山西省太原市2023-2024学年高一下学期期末学业诊断数学试卷

这是一份山西省太原市2023-2024学年高一下学期期末学业诊断数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．为了解某校高中3000名学生的身高情况,从中抽取了100名学生进行调查,则这100名学生是( )
A.总体B.样本C.样本量D.个体
2．某公司有员工30名,其中包含经理一名,保洁一名,为了调查该公司员工的工资情况,拟采用以下两种方案:方案一,调查公司全部30名员工的工资情况;方案二,收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围,只调查其他28名员工的工资情况.这两种调查方案得到的数据,一定相同的是( )
A.中位数B.平均数C.极差D.方差
3．已知平面,和直线a,b,若,,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.a与b异面D.a与b无公共点
4．“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标,常用区间内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高,现随机抽取8位市民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,7,9,4,5,则该组数据的第75百分位数为( )
A.6.5B.7C.7.5D.8
5．某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行,甲乙两人参加比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.4,乙获胜的概率为0.6.现用计算机产生1~5之间的整数随机数,当出现1或2时,表示此局比赛甲获胜,当出现3,4或5时,表示此局比赛乙获胜.在一次试验中,产生了20组随机数如下:
534,123,512,114,125,334,432,332,314,152
423,443,423,344,541,453,525,151,354,345
根据以上数据,利用随机模拟试验,估计甲获得冠军的概率为( )
B.0.3C.0.7
6．现有甲,乙两台机床同时生产直径为40mm的零件,从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量,其结果如图所示,则下列结论不正确的是( )
A.甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差
B.乙机床数据比甲机床数据更稳定
C.甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数
D.甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数
7．已知m,n为两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列结论正确的是( )
A.若,,,则B.若,,,则
C.若,,,则D.若,,,则
8．已知甲,乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同）,且乙袋中球数是甲袋中球数2倍,若从甲袋中随机摸一个球,摸到红球的概率为,而将甲,乙两个袋子中的球装在一起后,从中随机摸一个球,摸到红球的概率为,则从乙袋中随机摸一个球,摸到红球的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论正确的是( )
A.任何事件的概率总是在内
B.随着试验次数的增加,频率会逐渐稳定于概率
C.抛掷一枚硬币,试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率
D.随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率
10．连续抛掷两次骰子,“第一次抛掷结果向上的点数小于3”,“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”,“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”,“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”,则下列结论正确的是( )
A.A与B是互斥事件B.C与D是互斥事件
C.A与B是相互独立事件D.C与D是相互独立事件
11．已知两组样本数据,,…,和,,…,的均值和方差分别为,和,,则下列结论正确的是( )
A.若,且,则
B.若,且,则
C.若,且,则
D.若,且,,则
12．如图,矩形ABCD中,,M为BC的中点,将沿直线AM翻折至,连接,N为的中点,则在翻折过程中,下列结论正确的是( )
A.CN的长是定值
B.存在某个位置,使得
C.存在某个位置,使得平面平面
D.当三棱锥的体积取最大值时,其外接球的表面积是
三、填空题
13．某校高一,高二,高三的学生人数比为,按年级分层,采用样本量比例分配进行分层随机抽样,抽取了容量为56的样本,则高三年级应该抽取人数为________.
14．投掷两枚质地均匀的硬币,用表示“第i枚硬币正面朝上”,表示“第i枚硬币反面朝上”,则该试验的样本空间________.
15．甲,乙两人进行投篮比赛,比赛中甲,乙各投篮10次.已知甲,乙投中的次数都不少于8次,甲投中8次,9次,10次的概率分别为0.6,0.3,0.1,乙投中8次,9次,10次的概率分别为0.7,0.2,0.1,且甲,乙两人投中与否相互独立,则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为________.
16．如图,棱长为1的正方体中,P为线段的中点,M,N分别为线段和棱上的动点,则的最小值为________.
四、解答题
17．甲,乙两名射箭运动员在10次射箭训练中,射中的环数分别为:
甲9,10,8,9,9,7,8,9,10,8
乙9,9,8,8,10,9,9,8,8,9
（1）计算这10次训练中甲,乙射中环数的平均数和方差;
（2）从计算结果看,哪位运动员的射箭技术更好?
18．甲,乙两歌迷进行听歌曲旋律猜歌名的游戏,已知甲猜出歌名的概率为0.8,乙猜出歌名的概率为0.6,甲和乙猜出与否互不影响.
（1）求甲,乙都猜出歌名的概率;
（2）求甲,乙两人中至少有一人猜出歌名的概率.
