2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知一次函数y=(3−m)x+3，如果函数值y随x增大而减小，那么m的取值范围是( )
A. m>3B. m<3C. m≥3D. m≤3
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为(−3,4)，则顶点B的坐标是( )
A. (−5,4)
B. (−6,3)
C. (−8,4)
D. (2,4)
3.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k≤1C. k<1且k≠0D. k≤1且k≠0
4.某校篮球社团共有30名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表：
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A. 平均数、中位数B. 众数，中位数C. 众数、方差D. 平均数、方差
5.函数y=ax2−2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.关于x的一元二次方程x2−x=1的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
7.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系ℎ=20t−5t2.下列叙述正确的是( )
A. 小球的飞行高度不能达到15mB. 小球的飞行高度可以达到25m
C. 小球从飞出到落地要用时4sD. 小球飞出1s时的飞行高度为10m
8.如表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间(单位：秒)，则下列说法正确的是( )
A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间
B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数
C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数
D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差
二、填空题：本题共8小题，共24分。
9.如果函数y=(k−1)xk2−k+2+kx−1是关于x的二次函数，则k=______．
10.将抛物线y=2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为______．
11.2024年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”.截至2月10日2时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次.据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程______．
12.若点A(0,y1)，B(12,y2)，C(3,y3)在抛物线y=(x−1)2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为______(用“>”连接)．
13.如图，二次函数y=2(x−1)2+k的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，若函数值y<1，则自变量x的取值范围是______．
14.若抛物线y=x2−2x+k−2与x轴有公共点，则k的取值范围是______．
15.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y= ______．
16.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)和(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不等的实数根；③a>2；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2>−2.其中正确的有______．
三、解答题：本题共14小题，共72分。
17.（6分）解方程：
(1)x2=6x−1；
(2)(x−2)2=3(x−2)．
18.（4分）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−4=0的一个根，求代数式(a−2)2+(a−1)(a+3)的值．
19.（5分）已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．
(1)求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根均为正整数，求负整数m的值．
20.（6分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(3,5)，B(−2,0)，且与y轴交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
21.（6分）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，点D，E分别是BC，AC的中点.连接DE并延长至点F，使得EF=DE.连接AF，CF，AD．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)连接BF，若∠ACB=60°，AF=2，求BF的长．
22.（5分）商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅.下面给出了商品售价和成本(单位：元)的相关公式和部分信息：
a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
售价涨跌幅=当周售价−前周售价前周售价×100%，成本涨跌幅=当周成本−前周成本前周成本×100%；
b.规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
c.甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表

根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲商品这五周成本的平均数为______，中位数为______；
(2)表中m的值为______，从第三周到第五周，甲商品第______周的售价最高；
(3)记乙商品这40周售价的方差为s12，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为s22，则s12 ______s22(填“>”“=”或“<”)．
23.（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，击球点P到球网AB的水平距离OB=1.5m．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=−0.2(x−2.5)2+2.35．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)的几组数据如下：
根据上述信息，回答下列问题：
(1)直接写出击球点的高度；
(2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；
(3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为d1，d2，则d1 ______d2(填“>”，“<”或“=”)．
24.（7分）如图1，正方形ABCD的边长为2 2，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿线段AO→OB运动，点P到达点B时停止运动.若点P运动的路程为x，△DPC的面积为y，探究y与x的函数关系．
