,,可得.
故答案为:.
15．答案：
解析：因为,当时,,,当且仅当,即时取等号,
当时,,
根据二次函数的性质可知,,则的值域为.
故答案为:.
16．答案：1
解析：根据为奇函数,可知图象关于点中心对称,且的定义域为R,所以.由及,令,得,所以.
在中用代换x,得①,
在中用代换x,得②.
根据①、②,结合,可得,即,所以,则的图象关于直线对称,
所以函数的周期为.
根据,得,
所以.
故答案为:1.
17．答案：（1）；
（2）6.
解析：（1）由，，成等差数列，则，得，
数列的公比，
由，数列的通项公式；
（2）令，则，
当时，，
当或4时，取得最大值：.
18．答案：（1），；
（2）
解析：（1），
，而，
，即，
的最小正周期为：；
（2）由题意，，
，
由，得，
，
，又，
的最小值为.
19．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）为奇函数，
，解得：.
（2）当时，，
函数不可能有两个零点.
当时，由，解得：或，
要使得仅有两个零点，则，
即，此方程无解.
故，即，
令，则，
，解得：或，解得：，
故在上递增，在上递减，
又，
故函数仅有一个零点.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）
又为斜三角形，则，
，
，又A，B为的内角，
；
（2）在中，由（1）知，，
由正弦定理，则，
又，即，
，
，
，
令，令，
又因为，即，
当时，取最小值，且，
综上所述：的最小值为.
21．答案：（1）；
（2）当且时，有三个极值点；当或时，有唯一极值点
解析：（1）方法一：，
因为在上单调递增，
恒成立，
故：当时，恒成立.
设，则，
则，
易知，所以，
故令得到：；令得到：.
在上递减；在上递增.
故：当时，.
实数a的取值范围：.
方法二：，
因为在上单调递增，所以恒成立，
等价于：在上恒成立，
设，则，
，
当时，，
在上递减，，符合题意.
当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，
因为，
故只需满足（由易得），符合题意.
当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，
因为，故只需满足，即，
当时，易知在上递增，在上递减，
，不符合题意.
综上：实数a的取值范围：.
（2）的极值点个数等价于的变号零点个数，
令，则等价于的变号零点个数，
当时，；当时，，
由（1）可知，，
当时，易知在上递减，故有唯一变号零点1；
当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，
因为，，故有唯一变号零点1；
当且时，易知在上递减，在上递增，在上递减，
，，
若，即时，有唯一变号零点1；
若，即且时，有三个变号零点1，，，
且.
当时，易知在上递减，
在上递增，在上递减，
由于，，有唯一变号零点，且.
综上：当且时，有三个极值点；
当或时，有唯一极值点.
22．答案：（1），；
（2）
解析：（1）曲线的参数方程为（t为参数），
由得的普通方程为：；
曲线的参数方程为（为参数），
所以的普通方程为：；
（2）曲线的极坐标方程为：，
，
由得：，
射线：与曲线交于，
曲线的极坐标方程为，
由得：，
射线：与曲线交于B，
则.
23．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）
，
解得或或，
不等式的解集为；
（2）证明：由，可得的最小值为，
则，，
，当且仅当时，等号成立，
.