哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．一元二次不等式的解为,那么的解集为( )
A.B.C.D.
3．的展开式中,x的系数为( )
A.96B.144C.180D.216
4．根据条件:a,b,c满足,且,有如下推理:①②③④其中正确的是( )
A.①②B.③④C.①③D.②④
5．已知a,b为正实数,且,则的最小值为( )
A.3B.4C.5D.6
6．从0,1,2,,9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数,其中大于130的共有( )
A.520个B.631个C.632个D.647个
7．若函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A.B.C.D.
8．若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A.B.C.1D.
二、多项选择题
9．下列各组函数表示同一个函数的是( )
A.,;
B.,.
C.,.
D.,.
10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数（例如若,,则）,已知出现“0”的概率为,出现“1”的概率为,记,则当程序运行一次时( )
A.X服从二项分布B.C.D.
11．已知定义在R上的函数,,其导函数分别为,,,,且,则( )
A.的图象关于点中心对称
B.
C.
D.
三、填空题
12．已知一系列样本点的一个经验回归方程为,若样本点的残差为1,则________.
13．若命题“,”是假命题,则实数b的取值范围为________.
14．设函数.若,则ab的最小值为________.
四、解答题
15．设集合,.
（1）当时,求;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
16．近期,一些地方中小学生“课间10分钟”问题受到社会广泛关注,国家号召中小学要增加学生的室外活动时间.但是进入12月后,天气渐冷,很多学生因气温低而减少了外出活动次数.为了解本班情况,一位同学统计了一周（5天）的气温变化和某一固定课间该班级的学生出楼人数,得到如下数据:
（1）利用最小二乘法,求变量x,y之间的线性回归方程;
附:用最小二乘法求线性回归方程的系数:,
（2）预测当温度为时,该班级在本节课间的出楼人数（人数:四舍五入取整数）.
（3）为了号召学生能够增加室外活动时间,学校举行拔河比赛,采取3局2胜制（无平局）.在甲、乙两班的较量中,甲班每局获胜的概率均为,设随机变量X表示甲班获胜的局数,求X的分布列和期望.
17．已知函数.
（1）求证:;
（2）若当时,,求a的取值范围.
18．2024年3月14日,某班级为纪念“国际圆周率日”,特举办数学题答题比赛.已知赛题共6道（各不相同）,其中3道为高考题,另3道为竞赛题,参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答,答对则继续,答错或者6道题都答完即停止并记录答对题数.
（1）举办方进行模拟抽题,设第X次为首次抽到竞赛题,求X的分布列;
（2）A同学数学成绩优异,但没有参加过竞赛培训,高考题答对的概率为100%,竞赛题答对的概率为20%.
①求A同学停止答题时答对题数为1的概率;
②已知A同学停止答题时答对题数为2,求这两题抽到竞赛题题数Y的均值.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调区间与极值;
（2）若且恒成立,求的最大值;
（3）在（2）的条件下,且取得最大值时,设,且函数有两个零点,,求实数t的取值范围,并证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：由,得,解得,
所以,
因为,所以,
故选:C
2．答案：D
解析：一元二次不等式的解为,
所以的解为,,且,
由韦达定理得,代入得
,
故选:D.
3．答案：D
解析：.当时,,
故选:D.
4．答案：B
解析：由,因为,所以,
对于b的值可正可负也可为0,
因为,而,所以,所以①错误;
因为,,从而,所以②错误;
因为,当时,,
当时,由,所以③正确;
因为,,④正确;
综上可知,③④正确.
故选:B.
5．答案：B
解析：因为a,b为正实数,且,
所以,
当且仅当等号成立.
故选:B.
6．答案：B
解析：（1）若百位数大于1,此时三位数均符合题意,共有个;
（2）若百位数为1,则有:
①若十位数大于3,此时三位数均符合题意,共有个;
②若十位数为3,符合题意的三位数共有个;
综上所述:共有个.
故选:B.
7．答案：C
解析：因为，所以为奇函数.故选C.
