新高考数学三轮冲刺 押题卷练习第13题 导数及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第6题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B．eC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即a的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
2．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）若曲线 SKIPIF 1 < 0 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设出切点横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ,
切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ,
∵切线过原点，∴ SKIPIF 1 < 0 ,
整理得： SKIPIF 1 < 0 ,
∵切线有两条，∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）曲线 SKIPIF 1 < 0 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，当 SKIPIF 1 < 0 时设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出切线方程，当 SKIPIF 1 < 0 时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，当 SKIPIF 1 < 0 时设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出切线方程，当 SKIPIF 1 < 0 时同理可得；
解： 因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又切线过坐标原点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又切线过坐标原点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又切线过坐标原点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，图象为：
所以当 SKIPIF 1 < 0 时的切线，只需找到 SKIPIF 1 < 0 关于y轴的对称直线 SKIPIF 1 < 0 即可.
[方法三]：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又切线过坐标原点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又切线过坐标原点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）若过点 SKIPIF 1 < 0 可以作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象，根据直观即可判定点 SKIPIF 1 < 0 在曲线下方和 SKIPIF 1 < 0 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：

由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，根据直观即可判定点 SKIPIF 1 < 0 在曲线下方和 SKIPIF 1 < 0 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 SKIPIF 1 < 0 .

