江西省南昌市江西师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷及解析版）

这是一份江西省南昌市江西师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷及解析版），文件包含1_精品解析江西省南昌市江西师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题原卷版docx、2_精品解析江西省南昌市江西师大附中2023-2024学年高二上学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

1. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（）
A. B.
C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将椭圆方程化为标准形式，再由条件列方程求的值.
【详解】椭圆化为标准方程为，故，
因为焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，
所以，
故选：B.
2. 设圆，圆，则圆的位置关系（）
A. 内含B. 外切C. 相交D. 相离
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆的一般方程化为标准方程得出其圆心与半径，根据两圆圆心距离与两半径和与差的比较即可得出答案.
【详解】圆，化为，
圆心为，半径为；
圆，化为，
圆心为，半径为；
两圆心距离为：，
因为，所以圆与相交.
故选：C.
3. 用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（）
A. 16B. 24C. 36D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可.
【详解】先从4个数中选1个排在百位，有4种；
然后从剩下的3个数中选1个排在十位，有3种；
最后从剩下的2个数中选1个排在个位，有2种；
根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为.
故选：B.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l交C于A、B两点，则的周长为（）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆定义可知，的周长为.
【详解】由，得，由椭圆定义可知，的周长为
故选：D
5. 直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由双曲线与直线联立可 ，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以可得 ，斜率的取值范围是，故选C.
6. 已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支
【答案】D
【解析】
【分析】结合圆与圆的位置关系利用双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为2，
由题意可得，或，所以或，
又因为，所以，
由知不合题意，
所以，
根据双曲线的定义知，可得点C的轨迹为以为焦点的靠近的一支.
故选：D.
7. 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】设小球圆心，求出抛物线上点点到圆心距离平方，根据二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】
设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径，
又抛物线上点点到圆心距离平方为：
，
若最小值在时取到，则小球触及凹槽的最底部，
故此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧，所以，所以，
所以，从而清洁钢球的半径的范围为，
所以清洁钢球的最大半径为.
故选：B．
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，O为坐标原点，倾斜角为的直线l过右焦点且与双曲线的左支交于M点，若，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可.
【详解】因为
，
所以，则，
过作轴，垂足为，
由题意知，则，
故，
在中，，
故，又点在双曲线上，
则，将代入整理得，
则，解得，且，
解得，
故双曲线的离心率为.
故选：A.
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的
9. 已知点P在圆上，点.则（）
A. 点P到直线AB的距离小于10B. 圆上到直线AB的距离等于1的点只有1个
C. 当最小时，D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】由，可得圆心，
过点直线为：即，
所以圆心到直线的距离，
所以点P到直线AB的距离的最大值为，点P到直线AB的距离小于10，A选项正确；
所以点P到直线AB的距离的最小值为，圆上到直线AB的距离等于1的点有2个, B选项错误；
如图：当最大或最小时，此时与圆相切,且有圆心到的距离为，
利用勾股定理可得：，故C，D选项正确;
故选：ACD.
10. 已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）
A. 存在P使得B. 椭圆C的弦MN被点平分，则
C. ，则的面积为9D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据余弦定理结合余弦定理求出的范围判断A；根据点差法求中点弦的斜率判定B；根据勾股定理和面积公式求解判断C；根据斜率公式及点P在椭圆上求解斜率之积判断D.
【详解】对于A.由余弦定理知
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时为钝角最大，
所以存在P使得，所以A正确；
对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线时，，
不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在.
设，则，两式相减并化简得，所以，所以B正确；
对于C.，，
因为，所以，
因为，解得.
因，所以，所以C正确；
对于D.，设，则，整理得，
可得直线PA，PB的斜率分别为，
所以，所以D错误.
故选：ABC.
11. 设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（）
A. 若，则或6
B. 双曲线C与双曲线的离心率相同
C. 若点，M在双曲线C的上支，则最小值为
D. 过的直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.
【详解】因为,，所以，，则，
由双曲线定义可知，，，则，
解得或6，当时，，符合题意；
当时，，符合题意.
综上：或6，故A正确；
因为双曲线离心率为，
所以双曲线的离心率为，
双曲线即，离心率为，
所以双曲线C与双曲线的离心率相同，故B正确；
，当且仅当三点共线时，等号取到，
最小值为，故C正确；
由双曲线：，得，
直线l斜率为0时，方程为，联立得或，
所以，所以，不合题意，
当直线l斜率不存在时，，所以直线l斜率存在且不为0，
故设：，，设
联立得，则，
所以
，所以或，
解得或，符合题意，所以这样的直线有4条，故D错误.
