2024年中考数学易错07图形的变化（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

这是一份2024年中考数学易错07图形的变化（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版），共81页。
易错点一：弄错平移方向和距离
平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等
易错提醒：平移时弄错方向和距离，注意是对应点之间的距离为平移的距离
例1．如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为（ ）

A．2B．5C．3D．7
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，判定为等边三角形是解题的关键．
根据平移的性质得，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的长即可．
【详解】解：∵将沿射线的方向平移2个单位后，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选B．
例2．如图，将周长为的三角形沿方向平移，得到三角形，若四边形的周长为，则平移距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查图形平移的性质．根据平移的性质得到，，即可通过四边形ABFD的周长得到关于AD的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
由根据平移的性质得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平移的距离为3cm，
故答案为：3．
变式1．如图，平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将的最小值转化为是解本题的关键．将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接，．再作点A关于x轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案．
【详解】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于原点的对称点，连接，
则，，
．
故答案为：．
变式2．如图，点I为的内心，，，，将平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查三角形的内心、平移性质、等腰三角形的判定，根据三角形的内心是三角形角平分线的交点得到，再根据平移性质得到，进而证得，再利用等腰三角形的判定证得，同理证得，进而可求解即可．
【详解】解：连接、，如图，
∵点I为的内心，
∴，
由平移性质得，
∴，则，
∴，
同理可证，
∴图中阴影部分的周长为，
故答案为：6．
变式3．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，B的坐标分别为，请解答下列问题：

(1)直接写出点C的坐标；
(2)将先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，（点A，B，C的对应点分别为D，E，F），画出；
(3)直接写出（2）中四边形的面积为 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据A，B两点坐标，画出平面直角坐标系即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（3）把四边形面积看成两个三角形和一个梯形面积之和即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示：；

（2）如图，即为所求；
（3）四边形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用割补法求四边形面积．
变式4．如图，三角形三个顶点的坐标分别为；，．将三角形向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形．

(1)画出三角形，顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ；
(2)求三角形的面积；
(3)已知点P在x轴上，以为顶点的三角形的面积为6，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)图见解析，，
(2)6
(3)或
【分析】（1）根据点的平移规则“左减右加，上加下减”，确定出点的位置，即可求解；
（2）利用割补法，求解的面积即可；
（3）设点的坐标为，根据以为顶点的三角形的面积为6，列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，

由图像可知，，
（2）；
（3）设点的坐标为，
∵以为顶点的三角形的面积为6，
∴
解得或
即点的坐标为或
【点睛】本题考查了作图-平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点，即可得到平移后的图形，解题的关键是熟练掌握平移的有关性质．
1．如图，将边长为5的正方形沿BC的方向平移至正方形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25B．30C．35D．50
【答案】A
【分析】本题考查了图形的平移，平移前后图形的大小，形状完成相同，利用平移的性质求解即可．
【详解】解：由平移的性质可知，把左边正方形的阴影部分向右平移5个单位长度，与右边阴影部凑成一个完整的正方形，
所以阴影部分的面积．
故选：A
2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，沿轴向右平移后得到，点的对应点在直线上，则点与其对应点间的距离为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化-平移，利用平移的性质及一次函数图象上点的坐标特征，连接，利用平移的性质可得出，且轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，结合点A的坐标可得出的值，此题得解．
【详解】解：连接，如图所示，
根据平移可知：，且轴．
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
又∵点A的坐标为，
∴．
故答案为：4．
3．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质得到，，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，，，
则，即，
，
，
故答案为：2．
4．在平面直角坐标系中，点满足．

(1)直接写出点A的坐标；
(2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段（点O与点B对应），过点C作轴于点D，若，求a的值；
(3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段（点O与点F对应），交于点P，y轴上是否存在点Q，使，若存在，请求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)点Q的坐标为或
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求得m的值，然后再代入求得n的值即可解答；
（2）分点D位于x轴上方和下方两种情形，分别根据，构建方程求解即可．
（3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点满足．
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段，，
∴，
∴，
①当点D位于x轴上方时，

∵，
∴，解得；
②当点D位于x轴下方时，

∵，
∴，解得．
综合以上可得或
（3）解：如图：连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，

由题意有，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
设，，
∴，即×EQ＝6，解得，即，解得或
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式的性质，平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题属于中考常考题型．
5．如图，图形在方格（小正方形的边长为个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．例如：点按“平移量”（向右平移个单位，向上平移个单位）可平移到点；点按“平移量”可平移到点．

