[数学][期末]贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市2023-2024学年八年级上学期期末试题(解析版)

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1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（ ）
A. 28°B. 30°C. 32°D. 32.5°
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴，，
∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠ECD，
∴，∴∠A=2∠D=32°，
2. 如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（ ）
A. 3B. C. D. 6
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴①，
同理，∵，，
∴，，
∴，
∴②，
由①-②得：．
3. 如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为( )
A. 20°B. 35°C. 40°D. 45°
【答案】B
【解析】∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-505°=35°，
4. 如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，
∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，
∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，
∴，∴；
5. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）

A. B. C. 6D. 3
【答案】D
【解析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH=OC=，CH=OH=,
∴CD=2CH=3．

6. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
7. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）

A 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】∵，∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
8. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；
B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；
C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意；
D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；
9. 若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A. ﹣1B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，∴b+c＝2，
10. 关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：,
两边同时乘以（)，
,
,
由于该分式方程的解为正数，
∴，其中;
∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，
由①得：;
由②得：;
∴，
∴
综上可得：,且;
∴满足条件的所有整数a为：；
∴它们的和为；
二、填空题（本部分有6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 在中，为边上的高，，，则是___________度．
【答案】40或80##80或40
【解析】根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
12. 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.
【答案】3＜AD＜7
【解析】
如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，
∵在△ABC中，AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BE=CA=4
在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE
∵AB=10,AC=4,
∴6＜AE＜14
∴3＜AD＜7
13. 等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为_____．
【答案】3或．
【解析】如图，点在的右边，
与都是等边三角形，
，，，
，
即．
在和中，
，
，
，
，
，
，
等边三角形的边长为3，
如图，点在的左边，
同上，，
，，
，
过点作交的延长线于点，则，
，，
，
在中，，
，
，
或（舍去），
，
等边三角形的边长为，
14. 如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于________________．

【答案】13
【解析】∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
由∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，
∴DO=DB，EO=EC，·
又∵AB=5，AC=8，
∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13
15. 若且，则_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，∴，
∴=，∴==，
16. 若，．则的值为______
【答案】
【解析】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式
=
===
三、解答题（本部分共7小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式
．
18. 因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
解：（1）
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝
＝
＝
（4）
＝
＝
＝
＝＝．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．
20. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
21. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称；
（1）点B坐标为________；
（2）点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标；
（3）在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由．
解：（1）点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，
到的距离为,
则
（2）如图，,，
点与点关于对称，
在四边形内部有一个点P，满足，
则点在上，设点，
，
即
解得或
在四边形内部
（3）存在，由（2）可知时，在四边形外部
故
22. 阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
（2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
（3）若关于的方程无解，求的值．
解：（1）∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数∴，即
又∵∴，即
∴且
（3）去分母得：
解得：
∵原方程无解∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
23. 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
解：（1）在和，，，，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道，
故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等或HL．
（2）如图，
过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，且、都是钝角，
，
即，
在和中，
，
，，
在和中，
，
，，
在和中，
，；
（3）如图，和不全等；
以点为圆心，以长为半径画弧，与相交于点，与重合，与重合，得到与不全等．
（4）若，则，
故答案为：．