(1)x与y的两组对应值如表，则m= ______；
(2)当点P在线段AO上运动时，y关于x的函数解析式为y=−x+4(0≤x≤2).当点P在线段OB上运动时，y关于x的函数解析式为______，此时，自变量的取值范围是______；
(3)①在图2中画出函数图象；
②若直线y=12x+b与此函数图象只有一个公共点，则b的取值范围是______．
25.（7分）甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩.该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口A，B，C．

(1)园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站.甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示.两人约定如下：
Ⅰ.确定距离自己最近的入口；
Ⅱ.如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园；
Ⅲ.如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园．
①若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为______；
②若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为______；
(2)丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园.丙在地图上建立平面直角坐标系xOy，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为(0,4)，(−4,0)，(4,0).园区内有行驶路线为CG的摆渡车(乘客可以在路线上任意一点上下车).点G坐标为(−3,1).丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”．
①如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为______；
②若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为______．
26.（3分）已知两组数据(1)3005，3005，3003，3000，2994；(2)5，5，3，0，−6.设第一组数据的平均值为x1−，方差为s12，设第二组数据的平均值为x2−，方差为s22，下列结论正确的是( )
A. x1−>x2−，s12x2−，s12>s22
C. x1−=x2−，s12=s22D. x1−>x2−，s12=s22
27.（3分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米．
28.（4分）超市销售的某商品进价10元/件.在销售过程中发现，该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=−5x+150(10≤x≤30)，则利润w和售价x之间的函数关系为______，该商品售价定为______元/件时，每天销售该商品获利最大．
29.（4分）已知抛物线y=x2−2mx(−1≤m≤2)经过点A(p,t)和点B(p+2,t)，则t的最小值是______．
30.（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线C：y=x2+x和直线l：y=x+b给出如下定义：
过抛物线C上一点A(x0,y1)作垂直于x轴的直线AB，交直线l于点B(x0,y2)，若存在实数y0满足y1≤y0≤y2，则称点P(x0,y0)是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”．
(1)若b=2，
①在点P1(0,0)，P2(−1,2)，P3(1,3)，P4( 2, 2)中，抛物线C的“如意点”是______；
②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出DE的最大值______；
(2)若边长为2 2的正方形R1R2R3R4边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.C
9.0
10.y=2(x−3)2+2
11.2(1+x)2=4.2
12.y3>y1>y2．
13.014.k≤3
15.−x2+10x+600
16.①②③④
17.解：(1)∵x2−6x+1=0，
∴a=1，b=−6，c=1
∴Δ=36−4=32>0，
∴x=6±4 22，
∴x1=3+2 2，x2=3−2 2；
(2)∵(x−2)2=3(x−2)，
∴(x−2)2−3(x−2)=0，
则(x−2)(x−5)=0，
∴x−2=0或x−5=0，
解得x1=2，x2=5．
18.解：(a−2)2+(a−1)(a+3)
=a2−4a+4+a2+3a−a−3
=2a2−2a+1，
∵a是关于x的一元二次方程x2−x−4=0的一个根，
∴a2−a−4=0，
∴a2−a=4，
则原式=2(a2−a)+1=2×4+1=9．
19.(1)证明：∵Δ=[−(m+3)]2−4(m+2)=(m+1)2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2)解：x2−(m+3)x+m+2=0，
(x−1)[x−(m+2)]=0，
∴x=1，x=m+2，
∴m+2>0，m>−2，
∵m是负整数，
∴m=−1．
20.解：(1)根据题意得3k+b=5−2k+b=0，解得k=1b=2，
∴一次函数解析式为y=x+2，
当x=0时，y=x+2=2，
∴C(0,2)；
(2)当x=2时，y=x+2=4，
把点(2,4)代入y=−3x+n，得−6+n=4，解得n=10，
∴当n≥10时，对于x<2的每一个值，函数y=−3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值．
21.(1)证明：∵点E是AC的中点，
∴AE=EC．
∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
在△ABC中，∠CAB=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC．
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

∴∠BGF=90°，
∵四边形ADCF是菱形，ACB=60°，AF=2，
∴CF=DC=AF=2，∠ACF=∠ACD=60°，
∴∠FCG=180°−∠ACF−∠ACD=60°，
∴∠GFC=90°−∠FCG=30°，
在△CFG中，∠CGF=90°，∠GFC=30°，
∴CG=12CF=1，
∴FG= CF2−CG2= 3，
∵BD=CD=2．
∴BG=BD+CD+CG=5．
在△BFG中，∠BGF=90°
∴BF= BG2+GF2=2 7．
22.(1)32，25；
(2)60，四；
(3)>．
23.(1)当x=0时，y=−0.2(0−2.5)2+2.35=1.1，
故击球点的高度为1.1m；
(2)由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为(3,2)，
设抛物线的解析式为：y=a(x−3)2+2，
过点(4,1.9)，
∴1.9=a(4−3)2+2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为：y=−0.1(x−3)2+2，
(3)<
24.(1)4；
(2)y=x，2≤x≤4；
(3)①当x=0时，y=4；当x=2时，y=2；当x=4时，y=4.描点，连线即可．
②b=1或225.(1)①B；
②3号车站、4号车站．
(2)①(0,47).