(1)填空：点按“平移量”（________，________）可平移到点；
(2)若把图中三角形依次按“平移量”平移得到三角形．
①请在图中画出三角形（在答题卡上画图并标注）；
②观察三角形的位置，其实三角形也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形．
【答案】(1)，
(2)①作图见详解；②，
【分析】（1）根据材料提示的“平移量”的方法“左移为负，右移为正，上移为正，下移为负”，结合图形与坐标，由此即可求解；
（2）①将图形按平移量平移即可求解；②结合图示分析即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，点向右移动个单位，向上平移个单位可平移到点，
∴平移量为，
故答案为：，．
（2）解：①三角形依次按“平移量”平移得到三角形，即先向右移动个单位，向下平移个单位，再向左移动个单位，向上平移个单位得到三角形，如图所示，

②根据网格中三角形与三角形的位置可得，将三角形向右移动个单位，向下平移个单位得到三角形，
∴平移量为，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查图形平移的规律，理解图示，掌握平移的规律，平移作图的方法是解题的关键．
6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)画出中边上的高；画出边上的中线；
(2)请画出平移后的；
(3)若连接，，则这两条线段之间的关系是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线，平移作图，平移的性质：
（1）如图所示，设分别交格线于H、G，连接交于O，连接并延长交于M，则即为所求；取格点，连接交延长线与H，则即为所求；
（2）根据点A和点D的位置得到平移方式，进而找到E、F的位置，再顺次连接D、E、F即可；
（3）根据平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，设分别交格线于H、G，连接交于O，连接并延长交于M，则即为所求；取格点，连接交延长线与H，则即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由平移的性质可得，
故答案为：．
7．如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
(2)请画出关于原点O成中心对称的图形；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点的位置，然后顺次连接即可；
（3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，
，
，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴P点坐标为．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图、作关于原点O成中心对称的图形、轴对称最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握平移和中心对称的性质．
易错点二：区分不了各种对称
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，
易错提醒：轴对称和中心对称是两个图形之间的位置关系，轴对称图形和中心对称图形是一个图形的特征
例3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
例4．下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
【详解】A．两个图形不成轴对称，不符合题意；
B．两个图形不成轴对称，不符合题意；
C．两个图形不成轴对称，不符合题意；
D．两个图形成轴对称，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．
变式1．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．三叶玫瑰线B．四叶玫瑰线
C．心形线D．笛卡尔叶形线
【答案】B
【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
变式2．甲骨文是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文中，可以看作中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据将图形沿一个点旋转得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形不是中心对称图形，不符合题意，
B选项图形是中心对称图形，符合题意，
C选项图形不是中心对称图形，不符合题意，
D选项图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
变式3．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ．
【答案】
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：．
故答案为：．
变式4．下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
【答案】B，D
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形．
【详解】解：由题意可得，
A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意，
C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意．
故答案为：B，D．
1．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．等边三角形D．正方形
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误.
故选：C．
2．如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称的定义．根据中心对称的定义即可得出答案．
【详解】解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称．
故选：D．
3．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．我们学习的文言文《木兰辞》中就有“对镜贴花黄”的诗句，这个花黄就是剪纸．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义依此判断即可．
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个．
【答案】3
【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】根据题意，画图如下：
有，，，共3个三角形，
故答案为：3．
5．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 ．
【答案】数学
【分析】本题考查镜面对称，平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，因此可以把镜中呈现的图片，沿着一条竖直线翻折，看翻折后是怎样的图形．掌握镜面对称的性质是解题的关键．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成镜面对称，
英文单词的中文意思是：数学．
故答案为：数学．
6．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出关于原点O的中心对称图形；
(2)将绕点E顺时针旋转90°得到，画出；
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可画出；
（2）根据旋转的性质即可画出；
（3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴，
故答案为：
7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，请你按要求画出图形．

(1)在图甲中作出，使和关于点成中心对称；
(2)在图乙中分别找两个格点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为面积的4倍．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用数形结合的思想，求出平行四边形为的面积为10，只要作出高为2的平行四边形即可．
【详解】（1）如图甲中，即为所求；

