第五章　§5.1　平面向量的概念及线性运算-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

这是一份第五章　§5.1　平面向量的概念及线性运算-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习），文件包含第五章§51平面向量的概念及线性运算pptx、第五章§51平面向量的概念及线性运算教师版docx、第五章§51平面向量的概念及线性运算同步练习docx、第五章§51平面向量的概念及线性运算-2025新高考一轮复习讲义学生版docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。

1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§5.1　平面向量的概念及线性运算
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有　　 的量叫做向量，向量的大小称为向量的____(或称　　).(2)零向量：长度为　　的向量，记作　　.(3)单位向量：长度等于　　　　　　的向量.(4)平行向量：方向相同或　　　的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量　　　.(5)相等向量：长度相等且方向　　　的向量.(6)相反向量：长度相等且方向　　　的向量.
3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　)(2)单位向量都相等.(　　)(3)任一非零向量都可以平行移动.(　　)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.(　　)
2.下列命题正确的是A.零向量是唯一没有方向的向量B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
D.平行向量不一定是共线向量
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
3.(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是
即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
题型一　平面向量的基本概念
例1　(1)(多选)下列说法正确的是
对于A，由相等向量的定义知，A正确；
对于C，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误；
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
跟踪训练1　(1)(多选)下列关于向量的说法正确的是
对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.
综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误.
(2)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是
题型二　平面向量的线性运算
命题点1　向量加、减法的几何意义
A.[3,7] B.(3,7)C.[3,11] D.(3,11)
命题点2　向量的线性运算
A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n
命题点3　根据向量线性运算求参数
如图，在矩形ABCD中，
平面向量线性运算的解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值.
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于点F，
题型三　共线定理及其应用
例5　(1)(2023·徐州模拟)已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝________.
因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，
如图，延长AG交BC于点F，则F为BC的中点，
又G，D，E三点共线，
利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
且B，P，N三点共线，
因为六边形ABCDEF为正六边形，
2.如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为A.2e1－3e2B.3e1－2e2C.2e1＋3e2D.3e1＋2e2
由题意得a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，c＝e1＋2e2，所以a＋b＋c＝e1＋2e2＋e1－2e2＋e1＋2e2＝3e1＋2e2.
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4.(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相反，则实数x的值为
因为c与d方向相反，所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb，
整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，
A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上
A.4 B.3C.2 D.1
所以G为△ABC的重心，
∵AB∥CD，AB＝2DC，
所以四边形ABCD是梯形，
所以梯形ABCD的两个腰相等，所以四边形ABCD是等腰梯形.
10.(2023·徐州模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2 024，则|e1＋e2＋…＋e2 024|的最大值是________，最小值是____.
当单位向量e1，e2，…，e2 024方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2 024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 024|＝2 024；当单位向量e1，e2，…，e2 024首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 024＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2 024|的最小值为0.
如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F，
所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，
又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，
在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
(2)求证：B，E，F三点共线.
因为CO与AB交于点D，所以O，C，D三点共线，