第十章　必刷小题19　计数原理与概率-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
必刷小题19　计数原理与概率
一、单项选择题1.现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是A.15　　　B.31　　　C.24　　　D.23
除100元人民币以外的三张人民币中，每张均有取和不取2种情况，两张100元人民币的取法有不取、取一张和取两张3种情况，再减去五张人民币全不取的1种情况，所以共有23×3－1＝24－1＝23(种).
2.(2024·马鞍山模拟)据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具.算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空.如图所示.如：10记为 ，26记为 ，71记为 .现有4根算筹，可表示出两位数的个数为A.8　　　B.9　　　C.10　　　D.12
由题意知，共有4根算筹.当十位1根，个位3根，共有2个两位数；当十位2根，个位2根，共有4个两位数；当十位3根，个位1根，共有2个两位数；当十位4根，个位0根，共有2个两位数，所以一共有10个两位数.
3.(2023·桂林模拟)甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是　　　　　　　　　
恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中或甲没有击中乙击中，这两个是互斥事件，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可得P＝0.8×0.6＋0.2×0.4＝0.56.
4.若 的展开式中各项系数的和为2，则展开式中的常数项为A.－720　　　B.－360　　　C.360　　　D.1 080
令x＝1，则展开式的各项系数和为a＋1＝2，解得a＝1，
设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，
又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，
6.(2023·益阳模拟)某单位安排7位员工在“十·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种 B.960种C.1 008种 D.1 200种
因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种).
7.(2023·新余模拟)据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增长，购买电动汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶电动汽车的教职工充电，在停车场开展充电桩安装试点.如图，试点区域共有十个车位，
安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的一辆电动汽车充电.现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域(停车前所有车位都空置)，请问2辆电动汽车能同时充上电的概率为
8.(2023·石家庄模拟)为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有两名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读(不同的同学可以阅读相同的图书)，则这三名同学选取图书的不同情况有A.144种 B.162种C.216种 D.288种
二、多项选择题9.已知事件A，B满足P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是
对于选项B，如果B⊆A，那么P(A∪B)＝P(A)＝0.6，选项B正确；对于选项C，如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以选项C正确；
10.(2023·岳阳模拟)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B为“只有甲同学一人报名‘关怀老人’项目”，则A.四名同学的报名情况共有34种B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种C.“四名同学最终只报名了两个项目”的概率是D.P(B|A)＝
由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，则报名情况共有3×3×3×3＝34(种)，故A正确；
“四名同学最终只报名了两个项目”，此时可先选出两个项目，报名情况为分别有两人报名这两个项目，或者一人报名其中一个，另三人报名另一个项目，
事件B为“只有甲同学一人报名‘关怀老人’项目”，若A，B同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”项目，
11.(2024·屯溪模拟)已知f(x)＝(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则下列描述正确的是A.a1＋a2＋…＋a8＝1B.f(－1)除以5所得的余数是1C.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28D.2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1；令x＝0，得a0＝28.则a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故A错误；
由通项公式知，(2－x)8二项展开式中偶数项的系数为负数，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝－a1＋a2－a3＋…＋a8，由(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝0，得到a0＝28，
令x＝－1，得到a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，故C正确；原表达式的两边同时对x求导，得到－8×(2－x)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，得到a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，令x＝0，得a1＝－8×27，所以2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8＋8×27＝8(27－1)，故D错误.
12.(2023·福州质检)一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件Ak表示“第k只出笼子的猫是黑猫”，k＝1,2，…，10，则
事件A1A2表示“第1,2只出笼子的猫都是黑猫”，
事件A1＋A2表示“第1只或第2只出笼子的猫是黑猫”，
事件A2A10表示“第2,10只出笼子的猫都是黑猫”，
三、填空题13.(2024·娄底模拟)已知 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是______.
所以展开式第三项的系数是60.
14.若从集合{1,2,3,4,5}中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2个连续整数的概率等于_____.
当连续整数为1,2时，此时符合条件的子集有2个；当连续整数为2,3时，此时符合条件的子集有1个；当连续整数为3,4时，此时符合条件的子集有1个，当连续整数为4,5时，此时符合条件的子集有2个，故有6个子集中恰好含有两个连续整数.
15.(2023·怀化模拟)信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则不同的安排方法有________ 种.
由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计，每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况，
故共有480＋1 080＝1 560(种)不同的安排方法.
16.(2023·佛山模拟)有n个编号分别为1,2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是____，从第n个盒子中取到白球的概率是___________.
记事件Ai表示从第i(i＝1,2，…，n)个盒子里取出白球，