（2）在图乙中，平行四边形即为所求．

【点睛】本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质，学会用数形结合的解决问题．
易错点三：对位似的定义不理解，已识别错误
位似：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心
易错提醒：注意位似多边形对应顶点都会经过同一个点，切不可通过主观感觉进行判断
例5．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是．
【详解】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故选A．
例6．如图，在菱形中，对角线相交于点分别是边的中点，连接，则下列叙述不正确的是（ ）
A．与位似B．与位似
C．与位似D．与位似
【答案】B
【分析】本题主要考查菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，位似图形的判定和性质，掌握位似的定义和性质是解题的关键．
根据菱形的性质，可得，根据点是中点，可得，结合位似的定义和性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，点是的中点，
∴，线段是的中位线，
∴，
∵点是菱形对角线的交点，
∴点是的中点，
∴在中，；在中，；
同理，在中，；在中，；
∴，
∴四边形是菱形，
∵，点A为位似中心，
∴与关于点A成位似图形，A选项正确，不符合题意；
同理，与关于点A成位似图形，B选项错误，符合题意；
与关于点O成位似图形，C选项正确，不符合题意；
与关于点A成位似图形，D选项正确，不符合题意；
故选：B．
变式1．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，．若，则图中与位似的三角形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质、余弦的定义，根据余弦的定义得到，进而得到，根据位似图形的概念得到与位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：在中，，
，
，
同理，，
，
，
由位似图形的概念可知，与位似，且位似比为，
，
，
故选：C．
变式2．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且和的面积之比为，点的坐标为，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，，根据得到，根据相似三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
，
和的面积之比为：，
，
由题意得：，
，
解得：，
，即点的横坐标为，
故答案为：．
变式3．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，已知点，点，点．
(1)画出；
(2)画出关于轴对称的；
(3)请以原点为位似中心在第一象限内画出，使它与位似，且相似比是，并写出三个顶点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析，
【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了轴对称变换．
（1）描点，依次连接即可；
（2）根据关于轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可；
（2）把，，的坐标都乘以得到的坐标，然后描点即可．
【详解】（1）解：如图所示
（2）解：与关于轴对称，，，，
，
如图所示：
（3）解：，，的坐标都乘以，
，
如图所示：
变式4．（1）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若，求的长．
（2）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
①画出绕原点O逆时针旋转得到；
②以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析，
【分析】本题考查了平行线分线段成比例、图形的旋转作图、作位似图形等知识点，掌握相应知识点和作图方法是解题的关键
（1）根据平行线分线段成比例即可列式计算；
（2）①将所旋转图形的各顶点与旋转中心相连，根据旋转方向和旋转角度确定旋转后的对应点，连接这些对应点即可；
②根据图形的位似性质，将图形的各顶点与位似中心相连，并将其延长，并根据位似比截取线段得对应点，连接这些对应点即可；
【详解】解：（1），
，
，
，
，
．
（2）①如图所示，连接，分别过点作的垂线，在对应垂线上分别截取，使得所截线段与相等，在由逆时针旋转方向得第二象限内的图形，
∴为所作三角形；
②如图所示，为所作三角形，点的坐标为，
连接，并依次延长使得，
得点，依次连接即得．
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断．
【详解】解：画出图形，如图所示：
故选D．
2．如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ）
A．与是位似图形B．与是相似图形
C．与的周长比是D．与的面积比是
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：、、的中点分别为、、，
∴，，，，，，
∴，
与是位似图形，位似中心为点，A选项不符合题意；
与是相似图形，B选项不符合题意；
与的周长比是，C选项不符合题意；
与的面积比是，D选项符合题意；
故选：D．
3．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心，据此求解即可．
【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形，
图3中不平行，图4中对应点连线不交于一点，即与不成位似图形，
故选；C．
4．如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ．
​
【答案】 /
【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比．
【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．
5．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．

(1)以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标；
(2)若内部有一点，则其对应点的坐标是____________．
【答案】(1)作图见解析；点的坐标为，点的坐标为；
(2)．
【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，由图形即可；
（）利用位似比及点的坐标即可求解；
本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为，点的坐标为；

