新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（2份打包，原卷版+含解析）

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一、累加法
形如 SKIPIF 1 < 0 型的递推数列（其中 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的函数）可构造： SKIPIF 1 < 0
将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子两边分别相加，可得： SKIPIF 1 < 0
= 1 \* GB3 ①若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的分式函数，累加后可裂项求和．
二、累乘法
形如 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 型的递推数列（其中 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的函数）可构造： SKIPIF 1 < 0
将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子两边分别相乘，可得： SKIPIF 1 < 0
三、构造法
1.第一种形式：形如 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 均为常数且 SKIPIF 1 < 0 ）型的递推式
（1）若 SKIPIF 1 < 0 时，数列{ SKIPIF 1 < 0 }为等差数列；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 时，数列{ SKIPIF 1 < 0 }为等比数列；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，数列{ SKIPIF 1 < 0 }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设 SKIPIF 1 < 0 ，展开移项整理得 SKIPIF 1 < 0 ，与题设 SKIPIF 1 < 0 比较系数（待定系数法）得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 SKIPIF 1 < 0 的通项整理可得 SKIPIF 1 < 0
法二：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 两式相减并整理得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列．求出 SKIPIF 1 < 0 的通项再转化为累加法便可求出 SKIPIF 1 < 0
2.第二种形式：形如 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 型的递推式
（1）当 SKIPIF 1 < 0 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 SKIPIF 1 < 0 ，通过待定系数法确定 SKIPIF 1 < 0 的值，转化成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等比数列的通项公式求出 SKIPIF 1 < 0 的通项整理可得 SKIPIF 1 < 0
法二：当 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 时，由递推式得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 转化为第一种形式，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再用累加法便可求出 SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 SKIPIF 1 < 0 ，通过待定系数法确定 SKIPIF 1 < 0 的值，转化成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等比数列的通项公式求出 SKIPIF 1 < 0 的通项整理可得 SKIPIF 1 < 0
法二：当 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 时，由递推式得： SKIPIF 1 < 0 ——①， SKIPIF 1 < 0 ，两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ——②，由①②两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，在转化为第一种形式便可求出 SKIPIF 1 < 0
法三：递推公式为 SKIPIF 1 < 0 （其中p，q均为常数）或 SKIPIF 1 < 0 （其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，引入辅助数列 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），得： SKIPIF 1 < 0 再应用类型第一种形式的方法解决．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 为任意数列时，可用通法：
在 SKIPIF 1 < 0 两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 可得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在转化为累加法，求出 SKIPIF 1 < 0 之后得 SKIPIF 1 < 0 ．
二、题型精讲精练
【典例1】在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【典例2】已知数列{}，，，求通项公式.
【典例3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、解答题
3．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，已知 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练2-刷模拟】
1.累加法
一、单选题
1．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．31C．22D．23
4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的第100项为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且对任意的正整数n，都满足： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6065B．6064C．4044D．4043
8．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．10.5B．10.6C．10.4D．10.7
二、填空题
10．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 中最大项的数值为 ．
11．设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = .
12．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前100项的和为 .
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均不为零，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
14．数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
15．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为2.数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
16．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 .
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
18．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 SKIPIF 1 < 0 个图形包含 SKIPIF 1 < 0 个小正方形.

(1)求出 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)归纳出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系式，并根据你得到的关系式求 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(3)求证： SKIPIF 1 < 0 .
19．设各项都为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
20．设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)在数列 SKIPIF 1 < 0 的任意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 项之间，都插入 SKIPIF 1 < 0 个相同的数 SKIPIF 1 < 0 ，组成数列 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
2.累乘法
一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．n
3．数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为正整数），则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则满足不等式 SKIPIF 1 < 0 的最大正整数 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．20B．19C．21D．22
二、填空题
6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 ．
7．在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 ．
8．数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则通项 SKIPIF 1 < 0 ．
三、解答题
9．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是公差为2的等差数列，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积．
3.构造法
一、单选题
1．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在数列 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等比数列B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等比数列D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2023
6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .
8．）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
9．数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列{an}的通项公式为 .
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则正整数 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
12．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 ．
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
三、解答题
14．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，求 SKIPIF 1 < 0 ．
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
16．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .
17.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立．
19．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Sn，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
20．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．