19．某校为普及安全知识,举办了安全知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六组:,,…,,整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中m的值,并估计这次竞赛的平均成绩;
（2）按照成绩从高到低选出样本中前15%的学生组成安全宣传队,请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分?
（3）在（2）的条件下,按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干,再从这6人中随机选取2人担任正副队长,求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率.
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,.
（1）证明:平面PAD;
（2）当二面角的正切值为时,求直线BD与平面PBC所成角的大小.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意,从中抽取了100名学生进行调查,则这100名学生是一组样本.
故选:B
2．答案：A
解析：由题意,公司30名员工的工资情况组成30个数据,按大小顺序排列,排在中间的两个数的平均数是中位数,去掉收入最高的经理和收入最低的保洁的工资,即去掉一个最大值和一个最小值,剩余28个数据按大小顺序排列,排在中间的两个数还是原来的两个数,所以这两个数的平均数不变,即中位数不变;
平均数是与每一个数据都有关系的量,方差也是与每一个数据都有关系的量,所以会变化;
极差是与最大值和最小值有关系的量,所以也会发生变化.
故选:A.
3．答案：D
解析：依题意,若,,则,
又,所以a,b没有公共点,
a与b可能异面,平行,垂直,
所以D选项正确,ABC选项错误.
故选:D.
4．答案：C
解析：该组数据从小到大的排序是:4,5,5,6,7,7,8,9,且,
则该组数据的第75百分位数为.
故选:C.
5．答案：B
解析：根据题意,在20组随机数中,表示甲获胜的有:123,512,114,125,152,151,共6种情况,
所以可估计甲获得冠军的概率为.
故选:B.
6．答案：C
解析：对于A:甲机床数据的极差为,乙机床数据的极差为,
所以甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差,故A正确;
对于B:乙机床数据比甲机床数据更集中,所以乙机床数据比甲机床数据更稳定,故B正确;
对于C:甲机床数据的平均数为,
乙机床数据的平均数为,
故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数,故C错误;
对于D:甲机床数据从小到大排列为:39.8,39.8,39.8,39.9,40,40,40.1,40.2,40.2,40.2,故中位数为,
乙机床数据从小到大排列为:39.9,39.9,39.9,40,40,40,40,40.1,40.1,40.1,故中位数为,故D正确.
故选:C
7．答案：D
解析：对于选项A,若,,,则或或m,n为异面直线,故选项A错误;
对于选项B,若,,,则或或m,n为异面直线,故选项B错误;
对于选项C,若,,,则或,故选项C错误;
对于选项D,设直线,因为,则,又,所以,
因为,所以,所以,故选项D正确.
故选:D.
8．答案：C
解析：假设甲袋中的总球数为x,因为从甲袋中随机摸一个球,摸到红球的概率为,
则甲袋中有个红球,个白球,
又乙袋中球数是甲袋中球数2倍,乙袋中的总球数为2x;
因为将甲,乙两个袋子中的球装在一起后,从中随机摸一个球,摸到红球的概率为,
所以甲,乙两袋中共有个红球,所以乙袋中有个红球,
因而从乙袋中摸到红球的概率为.
故选:C.
9．答案：BD
解析：对于选项A:任何事件的概率总是在内,例如必然事件的概率为1,故A错误;
对于选项B:根据频率与概率之间的关系可知:随着试验次数的增加,频率会逐渐稳定于概率,故B正确;
对于选项C:由选项B可知:随着试验次数的增加,频率会逐渐稳定于概率,
但该结论为总体效果,对具体情况不一定成立,故C错误;
对于选项D:因为,则,
且随机事件A,B中至少有一个发生的概率为,
A,B中恰有一个发生的的概率为,
所以随机事件A,B中至少有一个发生的概率一定不小于A,B中恰有一个发生的概率,故D正确;
故选:BD.
10．答案：BC
解析：连续抛掷骰子两次,则基本事件有,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,共个,
其中事件A包含的基本事件有,,,,,,
,,,,,共12个;
其中事件B包含的基本事件有,,,,,,,,,
,,,共个;
事件C包含的基本事件有,,,,,,,
,,,,,,,,,,,共18个;
事件D包含的基本事件有,,,,,,,
,,,,,,,,,,,共个;
对于A:事件A与B可以同时发生,故不是互斥事件,故A错误;
对于B:事件C与D不能同时发生,即其中一个发生另一个一定不发生,且一定有一个会发生,
故C与D是互斥事件且是对立事件,故B正确;
对于C:因为,,
且AB包含的基本事件有,,,,共4个,
所以,所以A与B是相互独立事件,故C正确;
对于D:因为C与D是对立事件且,
所以,故C与D不是相互独立事件,故D错误.