（2）解：∵内部有一点，位似比为，
∴其对应点的坐标为，
故答案为：．
6．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出和．
(1)先作关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到；
(2)以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换以及平移变换，根据题意确定对应点位置是解题关键．
（1）利用轴对称图形的性质和平移的性质分别作出对应点位置，再连线即可；
（2）直接利用位似图形的性质作出对应点位置，再连线即可．
【详解】（1）解：如图所示．为所求.
（2）解：如图所示．为所求.
7．如图，，，三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．
(1)在图1中以点为位似中心，作线段的位似图形，使其长度为的2倍．
(2)已知的三边比为，在图2中画格点，使与相似．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了位似图形的作图以及勾股定理的运算，掌握分类讨论的数学思想是解决第二问的关键．
（1）连接并等倍延长即可完成作图；
（2）由题意得是直角三角形，所以也是直角三角形；根据图示得，可得的三边长为：或或（舍）．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：∵的三边比为，
且，
∴是直角三角形，
∴也是直角三角形，
由图可知：
∴的三边长为：或或（舍）
如图所示：
易错点四：混淆平行投影和中心投影
平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．
易错提醒：根据不同点区分平行投影和中心投影：平行投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上）；中心投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置
例7．在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）

A．越来越小B．越来越大C．大小不变D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键．
根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小；此距离越小，影子越大．
【详解】解：当把球竖直向上靠近白炽灯时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越大，
故选：B．
例8．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是中心投影，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出，进而求出，确定点的坐标．
【详解】过点作轴，垂足为，
由题意得，米，米，
，
，
，
∵轴，
∴，
，
，
即：，
解得
，
点的坐标是，．
故选：B．
变式1．太阳光线与地面成的角，当太阳光线照射在地面上的一只皮球上时，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行投影的应用，属于基础题，解答本题的关键是建立直角三角形，然后利用三角函数值进行解答．
根据题意建立直角三角形，然后根据，即可求出答案．
【详解】解：如图，直径为，，
∵由题意得：，
∴在中，．
故选：D．
变式2．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影可能是 （填序号）．
【答案】②③④
【分析】本题主要考查投影，熟练掌握投影是解题的关键．根据投影即可得到答案．
【详解】解：矩形木框在地面上形成的投影可能是一条直线，或矩形或平行四边形，
故答案为：②③④．
变式3．如图，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它的影子是．
(1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；
(2)在图中画出表示大树高的线段；
(3)若小明的身高是，他的影长．大树的高度为，它的影长．且大树与小明之间的距离，求路灯的高度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)路灯的高度为．
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握中心投影的性质是解题的关键．
（1）延长和交于点点P，即为路灯的位置，再确定是什么光线；
（2）根据中心投影的性质作图；
（2）根据直角三角形的性质求解．
【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P的位置如图所示；
；
（2）解：即为树高如图所示；
（3）解：过P点作，垂足为G，则的长即为路灯的高度
由题意知：，，
所以，，即为等腰直角三角形，
所以
即路灯的高度为．
变式4．如下图，路灯下，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一颗大树，它的影子是．
(1)试确定路灯的位置（用点P表示）；
(2)在图中画出表示大树高的线段．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）本题考查了中心投影，解题的关键是理解对应点连线相交于一点就是路灯位置；
（2）本题考查了中心投影，解题的关键是利用路灯的位置得出大树高．
【详解】（1）解：如下图：连接并延长，交点即为路灯P的位置；

（2）如上图，连接，过点M作交于Q，即为表示大树的线段．
1．如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子（ ）
A．逐浙变长B．逐渐变短C．先变长后变短D．先变短后变长
【答案】D
【分析】此题考查了中心投影的性质，熟知平行投影与中心投影的区别是解题的关键．
根据中心投影的定义及特点即可判断．
【详解】小明从甲处向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，当小明到达路灯的下方时，他在地面上的影子变成一个圆点；
当他再次远离路灯走向乙处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越来越长，
他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长．
故选：D．
2．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行投影的意义，解题的关键是掌握同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上．
【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意，
故选：B．
3．在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（ ）
A．A的左侧B．A、B之间C．C的右侧D．B，C之间．
【答案】B
【分析】本题考查了中心投影；根据中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，根据影子与木杆的连线，可以得到光源所在位置．
【详解】解：如图所示，
故选：B．
4．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，分式方程解实际应用题，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解．
【详解】解：连接，
根据题意可得，故，
，
，
设乙的速度为，故甲的速度为，
根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即，
故可得，
解得．
故选B．
5．如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点处的D点，测得自己的影长DE为，此时该塔的影子为，她测得点D与点C的距离为，已知文文的身高DF为，求河南广播电视塔的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，D，E在同一直线上）
【答案】
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用，先证，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：太阳光是平行光线，
．
由题意得，．
，
，
．
，，
．
，，
，
．
即河南广播电视塔的高度为．
6．如图，正方形纸板在投影面α上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行，若正方形的边长为4厘米，，求投影的面积．
【答案】
【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了锐角三角函数和矩形的性质．过B点作于H，如图，利用求出的长，再利用平行投影的性质得到、的长，然后根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：过B点作于H．
∵，
∴．
∵正方形纸板在投影面α上的正投影为，
∴，，
∴四边形的面积
7．树甲在阳光下的影子如图所示.