故选：ABC
12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）
A. 若，则点到轴的距离为
B. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
C. 是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A；对所求的直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据直线与抛物线有且仅有一个公共点，求出直线的方程，可判断B选项；根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为，所以，
则抛物线，所以焦点，准线为，
对于A选项，设、，则，
解得，
又为线段的中点，则，
所以点到轴的距离为，故A错误；
对于B选项，若过点的斜率不存在时，则该直线为轴，由图可知，轴与抛物线相切，
若过点的直线的斜率为零，此时，直线的方程为，联立，可得，
此时，直线与抛物线只有一个交点，
若过点的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为，
考虑直线与抛物线相切，联立，可得，
则，解得，
即直线与抛物线只有一个公共点，
故满足条件的直线共有三条，B错；
对于C选项，过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，
因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用圆过原点求出圆的半径即可求出圆的方程.
【详解】因为抛物线的焦点为的标准方程为，所以，所以焦点坐标是，
所以所求圆的圆心为，又圆过原点，所以圆的半径为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
14. 现有4名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若每个小组至少要有1人参加，则共有______种不同的安排方法.
【答案】
【解析】
【分析】先利用组合知识分组，再利用全排列分配即可.
【详解】第一步，将4名同学随机分成三组，每组至少一人的分法为，
第二步，将三组全排列有，所以共有种不同的安排方法.
故答案为：
15. 已知椭圆的左、右焦点分别是，AB是椭圆C的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆C的离心率的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】四边形是平行四边形分析可得，，再根据可得，结合及运算求解.
【详解】因为四边形是平行四边形，则且，
根据椭圆的对称性知，所以，则，若，即，
所以，即，
同除以可得：，解得，
因为，所以，即椭圆C的离心率的最大值是.
故答案为：.
16. 已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的方程写出准线方程；再设出点P的坐标，根据抛物线的定义表示出，根据两点间距离公式表示出；最后代入，进行化简变形，借助基本不等式求解即可.
【详解】由抛物线方程可得焦点F的坐标为，准线方程为直线.
设点P的坐标为.因为点P为抛物线上的动点，所以，且.
点A的坐标为
当时，；当时，，当且仅当时等号成立，即，所以.
综上可得：的最小值是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
17. 三角形三个顶点是
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）直线l过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程.
【答案】17.
18. 或
【解析】
【分析】（1）先根据两点斜率公式求解斜率，再利用垂直关系求出高的斜率，代入点斜式化为一般式方程即可；
（2）设出直线方程，利用点到直线距离公式建立方程求解即可.
【小问1详解】
直线的斜率，
边上的高与垂直，所以高所在的直线斜率为，
故AB边上的高所在直线的方程为，即.
【小问2详解】
易知直线斜率存在，设直线：，即.
因为B，C两点到直线l的距离相等，所以，
化简得，平方得，解得或，
所以直线的方程为或，即或.
18. 已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦AB的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出圆心到直线，即可求出圆的半径，从而得到圆的标准方程；
（2）首先判断两圆相交，两圆方程相减即可得到公共弦方程，再求出弦长.
【小问1详解】
因为圆心到直线的距离，
设圆的半径为，
又过直线上一点作圆的切线，切线段（为切点）长的最小值为，
所以，则圆的标准方程为.
【小问2详解】
圆：的圆心，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，则，所以两圆相交，
则相交弦：，
则圆心到距离，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，，是棱上一点，且，.
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得解.
【小问1详解】
证明：连接交于点，连接，
因为，且，所以，，
又因为，则，所以，，
因为平面，平面，故平面.
【小问2详解】
解：因为平面，，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，则、、、，
设，其中，
则，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
由题意可得，
整理可得，解得，此时点为的中点，故.
20. 已知椭圆焦距为，离心率为.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出的最大值.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，
所以，椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：当直线与轴重合时，、、三点重合，不符合题意，
易知点，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，
由韦达定理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
21. 已知抛物线上有两点，且直线过点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线上有一点，纵坐标为4，抛物线上另有两点，且直线与的斜率满足重心的横坐标为4，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，再由，即可得到结果；
（2）根据题意，由三角形重心坐标公式结合，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意知直线的斜率不可能为0，
设，直线的方程为，
由得，，即，
即，即，
将代入，得，
则，则，
则，由，解得，
故所求抛物线的标准方程为．
【小问2详解】
由抛物线方程可得点坐标为，设，
则，
则，且，则，
故．又，
则，又，可得直线的中点坐标为，
故由点斜式得直线的方程为5），即．
22. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
（1）求双曲线的方程.
（2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，使得以线段为直径的圆恒过点
【解析】
【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程；
（2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值.
【小问1详解】
两条渐近线夹角为，渐近线的斜率或，即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
【小问2详解】
由题意得：，
假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.