故选:BC
11．答案：AC
解析：对于A:因为,所以,
又,,所以,故A正确;
对于B:若,,满足,且,
但是,故B错误;
对于C:因为,所以,
又,所以,故C正确;
对于D:因为
,
又,所以,故D错误.
故选:AC
12．答案：ACD
解析：对于A,取AD的中点为E,连接CE交MD于点F,可知F为DM中点,
则,,可知,
且,,
在中,由余弦定理得:为定值,
所以NC是定值,故B正确;
对于选项B:由选项A可知:,,
因为,则,
假设,则,
但NE,NF,NC共面且有公共点N,
这是不可能的,假设不成立,所以不相互垂直,故B错误;
对于选项C:例如,则,可知,
且,,平面,
可得平面,
又因为平面,可得平面平面,
所以存在某个位置,使得平面平面,故C正确;
对于选项D:根据题意知:当且仅当平面平面AMD时,三棱锥的体积最大,
取AM,AD的中点为O,E,连接OE,,ME,
因为,即,则,
平面平面,平面,可得平面AMD,
且平面AMD,则,
则,,,
可得,则,
可知AD的中点E就是三棱锥的外接球的球心,球的半径为1,
所以球的表面积是,故D正确;
故选:BCD.
13．答案：16
解析：依题意高三年级应该抽取人数为人.
故答案为:16
14．答案：
解析：事件空间:.
故答案为:.
15．答案：0.3/
解析：设甲投中8次,9次,10次分别为事件,,,乙投中8次,9次,10次分别为事件,
则,,,,,,
设甲投中的次数多于乙投中的次数为事件C,
则,
可得
,
所以甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为0.3.
故答案为:0.3.
16．答案：2
解析：设E是AC的中点,,,,
所以,则.
对任一点M,MN的最小值是M到直线的距离,
过M作,交于N,
过M作,交于F,连接FN,
由于,所以平面,平面,
所以,
由于,MF,平面MFN,所以平面MFN,
又平面MFN,所以,
则,易得.
,,
,
所以,
当E,M,F三点共线,且F是的中点,M是EF与的交点,
此时取得最小值为1,所以的最小值为2.
故答案为:2
17．答案：（1）甲的平均数为8.7,方差为0.81,乙的平均数为8.7,方差为0.41
（2）乙
解析：（1）根据题中所给数据,甲的平均数为,
乙的平均数为,
甲的方差为,
乙的方差为,
故甲的平均数为8.7,标准差为0.81,乙的平均数为8.7,标准差为0.41.
（2）由（1）可知,,因为平均数相同,方差越小的技术越稳定,
所以乙的技术较为稳定,故乙运动员的射箭技术更好.
18．答案：（1）0.48
（2）0.92
解析：（1）记甲猜出歌名为事件A,乙猜出歌名为事件B,则,
则甲,乙都猜出歌名的概率为.
（2）“甲,乙两人中至少有一人猜出歌名”的对立事件是“两人都没有猜出”,
甲,乙两人都没有猜出的概率为,
所以甲,乙两人中至少有一人猜出歌名的概率为.
19．答案：（1）0.025;74
（2）88
（3）0.6
解析：（1）因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1,
可得,解得,
竞赛的平均成绩:.
（2）由频率分别直方图的数据,可得:
成绩在内的频率为:,
成绩在内的频率为:,
所以成绩从高到低选出样本中前15%的学生,即为85%分位数,设为x,
可得分,即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分.
（3）由题意得,样本中宣传队学生的人生为,
其中成绩在的学生人数为,
成绩在的学生人数为,
从样本中按分层抽样的的方法抽取6人,则成绩在的学生有2人,记为,
在的学生有4人,记为A,B,C,D,
从中选2人担任正副队长的样本空间为:
,,
记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”,则:
,
由古典摡型的概率计算公式,可得.
20．答案：（1）证明见详解
（2）
解析：（1）在中,由余弦定理得,
显然,则,即,
由,,,得,则,即,
又,PD,平面PAD,所以平面PAD.
（2）取PA中点E,连接BE,DE,如图,
由,,则,,即为二面角的平面角,
由（1）知,平面PAD,平面PAD,则,,
于是,,而,
则,,,于是,
又,,PD,平面PBD,因此平面PBD,
又,则平面PBD,过D作于点F,平面PBD,于是,
而,BC,平面PBC,则平面PBC,
因此直线BD与平面PBC夹角即为,
中,,,
且,则,
所以直线BD与平面PBC夹角为.