(1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）；
(2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明．
【答案】(1)表示树丙的影子，表示树乙的影子
(2)见解析
【分析】本题考查了平行投影：
（1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，进而可求解；
（2）延长、相交于，根据平行投影的特点，即可求解；
熟练平行投影的特点是解题的关键．
【详解】（1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，如图：

表示树丙的影子，表示树乙的影子．
（2）延长、相交于，根据平行投影的特点，
如图所示时，此时树乙的影子落在树甲的影子里，树甲的高度为．
易错点五：画视图时易出错
几何体的三视图：画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
易错提醒：画物体的三视图时，一是要正对物体，而不能斜看向物体;二是看得见部分的轮廓线要画成
实线，看不到部分的轮廓线要画成虚线;三是要把看得见的边缘、棱、顶点等等都要画出来，
否则会产生错误视图，从而导致解题出错
例9．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．五棱柱B．圆柱C．长方体D．五棱锥
【答案】A
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选A．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
例10．如图是由一个圆柱体和一个正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据简单几何体的三视图的定义即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：
的主视图是：
，
故选A．
变式1．如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示．
变式2．请画出如图所示的正三棱柱的三种视图．

【答案】见解析
【分析】本题主要考查了画简单立体图形的三视图．根据三视图的定义，画出图形，即可求解．
【详解】解：正三棱柱的三种视图，如下图，

变式3．一个几何体的三视图如图（其俯视图是等边），请解答下列问题：
(1)这个几何体的名称是 ；
(2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的体积．
【答案】(1)三棱柱
(2)这个几何体的体积
【分析】此题考查了由三视图判断几何体和几何体的体积求法，正确判断出几何体的形状是解题关键．
（1）利用主视图以及俯视图即可得出该几何体是三棱柱，进而得出答案；
（2）由三视图知，三棱柱的底面是高为的等边三角形，三棱柱的高为，再用底面积乘高即可求解．
【详解】（1）解：根据三视图可得这个几何体的名称是三棱柱；
故答案为：三棱柱；
（2）解：如图，作于点D，则题意，，
是等边三角形
，
在中，
这个几何体的体积
变式4．（1）解方程：；
（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．

【答案】（1）或，（2）60
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【详解】（1），
，
，
或
（2）由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
，
∴几何体的体积是60．
【点睛】考查解一元二次方程，几何体的三视图，掌握一元二次方程的解法，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．
1．如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的用虚线表示．
【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了物体的三视图，根据从上面看到的平面图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：根据几何体可知，从上面看到的平面图形为：

故选：．
3．一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．根据从上面看到的图形即为俯视图进行求解即可．
【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
4．在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．

【答案】见解析
【分析】本题考查了画三视图；用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图；它们分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；注意看不见的轮廓线要画虚线．分别从正面、左面、上面看得到的图形即可．看到的棱用实线表示，实际存在但是被挡住看不见的棱用虚线表示．
【详解】解：如图，

5．画出如图所示组合体的三视图
【答案】画图见解析．
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图的定义即可求解，熟练掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键．
【详解】如图，
6．如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为，列式计算可得侧面积．本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．
【详解】解：根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为，
∴该几何体的侧面面积是：，
故答案为：．
7．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图

(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是___________．
(2)请你根据图中的数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【答案】(1)正六棱柱；
(2)这个密封纸盒的表面积为；
【分析】（1）通过三视图，发挥想象力可以得到答案；
（2）分别计算出侧面积和上下底面积即可得到答案．
【详解】（1）解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱；
（2）解：由图中数据可知：六棱柱的高为，底面边长为，
∴六棱柱的侧面积为，
密封纸盒的上、下底面面积为：6个等边三角形的面积，如图，