②10 23．
26.D．
27.解：令y=6，即y=−140x2+10=6，
解得：x=±4 10，
∴则EF=4 10−(−4 10)=8 10，
28.解：∵某商品进价10元/件，售价x元/件，
∴每件商品的利润为：(x−10)元；
∵销售量y(件)为：y=−5x+150(10≤x≤30)，
∴利润w和售价x之间的函数关系为：w=(x−10)(−5x+150)(10≤x≤30)，
∴w=−5x2+200x−1500(10≤x≤30)；
∴w=−5(x−20)2+500，
∵−5<0，
∴当x=20时，w取最大值，最大值为500；
29.解：∵抛物线y=x2−2mx，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2m2×1=m，
∵抛物线y=x2−2mx(−1≤m≤2)经过点A(p,t)和点B(p+2,t)，
∴点A(p,t)和点B(p+2,t)关于对称轴对称，t=p2−2mp，
∴p+p+22=m，即p+1=m，
∴p=m−1，
∴t=(m−1)2−2m(m−1)=−m2+1，
∵−1≤m≤2，
∴m=2时，t有最小值为：−4+1=−3．
30.解：(1)①P1，P3．
②点E是点D与抛物线C的“称心点”，
∴点E和点D关于直线y=x+2对称，
∴DE的长等于点D到直线y=x+2的距离的两倍，
∴当点D到直线y=x+2的距离最大时，DE有最大值，
根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线y=x+2围成的封闭区域内的所有点到抛物线C的如意点，
∴当平行于直线y=x+2的直线与抛物线恰好有有一个交点时，且当点D与该交点重合时满足题意，
设直线y=x+t恰好与抛物线y=x2+x有一个交点，
联立y=x+ty=x2+x，得x2−t=0，
∴Δ=02+4t=0，
解得t=0，
∴x2−x=0，解得x=0，
∴此时点D与原点重合，
如图所示，设直线y=x+2分别与x轴，y轴交于G，H，则G(−2,0)，H(0,2)，
∴OG=OH=2，
∴GH= OG2+OH2=2 2，
设DE，GH交于F，则DH⊥OH，
∴12OH⋅GH=12OG⋅OH，
∴12×2 2OH=12×2⋅2，
∴OH= 2，
∴DEmax=2 2．
(2)由(1)可得，抛物线C的如意点组成的区域即为直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域(包括边界)，
∴抛物线C的称心点一定在直线y=x+b与抛物线y=x2+x围成的封闭区域外面，
∵边长为2 2的正方形R1R2R3R4边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，
∴正方形R1R2R3R4边上的点全部都是如意点时b的值一定要比正方形R1R2R3R4边上的点部分是如意点，部分时称心点时n的值大，
∴当恰好正方形R1R2R3R4边上的点一半是如意点，一半是称心点时b最小，即直线y=x+b一定经过正方形R1R2R3R4的一条对角线，
此时有R1R2//x轴，
∴此时R1R2关于抛物线对称轴对称，即关于直线x=−12对称，
∴R1的横坐标为−12− 2，
在y=x2+x中，当x=−12− 2时，y=(−12− 2)2+(−12− 2)=74，
∴R1(−12− 2,74+ 2)，
把R1(−12− 2,74+ 2)代入y=x+b中得−12− 2+b=74，
∴b=94+ 2，
∴b的最小值为94+ 2，
年龄(单位：岁)
13
14
15
16
频数(单位：名)
8
12
x
10−x
甲
20.2
29.3
30.7
38.3
乙
37.6
38.4
39.1
39.3
丙
20.3
20.4
28.2
36.1
丁
22.9
27.8
33.5
34.3
第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
成本
25
50
25
40
20
售价
40
m
45
n
p
水平距离x/m
0
1
2
3
4
飞行高度y/m
1.1
1.6
1.9
2
1.9
x
0
…
m(m≠0)
y
n
…
n