【开学考】2024秋高二上册开学摸底考试卷数学02（全国通用，人教B版2019）.zip

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教版B版2019
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设为虚数单位，已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
2．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量满足，且，则的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
4．斜三棱柱中，设，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的对称中心为
B．若，则的最大值为
C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为
D．若，则
7．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，，则（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．在上的投影向量的坐标为
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．B．
C．D．
11．在正四棱柱中，，，则（ ）
A．正四棱柱的侧面积为24
B．与平面所成角的正切值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．三棱锥内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，则向量与的夹角为
13．若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 .
14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于 m. （参考数据：，，，，）
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）已知复数，其中i为虚数单位，．
(1)若z为纯虚数，求；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
16．（本题满分15分）已知函数
从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一.
条件①：；
条件②：在区间单调，且；
条件③：函数相邻两个零点间的距离为.
选__________作为条件
(1)求值；
(2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值.
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中）
(1)用表示的长；
(2)若，求如图中阴影部分的面积；
(3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．
19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记.
(1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值；
(2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值；
(3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值.