∴，
∴底面面积为：，
∴这个密封纸盒的表面积为；
【点睛】本题考查三视图与展开图的综合应用，充分发挥想象力是解题关键．
易错点六：立体感不强，数的过程易出错
易错提醒：解答此类由视图还原几何体的问题，一般情况下都是由俯视图确定几何体的位置(有几行几列)，再由另外两个视图确定几第几行第几列处有多少个小正方体，简便的方法是在原俯视图上用标注数字的方法来解答
例11．在一张桌子上摆放着一些形状、大小都相同的碟子，从3个方向看到的图形如图所示，则这个桌子上的碟子总个数是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图和左视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．
【详解】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，
由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如图所示：
故这张桌子上碟子的个数为（个），
故选：B．
例12．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据三个方向看到的图形确定每个位置的小立方体数即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知，在俯视图中每个位置的小正方体数如下所示：
∴一共需要小正方体的个数是，
故答案为：6．
变式1．由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为 ．

【答案】9
【分析】本题考查了由三视图判断小正方体的个数，根据左视图可猜想俯视图每一排的个数情况，即可求解．
【详解】由左视图和俯视图可知，

∴小正方体的最少个数为（个），
故答案为：9．
变式2．一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面，左面，上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体一共有 个小立方块．
【答案】
【分析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．从俯视图中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从主视图可以看出每一层小立方块的层数和个数，从左视图可看出每一行小立方块的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】解：如图所示，
由俯视图易得，共有小立方块（个）．
故答案为：7．
变式3．由个相同的正方体组成一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设能取到的最大值是，则多项式的值是
【答案】23
【分析】本题主要考查三视图和代数式求值，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，得出a的值，即可得出答案．
【详解】解：由题中所给出的主视图知立体图形共两列，且左侧一列高两层，右侧一列最高一层；由俯视图可知左侧两行，右侧一行，于是，可确定右侧只有一个小正方体，而左侧可能是一行单层一行两层，也可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块，能取到的最大值是5，即，则．
故答案为：23．
变式4．如图，在平整的地面上，将若干个边长均为的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角．
(1)请画出这个几何体的主视图和俯视图；
(2)若将其露在外面的面涂上一层漆（不包括与墙和地面接触的部分），则其涂漆面积为 ；
(3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的左视图和俯视图不变，则有 种添加方式．
【答案】(1)见解析
(2)16
(3)5
【分析】本题考查从不同位置看简单组合体，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．
（1）根据从不同位置看简单组合体画出主视图、俯视图即可；
（2）三种视图的面积和再加上被挡住的面积；
（3）通过左视图和俯视图，在俯视图上标注增加的个数即可．
【详解】（1）解：这个组合体的主视图、俯视图如下：
（2）解：主视图的面积为，右视图的面积为，俯视图的面积为，
被挡住的面积为，
因此涂漆部分的面积为，
故答案为：16；
（3）解：这个组合体的左视图、俯视图如下：
在俯视图上标注出相应位置增添小立方体的情况，
因此有①第1处增添1块，②第1处增添2块，③第2处增添1块，④第1处增添1块，第2处增添1块，⑤第1处增添2块，第2处增添1块，所以共有5种添加方式，
故答案为：5．
1．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．

【答案】9
【分析】本题考查了从不同的方向看几何体，解题的关键是根据从正面和上面看到的图形得出第一列最多2层，第二列最多1层，第三列最多有2层，即可求解．
【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2层，第二列最多1层，第三列最多有2层，如图所示，

