专题08 数列（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考专用）

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易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）
1、等差数列的定义
（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
（2）符号语言：(，为常数)．
2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
3、通项公式与前n项和公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
（3）等差数列与函数的关系
= 1 \* GB3 ①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．
= 2 \* GB3 ②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.
已知数列是等差数列，是其前项和．
1、等差数列通项公式的性质：
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
2、等差数列前项和的性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
（1）若项数为，则，；
（2）若项数为，则，，，.
最值问题：解决此类问题有两种思路：
一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；
二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可
易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.
例 ．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值.
变式1．数列是等差数列，，．
(1)从第几项开始有？
(2)求此数列的前项和的最大值．
变式2．记为等差数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值．
变式3．等差数列，，公差．
(1)求通项公式和前项和公式；
(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．
1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（ ）
A．20B．17C．19D．21
2．已知等差数列的前n项和为， ，且，则取得最小值时n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（ ）
A．15B．750C．D．
4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．2021B．2022C．4042D．4043
5．设是等差数列，是其前n项和，且， ，则下列结论正确的是（ ）.
A．B．
C．D．与均为的最大值
6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．设的前项和为，则时，的最大值为27
7．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是为等差数列的充要条件
B．可能为等比数列
C．若，，则为递增数列
D．若，则中，，最大
8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．有最大值
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当时，D．当或4时，取得最大值
10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为 ．
11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝ ．
易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）
1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。
数学语言表达式： (，为非零常数)．
2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前n项和公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项）
1、等比数列的基本性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有
口诀：角标和相等，项的积也相等 推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。
易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。
例 ．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）
A．5B．10C．15D．20
变式1．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A．B．C．D．
变式2．已知，如果，，，，成等比数列，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
变式3．已知等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．或D．
1．已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．不存在
2．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ）
A．1B．2C．81D．80
3．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（ ）
A．1B．C．5D．
4．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或7
7．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
8．在数列中，，，则（ ）．
A．B．
C．D．
9．已知是等差数列，公差，前项和为，若，，成等比数列，则
A．，B．，C．，D．，
10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
11．已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A．398B．388
C．189D．199
易错点三：忽略等比数列求和时对的讨论（等比数列求和）
等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
（2）对，有；
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）
易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..
例 ．设等比数列的前n项和为.已知，，则 .
变式1．记为等比数列的前n项和，若，，则 ．
变式2．在等比数列中，，，令，求数列的前n项和．
变式3．数列前项和满足，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和．
1．已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
2．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．
4．在等比数列中，，，则（ ）
A．的公比为4B．的前20项和为170
C．的前10项积为D．的前n项和为
5．已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为 .
6．已知等比数列的前n项和为，，且－3，，成等差数列，则数列的通项 ．
7．设为等比数列的前项和，若，，则
8．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则 ．
9．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则 ．
10．数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为 ．
11．在正项等比数列中，已知，，则公比 ．
易错点四： 由求时忽略对“”的检验（求通项公式）
类型1 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型2 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型3 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型4 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型5 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型6 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型7 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型8 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
易错提醒：在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验.
例 ．已知数列和，其中的前项和为，且，.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)记，求证：.
变式1．数列 的前n项和，已知，，k为常数.
(1)求常数k和数列的通项公式；
(2)数列 的前n项和为，证明：
变式2．设各项均为正数的数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.
变式3．已知数列的前项和为，且（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
1．已知数列的前项和为，且.
(1)当时，求；
(2)若为等比数列，求的值.
2．已知数列的前项和为，且与的等差中项为.
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
3．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求；
(2)记，求数列的前n项和.
4．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.
(1)求的通项公式；
(2)当时，设数列的前项和为，证明：.
5．在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
6．已知数列的前项和是，且.
(1)证明：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
7．已知首项为4的数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
8．设数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
9．设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．
(1)求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求时，n的最小值．
10．已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
11．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）
常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
积累裂项模型6：阶乘
（1）
（2）
常见放缩公式：
（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。
例 ．已知数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：.
变式1．记为数列的前n项和，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
变式2．已知首项为1的数列，其前项利为，且数列是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
变式3．已知数列为非零数列，且满足.
(1)求及数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.
1．已知是数列的前项和，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，数列的前项和为，证明：．
2．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.
(1)求的通项公式；
(2)当时，设数列的前项和为，证明：.
3．在数列中，为数列的前项和，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若.求数列的前项和.
4．设数列前n项和为，，.
(1)求，及的通项公式；
(2)若，证明：.
5．已知等差数列的前n项和为，且，数列的前n项之积为，，且．
(1)求；
(2)令，求正整数n，使得“”与“是，的等差中项”同时成立；
(3)设，，求数列的前2n项和．
6．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
(1)求，的通项公式
(2)设，求 ；
(3)设，数列的前项和为，求.
7．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式
(2)若，数列的前n项和为，证明：.
8．设为数列的前项和，
(1)求的通项公式；
(2)若数列的最小项为第项，求；
(3)设数的前项和为，证明：
9．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
10．已知数列满足，且.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)已知数列满足，求的前项和.