故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，并结合导数研究的单调性，即可求 SKIPIF 1 < 0 最小值.
【详解】由题设知： SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
又 SKIPIF 1 < 0 在各分段的界点处连续，
∴综上有： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为：1.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 SKIPIF 1 < 0 ．
① SKIPIF 1 < 0 ；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， SKIPIF 1 < 0 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，满足①，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时有 SKIPIF 1 < 0 ，满足②，
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，满足③.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一， SKIPIF 1 < 0 均满足）
八大常用函数的求导公式
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）
SKIPIF 1 < 0 ；例： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
导数的四则运算
和的导数： SKIPIF 1 < 0
差的导数： SKIPIF 1 < 0
积的导数： SKIPIF 1 < 0 （前导后不导 SKIPIF 1 < 0 前不导后导）
商的导数： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
复合函数的求导公式
函数 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 （内函数），则 SKIPIF 1 < 0 （外函数） SKIPIF 1 < 0
导数的几何意义
导数的几何意义
导数 SKIPIF 1 < 0 的几何意义是曲线 SKIPIF 1 < 0 在某点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线的点斜式方程为： SKIPIF 1 < 0
用导数判断原函数的单调性
设函数 SKIPIF 1 < 0 在某个区间内可导，如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为增函数；如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为减函数.
判别 SKIPIF 1 < 0 是极大（小）值的方法
当函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处连续时，
（1）如果在 SKIPIF 1 < 0 附近的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，右侧 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是极大值；
（2）如果在 SKIPIF 1 < 0 附近的左侧 SKIPIF 1 < 0 ，右侧 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是极小值.
1．（2024·辽宁鞍山·二模） SKIPIF 1 < 0 的极大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 有极大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2024·全国·模拟预测）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求出函数 SKIPIF 1 < 0 的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义列式计算即得.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则切线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条切线，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】2
【分析】分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，设切点，由导数的几何意义得到切点坐标，从而代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，故切线斜率不可能为 SKIPIF 1 < 0 ，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
4．（2024·福建漳州·模拟预测）曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据导数的几何意义求解.
【详解】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2024·湖南衡阳·二模）曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线的点斜式可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．（2024·辽宁·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值8，则 SKIPIF 1 < 0 等于 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】求导，即可由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 求解 SKIPIF 1 < 0 ，进而代入验证是否满足极值点即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有极值8，则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不是极值点，故舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是极值点，
故 SKIPIF 1 < 0 符合题意，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的导函数），则曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.
【详解】由题意设切点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由导数几何意义知： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．（2024·全国·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据函数的导函数与函数的单调性之间的关系，结合常变量分离法、通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的可导函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为函数 SKIPIF 1 < 0 的形式，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．（2024·河南·模拟预测）若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】利用导数的几何意义得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数求得其最大值，由此得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．（2024·全国·模拟预测）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据导数的几何意义及直线的位置关系可得参数值.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
又切线与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，即 SKIPIF 1 < 0 成立，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式 ．
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.
【详解】由①得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 图象的周期为4，
由②得 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
由③得 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 为常数，
则同时满足三个条件的一个函数可以为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）.
13．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数： SKIPIF 1 < 0 .
① SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 轴的右侧；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数）.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】依题意不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件①③，再结合②求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后再确定 SKIPIF 1 < 0 的值即可.
【详解】结合①③不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，其定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
其图象在 SKIPIF 1 < 0 轴的右侧，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以满足条件①③；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 及其导函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域均为 SKIPIF 1 < 0 ，对任意的x， SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的个数是 ．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 为奇函数；③ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【分析】应用赋值法结合奇偶性的定义即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故①错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 既是奇函数又是偶函数；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
求导得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
综上可知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，故②正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确，
故说法正确的个数为2．
故答案为：2.
15．（2024·全国·模拟预测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）存在一条过公共点的切线，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】第一步：设函数 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出 SKIPIF 1 < 0 的导函数；第二步：根据导数的几何意义列方程组 SKIPIF 1 < 0 ；第三步：解方程组即可得解.
【详解】第一步：设函数 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出 SKIPIF 1 < 0 的导函数
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
第二步：根据导数的几何意义列方程组
设两曲线的公共点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
第三步：解方程组即可得解
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若曲线 SKIPIF 1 < 0 的所有切线中斜率最小的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】8
【分析】求导结合基本不等式得到 SKIPIF 1 < 0 的最小值，再根据题意得关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解方程得到 SKIPIF 1 < 0 的值，得到切点的坐标，将切点坐标代入直线方程得到 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的所有切线中斜率最小的切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点为 SKIPIF 1 < 0 .
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】先利用条件求出 SKIPIF 1 < 0 的关系式，构造函数求解最小值即可；或者把条件变形为 SKIPIF 1 < 0 ，求出左边的最值，求解不等式可得答案.
【详解】方法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，两边同时取对数，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4．
方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4．
故答案为：4.
18．（2024·山西·模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.
【详解】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上都是增函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
19．（2024·贵州·模拟预测）过点 SKIPIF 1 < 0 作曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线，请写出切线的方程 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】设切点 SKIPIF 1 < 0 ，求导并写出切线方程，代入点 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 值即可.
【详解】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，故切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为切线过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则切点为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则代入得切线方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
20．（2024·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数，则曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用奇函数性质求 SKIPIF 1 < 0 时对应解析式，再由导数几何意义求切线方程.
【详解】由题设，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
21．（2024·云南楚雄·模拟预测）曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.25
【分析】先求出切线方程，后求围成的三角形面积即可.
【详解】易知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故切点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
易知围成的图形是三角形，设面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
22．（2024·湖南长沙·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，求导后得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，又由 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求解.
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
23．（2024·山西临汾·一模）设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 有两条斜率为 SKIPIF 1 < 0 的切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，分析可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式组，解之即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为曲线 SKIPIF 1 < 0 有两条斜率为 SKIPIF 1 < 0 的切线，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不等的零点，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
24．（2024·云南大理·模拟预测）函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】分类讨论去解析式中的绝对值，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最大值.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
25．（2024·全国·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】首先将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，并利用导数求函数 SKIPIF 1 < 0 值域，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围.
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
26．（2024·广西南宁·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 无限趋近于负无穷大时， SKIPIF 1 < 0 无限趋向于负无穷大， SKIPIF 1 < 0 没有最小值，不符合题意；
综上， SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
27．（2024·广东·模拟预测） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的极值点个数为 个．
【答案】2
【分析】
利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
满足 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，端点值不能做为极值点，舍去；
满足 SKIPIF 1 < 0 的根有两个 SKIPIF 1 < 0 ，
根据正弦函数的性质可知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的极值点个数为2个.
故答案为：2
28．（2024·云南·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有一个极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
求导，分离参数，转化为函数交点个数求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有一个极值点，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有唯一解，且左右函数值异号.
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
29．（2024·全国·模拟预测）曲线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设出两曲线的切点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，由导数的意义可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由点斜式得出公切线方程 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 代入直线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，求导分析单调性得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，最后得到直线方程.
【详解】设曲线 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则公切线的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为公切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入公切线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 0，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故公切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
30．（2024·江苏·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】经求导转化可知，函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点.，故只需研究函数 SKIPIF 1 < 0 的图象即可求得参数范围.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 求导， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 不满足此式，故可得： SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，即函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点.
由 SKIPIF 1 < 0 求导， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得极小值 SKIPIF 1 < 0 .
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 从0的左边趋近于0时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 从0的右边趋近于0时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
故可作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图.

由图可知：函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点等价于 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .考点
4年考题
考情分析
导数
及其应用
2023年新高考Ⅱ卷第6题
2022年新高考Ⅰ卷第15题
2022年新高考Ⅱ卷第14题
2021年新高考Ⅰ卷第7、15题
2021年新高考Ⅱ卷第14题
导数及其切线方程，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查以切线为背景求参数范围、求切线方程、求最值等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将继续以切线为背景展开命题．