∴搭成这个几何体的小立方块最多有，
故答案为：9．
2．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何体中，小正方体的个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．只要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案．根据三视图，主视图以及俯视图都是相同的，可以得出底层有个小正方体，然后第层有个小正方体，故共个小正方体．
【详解】解：由三视图可知，该几何体共行列，其中第行第列有个正方体，其余部分只有个正方体，
其分布情况如图所示：
故答案为：．
3．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，下图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．
【答案】8
【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看确定位置，正面看确定个数，进行求解即可．
【详解】解：如图：
搭成这个几何体的小立方块最多有；
故答案为：8．
4．已知由多个小立方体搭一个几何体，从正面看和从上面看到的图形如图所示，则要组成这样的几何体所需的小立方体的块数最少 块．
【答案】10
【分析】考查了由三视图判断几何体的知识，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
利用主视图即从正面看的图以及俯视图即从上面看的图可以得出这个几何体最少的块数．
【详解】解：这样的几何体不只有一种，它最少需要个小立方体．
故答案为：10．
5．如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
(1)图中有______块小正方体；
(2)该几何体从正面看到的形状图已画出，请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的该几何体的形状图．
【答案】(1)13
(2)见解析
【分析】本题考查了从不同位置看简单组合体．
（1）用两层的正方体数量加上一层的正方体数量即可；
（2）从左面看有三列，数量分别为2，2，1；从上面看有4列，数量分别为3，2，2，1，据此画图即可．
【详解】（1）解：图中有块小正方体，
故答案为：13；
（2）如图：

6．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，依次完成下列问题．

(1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；
(2)继续添加相同的小立方块与原几何体搭成一个新的几何体，使新几何体从正面、左面看到的形状图与原几何体从正面、左面看到的形状图相同，则最多可以添加________个．
【答案】(1)见解析；
(2)8
【分析】本题考查几何体的三视图，考查学生对三视图的灵活应用，具有空间想象能力是解答此题的关键．
（1）直接利用俯视图中所标数字进而得出主视图以及左视图；
（2）直接利用主视图以及左视图得出最多的排列方式．
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：从正面看到的和从左面看到的形状图不变，添加的小正方体如图，

∴最多可以再添加8个小立方块．
故答案为：8
7．如图，在平整的地面上，用若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成了一个几何体．

(1)分别在方格纸中画出这个几何体的主视图和左视图；
(2)若在原几何体上再添加一些小正方体，且得到的新几何体与原几何体的主视图和俯视图不变，则最多可以添加__________个小正方体；
(3)若在原几何体上再添加一些小正方体，且得到的新几何体与原几何体的左视图和俯视图不变，则最多可以添加__________个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)2
(3)5
【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
（1）根据简单组合体的三视图的画法，画出从正面、左面看该组合体所看到的图形即可；
（2）从俯视图的相应位置增加小立方体，直至主视图不变即可；
（3）在俯视图的相应位置减少小立方体，直至左视图不变即可．
【详解】（1）解：该组合体的主视图、左视图如图所示：
．
（2）在俯视图的相应位置最多添加相应数量的正方体，如图所示：

∴最多可以添加2个小正方体；
（3）在俯视图的相应位置最多添加相应数量的正方体，如图所示：

∴最多可以添加5个小正方体．
易错点七：把握不准图形变换前后的性质
旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等对应角相等
易错提醒：在用图形变换性质的时候，记得看准对应点、对应线段及对应角，否则易出错
例13．如图，在中，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果．
【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，
是的角平分线，Q与关于对称，
点在上，，
，
，
即，
，
，
的最小值为．
例14．如图，在中，，，于点．是上的一个动点，于点，连接．若，则的最小值是（ ）

A．5B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称—路线问题，作于，交于，连接，，根据等边三角形的判定与性质可得，点关于的对称点为点，从而得出当、、在同一直线上且时，的值最小，为，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，交于，连接，，

在中，，，
是等边三角形，
，，
，，
点关于的对称点为点，
，
，
当、、在同一直线上且时，的值最小，为，
的最小值是，
故选：B．
变式1．如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．