8．答案：B
解析：显然首先，，
不等式，
令，，
则，
所以在定义域内严格单调递增，
所以若有成立，
则必有，
即对于任意的恒成立，
令，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
从而，所以m的取值范围是，
即实数m的最大值为.
故选：B
9．答案：AB
解析：对于A,,其对应法则、定义域均相同,且与函数名用的哪个字母没有关系,故A符合题意;
对于B,,其对应法则、定义域均相同,且与自变量、函数名用的哪个字母没有关系,故B符合题意;
对于C,的定义域为,的定义域为,即,的定义域不同,故C不符合题意;
对于D,,这表明,对应法则不同,故D不符合题意.
故选:AB.
10．答案：AC
解析：由二进制数A的特点知,每一个数位上的数字只能填0,1且每个数位上的数字互不影响,
故X中1出现次数的可能取值有0,1,2,3,4,5,则X可能取值情况与之相同,
由二项分布的定义可得:,故A正确.
故,故B错误;
所以,,故C正确,D错误.
故选:AC.
11．答案：ABC
解析：由题意可得,两式相减可得①,
所以的图象关于点成中心对称,故A正确;
由②,②式两边对x求导可得,
可知是偶函数,以替换①中的x可得,
可得,所以是周期为4的周期函数,故B正确;
因为,可知也是周期为4的周期函数,
即,两边求导可得,所以,故C正确;
因为,令,则,即,
又因为是偶函数,所以,又因为是周期为4的周期函数,
则,由可得,
所以,故D错误.
故选:ABC.
12．答案：
解析：根据题意得,解得.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为命题“,”是假命题,
所以命题“,”是真命题,
又当时,,
当且仅当,即时等号成立,
所以,
所以,
所以实数的取值范围为,
故答案为:.
14．答案：/
解析：当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,
当时,,此时要使,还需恒成立,即还需,
综上所述,,即,
所以,所以ab的最小值为,等号成立当且仅当,.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,,
所以;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集,
所以,且等号不同时成立,解得,
所以实数m的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）19
（3）分布列见解析;期望为
解析：（1）,,
,
,
,,
回归直线方程为.
（2）当时,（人）,
所以,预测当温度为时,该班级在本节课间的出楼人数为19人.
（3）随机变量X可取0,1,2.
,
,
,
所以X的分布列为:
所以X的数学期望为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）令,,
则,
所以当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以恒成立,
即恒成立,
又,所以恒成立,即.
（2）当时,等价于,
令,,
因为在上恒成立,则在上恒成立,
因为,
当时,,函数在上单调递减,,不符合题意;
当时,
则当时,,函数单调递减,,不符合题意;
当时,,,则,
所以函数在上单调递增,,符合题意.
综上所述,a的取值范围为.
18．答案：（1）分布列见解析
（2）①,
②.
解析：（1）由题意知:X可能取1,2,3,4
,.
,,
所以X的分布列为:
（2）①设“A同学停止答题时答对题数为1”为事件D
“A同学第一次抽中高考题,第二次抽中竞赛题并答错”为事件,
“A同学第一次抽中竞赛题并答对,第二次还抽中竞赛题并答错”为事件,
则,,
所以.
②由A同学停止答题时答对题数为2,
设事件“第次选中竞赛题没答对”,“第次选中竞赛题并答对”,“第i次选中选中高考题”,
答题结束时答对2题的概率为:
,
易知Y可能取0,1,2,
,
,
,
所以Y的分布列为:
所以
19．答案：（1）答案见解析
（2）.
（3）,证明见解析
解析：（1）
当时,恒成立,在递增,无极值;
当时,得;得,
所以在递减,在递增,
故,无极大值;
（2）当时,由（1）知.
由得,即,
故,当且仅当时成立,
即.
（3）由（2）知,当时,
令,则有两个零点,,当且仅当.
有两个零点,等价于的两个零点,
即
由（*）式得
要证,即证,即证
即证
即证（令,）,即证
令,,在递增,故
,即成立,故原不等式成立,证毕.
温度（零下）
7
10
11
15
17
出楼人数
20
16
17
10
7
X
0
1
2
p
X
1
2
3
4
P
Y
0
1
2
P