【答案】8
【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出．
【详解】解：过点A作于M，

是等边三角形，边长为6，
，
，
，
，
，
在中，，
当点E在DA延长线上时，，此时取最小值，
在中，，
正方形的边长为6，
，
在中，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
变式2．如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，轨迹等知识，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接，首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线上运动，求出的值，再根据，可得结论．
【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点Q在直线上运动，
点关于直线对称，
，
，
，，
，
则线段的最小值为，
故答案为：．
变式3．如图，在直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且交y轴于点E．则点E的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，根据平行线的性质得出，再根据轴对称的性质得出，则，进而得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D和点C关于成轴对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理可得，
即，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
变式4．如图1，点O为直线上一点，将一副三角板摆放在直线同侧，将角的顶点与角的顶点重合放在点O处，三角板的顶点A与三角板的顶点D在直线上，三角板保持不动，三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为．
(1)如图2，当平分时，求t的值；
(2)当时，画出相应的图形，并求t的值；
(3)三角板在旋转过程中，若平分，平分，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，分情况讨论是解题关键；
（1）根据平分，得出，然后表示出，在依据每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，即可得出方程，解答即可；
（2）根据题意可分两种种情况讨论：①当过，但并未过，②超过延长线且未过延长线时，根据角平分线的性质和角的和差关系，表示即可解答；
（3）分三种情况讨论①未超过时，②超过，但未超过时，③超过时，分别表示出，再根据平分，平分，根据角的和差关系即可求出，最后得出结论，
【详解】（1）平分，
，
绕点O以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，
，
（2）①当过，但并未过，如图
，
，
，，
，
，
②超过延长线且未过延长线时，如图
，
，
，
，
，
即：，
，
综上所述：t的值为或
（3）①未超过时，如图
，
，
，
平分，平分，
，
，
②超过，但未超过时，如图
，，
，
，
平分，平分，
，
，
③超过时，
，，
，
，
平分，平分，
，
，
，
综上所述：的度数为
1．如图，在等边三角形中，为的平分线，在上分别取点，且，在上有一动点P，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可．
【详解】解：如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：B．
2．如图，在中，的平分线交于点，点分别是上的动点，若的最小值为3，则的长是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的性质、直角三角形的特征、全等三角形的判定及性质，作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，根据轴对称图形的性质及全等三角形的性质得点在边上，结合的最小值为3和直角三角形的特征即可求解．
【详解】解：作点P关于直线的对称点，连接交于点Q，如图：
则，
∵根据对称的性质知，
∴，
又∵是的平分线，点P在边上，点Q在直线上，
∴，
∴，
∴点在边上．
∵当时，线段最短．
∵的最小值为3，即最短
∵在中，
∴
故选D
3．如图，在中，，，点B在上，且，与关于对称，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理、含有角的直角三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握相关知识是解答的关键．根据含有角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质分别表示出、，再根据轴对称得，即可表示出．
【详解】解：中，，
，
，
，
，
与关于对称，
，
，
故答案为：
4．如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F．
(1)若，，求的度数．
(2)连接，若，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明即可求解；
（2）先证明，再利用勾股定理求解即可
【详解】（1）解∶，
，
绕点顺时针旋转至，
，
；
（2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点，
旋转至的位置，旋转角为，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。
.
5．如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若，
(1)求证：是等边三角形；
(2)求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)线段AC的长度是
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转的性质证明．
（1）由旋转的性质得，，，根据等边三角形的判定定理即可求证．
（2）由等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）是由旋转得到的，
，
，，，
是等边三角形
（2）是等边三角形，
，
，
，
在中，，
6．如图，矩形中，为上一点，，动点F从点A出发沿射线方向以每秒3个单位的速度运动．连，过E作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）．
(1)当时，试求出的长．
(2)当F在线段上时，设面积为周长为W．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，W有最小值．
(3)当与相似时，求t的值．
【答案】(1)
(2) ②
(3)或 或
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；
（2）①利用三角形面积公式计算即可；②当最小时最小，作点关于的对称点，连接，此时最小；
（3）由推出，推出 ，分三种情形当点在点的左边时，即时， ，当时，当，当点在点的右边时，即时, 若时，分别构建方程求解即可；
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵，
即: ，
，
∵，
∴，
又∵是矩形，
∴，
∴，
，即:，
解得：，
当，此时 ；
（2）
的面积的面积，
即；
②如图，
，
，
根据勾股定理得， ，是定值，
所以当最小时最小，作点关于的对称点
连接，此时最小，
在中, ，
根据勾股定理得，
，
∴的最小值为；
（3）∵，
∴，
又∵，

，即 ，
，
当点在点的左边时，
即时, ，
此时, 当时，，即 ，
解得：；
此时，当时，有，即 ，
解得：；
当点在点的右边时，即时, ，
此时, 当时，
即 ，解得：；
综上， 或 或
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称的性质、矩形的性质、掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键
7．如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ．
【答案】5
【分析】连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出的长度，根据三角形三边关系确定当点Q与点E重合时，取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可．
【详解】解：如下图所示，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E．
∵正方形的边长为3，的半径为2，
．
∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，
．
．
∴，即．
∴．
．
．
∵P是上任意一点，
∴点Q在上移动．
∴．
∴当点Q与点E重合时，取得最大值为．
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键．